2022-2023学年广东省揭阳市揭东区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省揭阳市揭东区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知复数满足，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】A【分析】根据复数除法公式，求解，再求.【详解】因为，所以，所以．故选：A．2．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．故选：A．3．已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件直接计算，进而即得．【详解】因为，所以，故A正确，C错误；，不是常数，故BD错误.故选：A．4．已知数列，，点在直线上，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由题意可得，从而可得数列是以为公差，1为首项的等差数列，从而可求出【详解】因点在直线上，所以，所以数列是以为公差，1为首项的等差数列，所以，故选：D5．已知直线，，且，点到直线的距离（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两直线垂直公式求得，再用点到线的距离求解即可【详解】由可得，解得，故故选：D6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标得出椭圆的焦点坐标，从而可得参数．【详解】抛物线的标准方程是，其中，焦点坐标为，即为椭圆的一个焦点坐标，所以，．故选：B．7．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.8．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，，所以的取值范围是：.故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.二、多选题9．已知数列的通项公式为，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据通项公式即可作出判断.【详解】对于A，6是偶数，则，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，，，D错误.故选：BC.10．已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为（

）A． B．0 C． D．【答案】BC【分析】根据时表示一个圆列方程，解方程即可判断的可能取值.【详解】因为方程表示一个圆，所以，化简得，解得.故选：BC.11．设函数，已知在上有且仅有4个零点，下述四个结论中正确的是（

）A．的取值范围是B．在上单调递增C．在上有且仅有2个解D．在上有且仅有2个解【答案】ABD【分析】当时，，因为在有且仅有4个零点，所以在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质可求解每个选项【详解】当时，，因为在有且仅有4个零点，所以在第4个零点和第5个零点之间，所以，解得，故A正确；当时，，因为，所以，则，所以在单调递增，故B正确；当时，，又，所以结合知有2个解或3个解，故C错误；当时，，又，∴，结合知有且仅有2个解，故D正确，故选：ABD12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线过点且与双曲线的右支交于两点，分别为和的内心，则（

）A．直线倾斜角的取值范围为 B．点与点始终关于轴对称C．三角形为直角三角形 D．三角形面积的最小值为【答案】ACD【分析】由双曲线及渐近线的图像判断A；过点分别作，，的垂线，垂足分别为，利用三角形内心的定义结合直线和双曲线的位置关系判断B、C、D即可.【详解】因为双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和，作图可知，若直线过点且与双曲线的右支有两个交点，则直线倾斜角的取值范围为，A正确；设焦距为，由题可知，故，如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，因为为的内心，所以由全等得,，，因为，所以，又，得，所以，M点横坐标为a，同理可得N点横坐标也为，当直线不垂直于轴时，，B错误；设直线的倾斜角为，因为分别为和的内心，则，所以，C正确；由（1）得，则，，所以，，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以三角形的面积，D正确．故选：ACD.三、填空题13．已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．【答案】【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即．故答案为：14．请写出一个最小正周期为，且在上单调递增的函数__________．【答案】或（不唯一）.【分析】根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可.【详解】解：根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可，如或满足题意故答案为：或（不唯一）.15．非负实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】0【分析】分和x，两种情况求解即可.【详解】当时，；当x，时，由得，所以（当且仅当,即时，等号成立）．所以的最小值为0．故答案为：.16．已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为________．【答案】【分析】由题意，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，根据正方体的性质即可求解．【详解】解：由题意，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段，，上，设线段上的切点为，面，，圆柱上底面的圆心为，即半径，则，，由知，所以，则圆柱的高为，所以圆柱的侧面积．故答案为：．四、解答题17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.(1)求角B；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理结合特殊角的三角函数即得；（2）根据正弦定理，三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以，又，所以；（2）由正弦定理可知：，又，所以，所以.18．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式；（2）应用裂项相消法，求的前项和即可.【详解】（1）由题意，，解得，∴.（2）由，∴.19．如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．(1)证明：．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.【详解】（1）在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由题可知，，,平面且,所以平面,又因为平面,所以.（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，由，，可得，则有设平面的一个方向量为,所以即令则，所以因为平面,所以为平面的一个法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.20．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率.【答案】(1)平均年龄，第80百分位数；(2).【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数和第百分位数的计算方法求解即可；（2）根据题意，求得以及第四组和第五组抽取的人数，利用古典概率的概率计算公式即可求得结果.【详解】（1）根据频率分布直方图可得：平均年龄为：；第一组：的频率为：，第二组：的频率为：,第三组：的频率为：，第四组：的频率为：.又，故第80百分位数为第四组小长方形底边中点值.（2）因为第一组的频数为，且第一组的频率为，故可得，则第四组有：人，第五组有：人.又分层抽样的抽样比是.故需要从第四组抽取：人，第五组抽取：人.不妨设除甲乙外的四人为,故从第四组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况如下：甲，甲，甲，甲，甲乙；乙,乙,乙,乙；；；故所有抽取的可能有种，其中甲乙至少一人抽取的可能有种，故甲､乙两人至少有一人被选上的概率为：.21．在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行323第二行465第三行9128(1)写出，并求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和.【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到，，，进而求得通项公式；（2）由（1）知，利用分组求和，含有需讨论为偶数与奇数，然后按照等差数列求和.【详解】（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，故.（2）因为当为偶数时，当为奇数时，综上所述，22．已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，再根据列出相应的方程，组成方程组解得答案;（2）设，，从而表示出的周长，分类讨论，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，从而结合基本不等式，求得答案.【详解】（1）由题意可知，当点M在x轴上时，，不妨设，得，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）设，，则，同理，，同理，所以的周长为，①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为或.PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，此时的周长为4.PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，此时的周长为.②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，由直线PQ与圆相切，得，即，联立得，化简得，则，易知恒成立，