2022-2023学年湖南省株洲市渌口区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省株洲市渌口区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知点是直线上一点，则直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用，再根据倾斜角的定义，可得直线的倾斜角【详解】因为，设直线的倾斜角为，又因为，且，故的倾斜角.故选：B.2．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】由题意可得，解得.故选：A.3．已知数列：1，2，3，5，8，…，则89是该数列的第（

）项.A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】根据数列的规律求得正确答案.【详解】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，所以这个数列为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，所以89是该数列的第10项.故选：B4．已知的三个顶点分别为，，，则边上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意，，，可得，，，所以，所以边上的高.故选：D.5．空间四边形中，点M在上，且，为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空间向量加减和数乘运算即可求解.【详解】连接，因为为的中点，所以，，故选：B.6．在平面直角坐标系中，椭圆C的中心在原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线l交椭圆C于A，B两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角形周长得a，再由离心率得c，求出b，得椭圆方程.【详解】的周长为，即，离心率为，故，，所以椭圆的方程为.故选：D.7．若直线与直线交于点M，则M到坐标原点距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两直线的方程判断两直线的位置关系，得到交点在以为直径的圆上，将点到原点的距离转化为圆上的点到定点的距离问题.【详解】两直线满足，所以两直线垂直，由得，斜率存在且过定点，由得，过定点，故交点在以为直径的圆上但不包含点，其中，则线段的最小值为.故选：C.8．如图，在边长为的等边三角形中，圆与三条边相切，圆与圆相切且与、相切，…，圆与圆相切且与、相切，依次得到圆、、…、.当圆的半径小于时，n的最小值为（

）（参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由正三角形性质，分别根据几何关系求出正三角形内切圆半径与边长的关系，边长与、的关系，即可进一步求出与的关系，从而求出的通项公式，列不等式求解.【详解】解：由题正三角形内切圆半径与边长满足，所以①，又，由正三角形性质易得，边上的高过圆心，且圆的切线，其中，则组成正三角形，即，则边长与高满足：，即②，由①②得，，所以，由，所以，∴数列为首项为2，公比为的等比数列，故.由，得，解得，因为且，故的最小值为.故选：B.二、多选题9．已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线在两坐标轴上的截距均为1B．向量是直线的一个法向量C．过点与直线平行的直线方程为D．若直线m：，则【答案】BCD【分析】根据直线截距的概念判断A即可；根据直线方向向量与法向量的关系判断B即可；根据直线与直线的位置关系求解方程求解直线方程即可判断C；根据一般式两直线垂直的充要条件判断D即可.【详解】解：对于A，令，则，令，则，直线在两坐标轴上的截距均为，故A错误；对于B，因为直线的方向向量为或，则，所以向量是直线的一个法向量；故B正确.对于C，设与直线平行的直线方程为（），因为直线过，所以，所以过点与直线平行的直线方程为，故C正确.对于D，直线：的斜率为1，直线的斜率为，斜率，所以两直线垂直，故D正确.故选：BCD.10．已知等差数列的公差，当且仅当时，的前n项和最小，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据给定条件，确定等差数列的负数项和正数项，求出首项范围，再利用前n项和公式推导判断作答.【详解】等差数列的公差，则数列是递增等差数列，又当且仅当时，最小，因此当时，；当时，，于是，解得，而，从而，，，，即与0的关系不确定，ABD正确，C错误.故选：ABD11．已知圆柱底面半径，高，下底面圆心为O，上底面圆心为，A是下底面圆上任意一点，B是上底面圆上任意一点，则下列命题中正确的是（

）A．向量与的夹角为定值 B．的最大值为C．与夹角的最大值为 D．【答案】ACD【分析】建立合理的空间直角坐标系，设，，利用向量夹角公式即可判断A,C，利用向量坐标化的数量积计算即可判断B，利用向量模长的相关计算方法即可判断D.【详解】以下底面互相垂直的两条直径和上下底面圆心连线为坐标轴建立空间直角坐标系；对A，由圆柱底面半径，高，则可设，，其中，则，因为，所以，故A正确；对B，，，则，则，则，所以的最大值为1，故B错误；对C，，因为，所以，所以与夹角的最大值为，故C正确；对D，，，，故，故D正确.故选：ACD.12．已知到两定点，距离乘积为常数16的动点的轨迹为，则（

）A．一定经过原点 B．关于轴、轴对称C．的面积的最大值为45 D．在一个面积为64的矩形内【答案】BCD【解析】先由已知条件求出点的轨迹方程，然后结合轨迹方程及三角形的面积公式逐一判断即可得解.【详解】解：设点的坐标为，由题意可得.对于A，将原点坐标代入方程得，所以，A错误；对于B，点关于轴、轴的对称点分别为、，∵，∵，则点、都在曲线上，所以，曲线关于轴、轴对称，B正确；对于C，设，，，则，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，则，所以，则的面积为，C正确；对于D，，可得，得，解得，由C知，，得，曲线在一个面积为的矩形内，D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法，重点考查了三角形的面积公式及不等式的应用，属中档题.三、填空题13．写出一个与x，y轴都相切的圆的标准方程：________．【答案】答案不唯一，例如【分析】设圆心的坐标为（a，b），半径为r，由题意可得，从而可得答案【详解】解：设圆心的坐标为（a，b），半径为r，因为圆与x，y轴都相切所以只要满足即可，如令，则圆的标准方程为，故答案为：（答案不唯一）14．某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟内上升了10米高度.若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟内上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是____________米.【答案】##6.4【分析】根据题意，得到，公比的等比数列，利用等比数列的通项公式，可得答案.【详解】由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，公比的等比数列，则米.即飞机模型在第三分钟内上升的高度是米.故答案为：15．已知椭圆（），以原点为圆心，b为半径的圆经过椭圆的左右焦点，，M为椭圆短轴的一个端点，的延长线交椭圆于点N，____________.【答案】##0.8【分析】确定三角形为等腰直角三角形，，，，设，则，根据勾股定理计算得到答案.【详解】由题意，且三角形为等腰直角三角形，，，.设，则，根据，得，解得，故.故答案为：16．已知棱长为的正方体中，为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为______．【答案】.【详解】分析：先考虑两种特殊情况，假设点F和点D重合，假设点F和点A重合，求出每一种情况下点P的轨迹，再根据题意得到点P的轨迹在正方体表面组成的图形，最后求图形的面积.详解：如图所示，记中点为，假设点F和点D重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.假设点F和点A重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.所以点F在AD上运动时，所求图形为直角梯形、、．所以所求图形的面积为故答案为.点睛：本题主要考查空间想象能力，考查极限的思想.要确定点P的轨迹在正方体表面组成的图形，不是很好处理，所以可以先考虑两种特殊情况，特殊情况下点P的图形确定了，动点P的轨迹组成的图形就容易确定了.四、解答题17．已知圆的方程为.(1)若直线与圆交于A，B两点，且，求m的值；(2)当时，过点作圆的切线l，求切线l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】(1)将圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理即可求解；(2)分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）由题意知，圆的标准方程为（），所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离.由题意知，，所以.解得.（2）当时，圆半径为2.当切线的斜率不存在时，切线的方程为当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，由题意知，.解得.此时切线的方程为.综上，切线的方程为或.18．已知数列中，，，（，）.(1)求数列的通项公式；(2)为数列的前n项和，设，是数列的前n项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意，整理递推公式，结合等比数列定义，可得数列为等比数列，利用累加法，可得答案；（2）根据等比数列的前项和公式，整理新数列的通项公式，利用裂项相消的方法，可得答案.【详解】（1）∵（，），∴，.故数列是首项为1，公比为2的等比数列，，∴时，，时也成立，∴.（2）∵，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列.∴数列的前项和为.∵，∴数列的前项和，∴.19．如图，在棱长都相等的平行六面体中，，，两两夹角均为60°.(1)求的值；(2)求证：平面.【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）由空间向量数量积的运算法则求解，（2）由数量积为0证明两向量垂直，再由直线与平面垂直的判定定理证明，【详解】（1）设平行六面体的棱长为1.令，，，则，.则有，故.故，.（2），.故，.故，即.又由（1）知，，平面，所以平面.20．如图，正方体的棱长为2，E、F分别为和的中点，P为棱上的动点.(1)若点P与重合，求证：平面；(2)当平面与平面所成锐二面角的正弦值最小时，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，，结合线面垂直判定定理证明结论；(2)利用向量方法求平面与平面所成锐二面角的余弦值，根据同角关系求其正弦，再求其最小值确定的值.【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，因为、分别为和的中点，与重合，则，，，，，，，，由，即，由，即，而，且，平面，因此，平面，（2）在（1）的空间直角坐标系中，设，，，，令平面的法向量为，则令，得，所以为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，则，当且仅当时取等号，因此，当，即时，取最大值，所以，当且仅当时取等号，所以当时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小时，此时.21．已知抛物线C：（）与圆O：交于A，B两点，且，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点.(1)抛物线C的方程；(2)求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意求点A的坐标，代入抛物线方程可求，即可得结果；（2）先利用韦达定理证，再结合基本不等式运算求解.【详解】（1）设，根据抛物线和圆的对称性得，由，解得，故点在抛物线：上，所以，解得，故抛物线：；（2）由抛物线：，得，设直线：，，，联立方程，消去得，则，，故，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤：（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．22．已知曲线C为双曲线的右支，斜率为k的直线l过双曲线右焦点，且与曲线C相交于A，B两点.(1)求斜率k的取值范围；(2)在x轴上是否存在点M使得，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，定点【分析】（1）由双