2022-2023学年甘肃省天水市高二年级上册学期期末数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年甘肃省天水市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知直线，下列说法中正确的是（

）A．直线l的倾斜角为 B．是直线l的一个方向向量C．直线l的斜率为 D．是直线l的一个法向量【答案】C【分析】由倾斜角，方向向量，斜率，法向量等概念判断各选项正误即可.【详解】AC选项，由题可得，则直线斜率为，倾斜角为，故A错，C正确；BD选项，由题可得直线的一个方向向量为，因与不共线，与不垂直，故BD错误.故选：C2．采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（

）A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C．2022年1月至4月制造业逐月收缩D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张【答案】D【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与比较，即可得到答案.【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于，故A项错误；对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于，故B项错误；对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于，故C项错误；对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过，故D项正确.故选：D.3．在二项式的展开式中，的系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80【答案】A【分析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式中的系数为，故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．函数的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值是.故选：C.5．等比数列中，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】A【分析】由等比中项性质可得答案.【详解】因为等比数列，则，故.故选：A6．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意按照减函数和奇函数的定义逐项分析.【详解】对于A，，由正弦函数的性质知：在该区间是增函数，不符合题意；对于B，当时，，

，是减函数，但，不是奇函数，不符合题意；对于C，由指数函数的性质可知是非奇非偶函数，不符合题；对于D，，由复合函数的性质知：是减函数，又，是奇函数，满足题意；故选：D.7．函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（

）A．2， B．2， C．4， D．4，【答案】A【分析】根据函数图象先确定的值，再由周期求出，利用最大值点求出的值，从而得出结论．【详解】因为，有图可得，且，．再将最大值点代入解析式可得：，，即，，又，所以.故选：A．8．若直线和直线垂直，则（

）A．2 B．0或 C． D．0【答案】B【分析】根据两直线垂直可得计算即可得解.【详解】因为直线和直线垂直，所以，解得或.故选：B.9．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照2，即，以及实轴在y轴上逐项判断.【详解】对于A，，，不符合题意；对于B，，，符合题意；对于C，，实轴在x轴上，不符合题意；对于D，，实轴在x轴上，不符合题意；故选：B.10．已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值.【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于，则在直角中，，所以，由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，所以.故选：D.二、多选题11．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（

）A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种【答案】BC【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优限法、定序法、分组分配法逐项判断即可.【详解】对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种，然后与戊全排列的安排种，丙、丁不能相邻的安排有种，共有种，故A不正确；对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则当甲在左端时，则有种安排方法；当乙在左端时，甲有种安排方法，其他人有种安排方法，故符合的总的安排方法种数为种，故B正确；对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有种，故C正确；对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则4人分三组的分组方法数为，再把三个组分配到三个社区的种方法数为，则总的安排方法数为种，故D不正确.故选：BC.12．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1B．直线AB的方程为x－2y－4＝0C．线段AB的长为D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为【答案】ABD【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，则线段AB的长为2，故C错误；令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，可得，解得t＝4．∴2a－b的最大值为，故D正确．故选：ABD．三、填空题13．已知，则复数在复平面内对应的点在第__________象限．【答案】四【分析】根据复数的共轭复数，复数乘法运算以及复数的几何意义即可得答案.【详解】因为，则，其在复平面内对应点为，在第四象限.故答案为：四.14．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．15．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取30人，那么高二年级被抽取的人数为__________．【答案】10【分析】设从三个年级抽取人数为，则.后由等差数列性质可得答案.【详解】设从三个年级抽取人数为，则.即从高二年级抽取的人数为10.故答案为：10.16．已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为______.【答案】##【分析】由直线过原点及斜率，，可得，再结合椭圆定义，在焦点三角形通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率【详解】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，又，则，在中，，即，又，解得：或（舍去）.故答案为：.四、解答题17．已知等差数列的前n项和为，，条件①：；条件②：；条件③：，请从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，先写出选择条件再完成以下解答．(1)求数列的通项公式；(2)设等比数列满足，，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）设数列公差为d.若选①②，则，可得通项；若选②③，则，可得通项；若选①③，则，可得通项；（2）由（1）可知，则可知，后由分组求和法可得答案.【详解】（1）选①②，由已知，，得，解得，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为．选②③，由已知，，得，解得，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为．选①③，由已知，，得，解得，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴，，∴等比数列的公比，故，∴等比数列的通项公式为，∴数列的前n项和．18．已知直三棱柱的所有棱长都相等，D，E分别是棱AB，的中点，如图所示．(1)求证：平面；(2)求DE与平面ABC所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取BC的中点F，连接，DF，证明四边形是平行四边形，则可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）由，可得DE与平面ABC所成的角就是与平面ABC所成的角，再根据平面，可得即为所求角的平面角，再解即可.【详解】（1）取BC的中点F，连接，DF，∵D，E分别是棱AB，的中点，∴，且．∵，且，∴，，∴四边形是平行四边形，故，∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴DE与平面ABC所成的角就是与平面ABC所成的角，因为平面，所以即为所求角的平面角，在中，，∴，∴DE与平面ABC所成角的正切值是2．19．已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．(1)求实数p的值；(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可；（2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，，解得：；（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，显然直线l斜率不为0，设直线l为：，，联立直线与抛物线方程：，得：，则，，则所以，解得，所以直线l为：或；综上，，直线l为：或.20．设的内角、、的对边分别为、、，(1)确定角B的大小；(2)若为锐角三角形，，的面积为，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据，利用正弦定理得到求解，从而可确定角B的大小；（2）由锐角三角形得角，根据的面积为，求得，然后再利用余弦定理与完全平方公式计算求解的值．【详解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，则，因为，所以或．（2）若为锐角三角形，由（1）得，因为的面积为，所以，由余弦定理得，所以，解得，所以．21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过两点（2，0）和．(1)求椭圆C的方程；(