2023届上海市宝山区高三年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2023届上海市宝山区高三下学期3月月考数学试题一、填空题1．函数的最小正周期__________．【答案】【分析】根据正余弦函数的周期公式即可求解.【详解】根据正余弦函数的周期公式可知：函数的最小正周期，故答案为：.2．设i为虚数单位，若复数，则z的实部与虚部的和为______．【答案】1【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据实部和虚部的概念即可求得结果.【详解】因为，因此，复数的实部与虚部之和为.故答案为：13．设向量、满足，，则______．【答案】9【分析】根据向量数量积的运算律即可得答案.【详解】解：因为.故答案为：94．在的二项展开式中，项的系数是______（结果用数值表示）．【答案】80【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为：，，当时，展开式中含有，故的系数为，故答案为：80.5．若双曲线的离心率为2，则的值为___．【答案】3.【详解】试题分析：依题意可得.本题考查的双曲线的基本知识.关键是要把所给的方程与标准方程相对应好.【解析】1.双曲线的标准方程.2.双曲线的离心率.6．已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么______．【答案】0.3##310【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案．【详解】∵事件A与事件B相互独立，∴事件与相互独立，∵，，∴.故答案为：.7．已知一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为，则该圆锥的体积为______．【答案】【分析】利用侧面积求母线长，然后求高即可.【详解】底面半径为1cm侧面积：所以所以高：；所以体积：.故答案为：8．已知，，则的最小值为__________.【答案】【分析】利用基本不等式乘“”法计算最小值.【详解】，由基本不等式可得当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：9．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名工人某日的产量数据．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则______．【答案】【分析】根据中位数相等可构造方程求得，进而利用平均值相等构造方程求得，加和即可.【详解】由茎叶图可知：甲组工人产量的中位数为，则乙组工人产量的中位数应为，解得：，乙组工人产量的平均值为，则甲组工人产量的平均值为，解得：，.故答案为：.10．对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是______．【答案】1【分析】根据条件得出与的大小关系，进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值．【详解】由且，得，，根据新定义，得．故答案为：111．若是圆上的任意一点，则的取值范围是______．【答案】【分析】将问题转化为求解点到，的距离之和的倍的取值范围的求解；根据在两直线所成角的角平分线上，利用三角形三边关系可证得圆上点到两直线距离之和大于等于对应的角平分线上的点到两直线的距离之和，由此可确定最值点，结合点到直线距离公式即可求得结果.【详解】设，，则的几何意义为点到的距离之和的倍，记点到的距离之和的倍为；由圆的方程知：圆心，半径，圆心到直线的距离均为，在所成角的角平分线上，由得：，所成角的角平分线方程为：；过分别作的垂线，垂足为，且其中一条垂线与交于点，由对称性不妨设与交于，作，垂足为，连接，如下图所示，（当且仅当共线时取等号），又（当且仅当时取等号），，又，，即点到直线的距离之和大于等于点到的距离之和，则当位于图中点时，点到直线的距离之和取得最小值；过作，，垂足分别为，作，交于点，作，垂足为，如下图所示，四边形为矩形，，又（当且仅当重合于处取等号），，又（当且仅当时取等号），，又（当且仅当三点共线时取等号），，则当位于图中时，点到直线的距离之和取得最大值；由得：或，即，，，，的取值范围为.故答案为：.12．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以半径长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．【答案】【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，则，在正三角形中，，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为：.故答案为：.二、单选题13．在下列条件下，能确定一个平面的是（

）A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线【答案】D【分析】三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可.【详解】三点共线则不能确定一个平面，A错误；点在直线则不能确定一个平面，B错误；若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确.故选：D14．已知集合，，若，且，则p、q的值分别为（

）A．， B．1， C．3，2 D．，2【答案】A【分析】先求出集合，然后利用，且，求出集合，又因为，解出和的值即可；【详解】由可得：或，解得：或，所以，又因为，，所以，所以是方程的两个根，所以有，解得；故选：A.15．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，可证得是奇函数，且在上单调递增.可化为，进而可解得结果.【详解】令，（），则，所以是奇函数；又都是上增函数，所以在上单调递增.所以可化为，进而有，所以，解得或.故选：B.16．数学家们在探寻自然对数底与圆周率之间的联系时，发现了以下公式：（1）；（2）；（3）．上述公式中，，n为正整数．据此判断以下命题中正确的个数是（

）（i为虚数单位）．①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题目中的公式，结合复数乘方的运算，可得答案.【详解】由公式：，则，即，且当时，，当时，，由公式，则显然，故①正确，②错误；当时，，即，，故③正确，④错误；由公式，则，显然，故⑤正确.故选：C.三、解答题17．锐角中，角的对边分别为，若满足．(1)求；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据正弦定理与余项定理化简已知即可得角的大小；（2）由正弦定理边化角，结合正弦型函数的性质，即可得的最大值．【详解】（1）因为，由正弦定理得：，由余弦定理得，又，所以；（2）由正弦定理得，则，又，所以，则锐角中，有，所以，所以因为，所以，则，所以，故的最大值为.18．如图，在多面体中，四边形ABCD、CFGD、ADGE均是边长为1的正方形，点H在棱EF上．(1)求该几何体的体积；(2)证明：存在点H，使得；(3)求BD与平面BEF所成角的大小（结果用反三角函数数值表示）．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由题意可得多面体是由棱长为的正方体截去一个角剩余的部分，再根据正方体和棱锥的体积公式即可得解；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出，即可得证；（3）利用向量法求解即可.【详解】（1）由题意可得多面体是由棱长为的正方体截去一个正三棱锥剩余的部分，则；（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设，则，，若，则，即，解得，所以存在点H，使得；（3），设平面的法向量为，则有，可取，则，所以BD与平面BEF所成角的正弦值为，所以BD与平面BEF所成角的大小为.19．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和．(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)求的值．【答案】(1)证明见解析，；(2)999【分析】（1）由，整理出，即可证明；再得出的通项公式，用累加法即可得出的通项公式；（2）由（1）得，再得出，即，求出的通项公式，结合新定义，即可得出答案．【详解】（1）证明：，，又，是以4为首项，公比为5的等比数列，，，，，，而满足上式，所以．（2）由（1）得，，当时，，当时，，，，，，，，．20．已知椭圆，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为．(1)若a=2，求椭圆E的标准方程；(2)以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线G，若G上动点M到点的最短距离为，求a的值；(3)当时，设点F为椭圆E的右焦点，，直线l交E于P、Q（均不与点A重合）两点，直线l、AP、AQ的斜率分别为k、、，若，求的周长．【答案】(1)；(2)4；(3)8【分析】（1）直接利用四边形面积可知，由即可求出值，即可求得椭圆方程；（2）设出点坐标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可；（3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形的周长.【详解】（1）由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为，即，∵，∴，∴椭圆的标准方程为；（2）椭圆的右顶点为，以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为，设动点，则

当时，即，最小值在对称轴处取得，即，解得或（舍去），当，即，最小值在处取得，此时最小值为，不符合题意，故；（3）设直线的方程为，，，则，，故，则，当时椭圆的方程为，将椭圆方程与直线方程联立可得，，即，，，即，故或，此时均满足，若，则直线的方程为，此时直线恒过，若，则直线的方程为，此时直线恒过，与题意矛盾，点为椭圆的左焦点，故的周长为.21．已知函数，其中实数，，．(1)时，求函数的极值点；(2)时，在上恒成立，求b的取值范围；(3)证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．【答案】(1)0是的极大值点，2是的极小值点；(2)；(3)证明见解析【分析】（1）运用导数研究单调性进而求得极值点.（2）分离参数得，，运用导数求最值即可.（3）设出切点坐标及切线方程，根据已知条件可得，进而将问题转化为研究与交点个数即可.【详解】（1）因为，所以，定义域为：R.则，因为，所以