2022-2023学年河北省衡水第十三中学高一年级下册学期质检（一）数学试题【含答案】

衡水市2022~2023学年高一第二学期质检考试（一）数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章占30%，第五章占70%一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合，再根据集合的运算可得结果.【详解】由，解得，即，显然，∴，∴．故选：C.2.已知第二象限角的终边经过点，则（）A.2 B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】根据定义得到，再确定，得到答案.【详解】的终边经过点，则，解得或，在第二象限，故，故.故选：B3.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性确定，根据三角函数有界性得到，得到大小关系.【详解】因为，所以．故选：A4.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A.8 B.16 C.12 D.24【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，利用“1”代换，将转化为，再利用基本不等式求解即可.【详解】已知正实数a，b满足，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为16，故选：B.5.不等式在上的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果.【详解】∵，则，注意到，结合余弦函数图象解得.故选：D.6.为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（）A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度D.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】变换，根据三角函数平移和伸缩法则依次判断每个选项，对比得到答案.【详解】，对选项A：得到的函数为，错误；对选项B：得到的函数为，错误；对选项C：得到的函数为，错误；对选项D：得到的函数为，正确；故选：D7.函数在上的最大值为，最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正切函数的单调性可知函数在上单调递增，即，，解方程即可得出答案.【详解】因为，所以，所以，因为函数在上的最大值为，最小值为，所以，即，所以令，，因为在上单调递增，在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，函数在上单调递增，所以，解得：，，解得：，因为，则，所以，解得：故.故选：D.8.车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（）（参考数据：）A.156元/千克 B.158元/千克 C.160元/千克 D.164元/千克【答案】A【解析】【分析】利用指数运算，化简求值.【详解】由题意可知，解得，由，可得．故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.与的终边相同B.若为第三象限角，则C.若，则为第一象限角D.若为第一象限角，则不可能为第二象限角【答案】AD【解析】【分析】由终边相同角的表示可判断A；根据正切函数值在各象限的符号可判断B；由求得的范围可判断C；由为第一象限角求得的范围可判断D.【详解】因为，所以与的终边相同，故A正确；若为第三象限角，则，得，所以，故B错误；若，则，得，所以不一定是第一象限角，故C错误；若为第一象限角，则，得，所以不可能为第二象限角，故D正确．故选：AD.10.函数，则（）A.在内有零点 B.在内有零点C.在内有零点 D.在内有零点【答案】AC【解析】【分析】利用零点存在定理求解.【详解】解：作出函数和的图象，如图所示，由图象可知：最多有两个零点，因为，，，，，所以，，由零点存在性定理可知在内有零点，在内有零点.故选：AC11.已知，均为锐角，若，，则（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】由条件结合特殊角三角函数值求，利用诱导公式求，结合同角关系求，利用诱导公式结合二倍角公式求，由此判断各选项.【详解】因为，所以，又，所以，故，A正确；因为，所以，即，所以，所以，B正确；当时，可得，所以，当时，可得，所以，C错误；所以，D正确；故选：ABD.12.已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（）A.函数为偶函数B.C.直线是图象的一条对称轴D.是图象的一个对称中心【答案】ABD【解析】【分析】根据对称中心完全相同得到，计算，得到函数解析式，，A正确，，B正确，代入验证知C错误D正确，得到答案.【详解】对称中心完全相同，则周期相同，，则，，是的一个对称中心，故，，即，又，故当，时满足条件，故，对选项A：，函数定义域为，为偶函数，正确；对选项B：，正确；对选项C：当时，不是的对称轴，错误；对选项D：当时，，,故是的对称中心，正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.贝雕是海的绮丽与传统文化的结晶，具有贝壳的自然美､雕塑的技法美和国画的格调美，自古以来记载着人与海的故事，传达着人们对美好明天的向往．如图是一个贝雕工艺品，形状呈扇形，已知该扇形的半径为，面积为，则该扇形的弧长为__________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式直接计算作答.【详解】设该扇形的弧长为，依题意，，解得，所以该扇形的弧长为.故答案为：.14.写出满足的的一个值：_______．【答案】（答案不唯一，α满足即可）【解析】【分析】先利用辅助角法得到，再利用正弦函数的最值求解.【详解】因为，所以，所以，所以．故答案为：（答案不唯一，α满足即可）15.已知，则__________.【答案】##0.5【解析】【分析】通过诱导公式五转化函数名称即可.【详解】解：由已知可得故答案为：16.在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．【答案】【解析】【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.【详解】如图，设，则，，，，令，则，所以．易得，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以．故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）若为第一象限角，求；（2）求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式及平方关系求出，再利用二倍角公式求解.（2）由（1）求出，再利用齐次式法计算即可.【小问1详解】因为，所以，则.因为为第一象限角，所以，．【小问2详解】由（1）知，所以，所以．18.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）解方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通过正切函数的周期性可得的最小正周期；（2）由函数的解析式、正切函数的单调性可得的单调递增区间；（3）利用将的解析式代入，利用三角恒等变换化简函数的解析式可求得结果.【小问1详解】的最小正周期．【小问2详解】令，得．故的单调递增区间为.【小问3详解】当，即时，，所以，得，所以，即．19.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．（1）求在上的值域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】（1）（2）为奇函数，理由见解析【解析】【分析】（1）根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，求出解析式，利用单调性求出其在上的值域；（2）根据函数奇偶性定义判断其奇偶性.【小问1详解】由，可得，则，因为在定义域内单调递增，所以，，故在上的值域为．【小问2详解】为奇函数．理由如下：由（1）可得，，因为的定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数．20.已知函数．（1）若，解关于x的方程；（2）若对任意，恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由得，利用换元，解方程得或，再解指数方程即可；（2）通过不等式的恒成立，对不等式作等价变形，再结合基本不等式即可求解．【小问1详解】由得，，解得，所以，令，则由得，即，解得或，所以或，解得或，所以，方程的解为或；【小问2详解】因为对任意，恒成立，所以恒成立，即恒成立，恒成立，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以，即，所以的取值范围为．21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围和的值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得，即可求得函数的解析式；.（2）将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以及对称性求解即可.【小问1详解】解：由函数的图象可得，且，解得，所以，即，将点代入的解析式，可得，解得，因为，可得，所以.【小问2详解】方程在上恰有三个不相等的实数根，则函数与的图象在上有三个不同的交点，设交点的横坐标分别为.函数在上的图象如下图所示：由图可知，.由对称性可知，.故22.如图，一个半径为筒车按逆时针方向匀速转动，2分钟转动一圈，水车的轴心O到水面的距离为，筒车上均匀分布了24个盛水筒，当盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，记盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）．（1）求d与时间（单位：s）的关系式；（2）当盛水筒P刚浮出水面时，记最高点处的盛水筒为，求一圈内P到水面的距离与Q到水面的距离之和大于的时间．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据每秒沿逆时针方向转动圈，求出角速度，求出后，得到时间为时点对应的角为，利用三角函数的定义得到点纵坐标，从而得到关于的函数关系式；（2）求出点到水面的距离关于时间的解析式，由此可得点P到水面的距离与Q到水面的距离之和的解析式，由条件列不等式求解即可.【小问1详解】（1）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点