2023学年上海市师范大学附属外国语高考数学全真模拟密押卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a=log8（）.2,Z>=loga34,c=4°',则（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

2.若复数二满足z=（2+i）（l-i）（i是虚数单位），则|z|二（）

A.叵B.VioC.咨D.V5

22

3.已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FA|-|FB||的值等于（）

A.8A/2B.8C.4夜D.4

\>0

4.若x,y满足约束条件[+y-3N0,则z=x+2y的取值范围是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo）D.[4,+oo）

5.己知全集为实数集K,集合A={XH+2X-8>0},B={x\log2X<l},贝！|（备4方8等于（）

A.[-4,2]B.[-4,2）C.（-4,2）D.（0,2）

6.已知一2一=a+2i（aeR）,i为虚数单位，则。=（）

l-2i

A.6B.3C.1D.5

7.已知尸是双曲线C:区2+V=4（A为常数）的一个焦点，则点尸到双曲线C的一条渐近线的距离为（）

A.2kB.4kC.4D.2

8.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中

必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科,

则一名学生的不同选科组合有（）

A.8种B.12种C.16种D.20种

__、

9.已知平面向量a=（4,2），A=（x,3），a//b>则实数*的值等于（）

33

A.6B.1C.—D.-----

22

10.已知函数函X)满足当xWO时,2/(x-2)=/(x),且当xe(-2,0]时，/(x)=|x+l|-l；当x>0时,

/(x)=bg“x(a>0且ah1).若函数/(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是()

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

11.设向量7，5满足同=2,忖=1,@5)=60,则,+同的取值范围是

A.[啦,+oo)B.[瓜+8)

C.[V2,6]D.[73,6]

12.已知双曲线C：二-与=l(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为。，且cos6=好，则该双曲线的离心率为()

a'b'5

A.J5B.且C.2D.4

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆柱的上下底面的中心分别为a，0〃过直线。1。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该

圆柱的体积为一

14.已知复数z=3担是纯虚数，则实数a=，|z|=.

1-z

15.从集合｛1,2,3｝中随机取一个元素，记为。，从集合｛2,3,4｝中随机取一个元素，记为b,则a"的概率为.

22

16.双曲线C:工-汇=1的左右顶点为A,8,以为直径作圆。，尸为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连

43

接PA交圆。于点。，设直线的斜率分别为匕，攵2,若占=九&，则几=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=|2x+5|-x-g.

(1)求不等式/(x).」的解集；

44

(2)记/(x)的最小值为加，且正实数a/满足------+-------=a+b.证明：a+b..2.

a-mhh-ma

18.(12分)AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,其面积记为S,满足2叵S=布-G5.

3

(1)求A；

r-〃222

(2)若g(b+c)=2a,求巴+幺h+J的值.

beacab

19.(12分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(O,c)，(c＞0)关于直线l:x-y-2=0的对称点为例，且|尸M|=3也.

若点P为。的准线上的任意一点，过点尸作C的两条切线PAPB,其中A,B为切点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证：直线A3恒过定点，并求△Q48面积的最小值.

20.(12分)已知函数/(x)=2|九一2|-加(加＞0),若/(%+2)＜()的解集为(—2,2).

(1)求加的值；

-1119

(2)若正实数b＞。满足。+2/?+3c=,求证：—I---1—之一.

a2b3c4

22i，a

21.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆三+£=1(。＞人＞0)的离心率为5,且过点F为I

椭圆的右焦点，A,8为椭圆上关于原点对称的两点，连接AR3R分别交椭圆于C,。两点.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵若AR=FC,求处的值；

FD

⑶设直线AB，CO的斜率分别为占，月,是否存在实数加，使得&=加占，若存在，求出加的值；若不存在，

请说明理由.

=1("＞人＞0)的焦距是2起，点P是椭圆C上一动点，点M,N是椭圆C上关于

原点。对称的两点(与p不同)，若直线的斜率之积为-

2

(I)求椭圆的标准方程；

(11)45是抛物线。2：/=4了上两点，且A,8处的切线相互垂直，直线AB与椭圆G相交于两点，求△08

的面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性，可判断出-l<a<0,^<-l,ol，即可选出答案.

【详解】

由log034<log035=-1,即人<一1,

又一1=log80.125<logs0.2<log81=0,即一1<。<0,

403>1,即c>1,

所以b<a<c.

故选:D.

【点睛】

本题考查了几个数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.

2.B

【解析】

利用复数乘法运算化简z,由此求得|z|.

【详解】

依题意z=2+i-2i-i2=3—，，所以目=后二=师.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.

3.C

【解析】

将直线方程y=》-1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出||所|-忻邳的值.

【详解】

y2=4x

F(1,0),故直线AB的方程为y=x-1,联立方程组，可得X2-6X+1=0,

.y=xT

设A(xi,yi),B(X2,yz),由根与系数的关系可知Xi+X2=6,xixz=l.

由抛物线的定义可知：|FA|=X1+1,|FB|=X2+1,

.••IIFAI-|FB||=|xi-x2|=Ja+J-4中2=V36-4=472.

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

4.D

【解析】

解：X、y满足约束条件x+y-3》0,表示的可行域如图：

x-2y=C0

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由。解得C(2,1),

Ix-2y=0

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是［4,+oo).

故选D.

【解析】

求解一元二次不等式化简4,求解对数不等式化简B,然后利用补集与交集的运算得答案.

【详解】

解：由“2+2工・8>0,得xV・4或x>2,

，A={xH+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由「ogixvl,x>0,得0VxV2,

AB-{x\logix<1}={x|0<x<2},

则年A={x\-4<x<2\9

故选：D.

【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.

6.C

【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.

【详解】

由---=a+2i,得1+2i=a+2i,解得a=\.

l-2i

故选:C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题.

7.D

【解析】

分析可得k<0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

22

当人20时,等式区2+y2=4|。不是双曲线的方程；当k<()时，点2+y2=4|e=—4七可化为——土=1,可得虚

—4k4

半轴长6=2，所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

8.C

【解析】

分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.

【详解】

若一名学生只选物理和历史中的一门，则有C；C：=12种组合；

若一名学生物理和历史都选，则有C：=4种组合；

因此共有12+4=16种组合.

故选C

【点睛】

本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.

9.A

【解析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】

T——>>

Qa=（4,2），Z?=（x,3）,allb9

.・.4X3=2X,

即x=6,

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.

10.C

【解析】

先作出函数/（X）在（-8,0］上的部分图象，再作出/（无）=10g“X关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点

时满足的条件，解之即可.

【详解】

先作出函数/（X）在（-8,0］上的部分图象，再作出/（X）=log,,X关于原点对称的图象，

如图所示，当0<。<1时，对称后的图象不可能与/（X）在（-8,0］的图象有3个交点；

当4>1时，要使函数/（X）关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,

a>1

-log„3>-1,解得9<a<625.

-log(,5<-1

故选I：C.

【点睛】

本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.

11.B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

B+同=J伍+而2=yja2+2a-ht+rb2=54+2/+产="(7+1)2+3>G,

当「=-1时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

12.A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为c,由题意8e[0,万)

又cos。=旦,则sin6=R5,tan6»=2,?=2,所以离心率6=£==亚,

55。aVya)

故选:A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.54万

【解析】

由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.

【详解】

解：因为轴截面是正方形，且面积是36,

所以圆柱的底面直径和高都是6

V=7rr2h=x32x6=54^r

故答案为：54%

【点睛】

考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.

14.1

【解析】

根据复数运算法则计算复数z="+"，根据复数的概念和模长公式计算得解.

22

【详解】

a+i(a+i)(l+z)(a-l)+(a+l)ia—\a+\,

复数z(i-/)(i+z)-2-F+F1

1-i

2

:复数”是纯虚数'..・0+]「解得"=】，

:・Z=i,，团=L

故答案为：1,1.

【点睛】

此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.

8

5.9-

【解析】

先求出随机抽取a力的所有事件数，再求出满足aWb的事件数，根据古典概型公式求出结果.

【详解】

解：从集合｛1,2,3｝中随机取一个元素，记为明从集合｛2,3,4｝中随机取一个元素，记为。，

则(。㈤的事件数为9个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),

其中满足a"的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),共有8个，

Q

故的概率为

【点睛】

本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.

16.--

4

【解析】

2Q

根据双曲线上的点的坐标关系得即X心=-%•』；=一■：==,交圆。于点。，所以PALQB,建立等

x0+2x0-2x0--44

式乐A•=T，两式作商即可得解.

【详解】

设P(x0,%),A(—2,0)3(2,0)

予T=1，升=3传4汩T

kk=-^_____%=方=3

PAPB2

/+2x0-2X0-44

Q4交圆。于点。，所以PA_LQ5

.._3

易知:4%二n3=x=_3

kPA-kQB=-1%B4

k13

即x

3

故答案为：一二

4

【点睛】

此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题

可以简化计算.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

137

17.(1)一或'…一7尸(2)见解析

【解析】

(1)根据/(x)=|2x+5|-，利用零点分段法解不等式，或作出函数f(x)的图像，利用函数的图像解不等式；

44

(2)由(1)作出的函数图像求出f(x)的最小值为—3,可知机=-3,代入------+-------=〃+。中，然后给等式

a-mbb-ma

两边同乘以G+力，再将4。+4人写成(。+3份+(3。+加后，化简变形，再用均值不等式可证明.

【详解】

(1)解法一：1°用，一二时，/(X)..1,即—X——..1>解得不，..-；

222

51971

2°—<x<一时，f(^)..1即3xd—..19解得—,,x<—；

221262

3°X...—时，f(A?)..1,即Xd---..1解得X...—.

2292

综上可得，不等式的解集为[xlx,或X

Io5I

解法二：由/(x)=|2x+5|-x--=<3x+],-2cx<],作出/(幻图象如下:

由图象可得不等式的解集为jx|T或工-一(

115

22

(2)由/(x)=|2x+5|_x-g3x+|,一51

—<x<—,

22

111

XH----,X...~

22

所以/(x)在-g上单调递减，在卜方,+可上单调递增,

所以《而(为=m=/

44=a+bt则岛L号小+…+叶

正实数〃满足——+

a+3bb+3a

Bn(11Y,g°、[ca+3bb+3a\(t?+3/?Yb+3a\

即|------+------|[(a+3份+3+3a)]=2+-----+------..2+2J----------=4,

[a+3bb+3a)b+3aa+3b^b+3a)\a+3b)

(当且仅当竽出="^即。=人时取等号)

^.a+b>2,得证.

【点睛】

此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于

中档题.

此⑴4专；⑵3+孚

【解析】

(1)根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得tanA,进而求得A的值；

(2)根据正弦定理将边化为角，结合(1)中A的值，即可将表达式化为3的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助

角公式化简，即可求得8和C,进而由正弦定理确定a:A:c,代入整式即可求解.

【详解】

(1)因为毡5=而京，

3

所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得

百

besinA=0ccos(乃-A)=-becosA

所以tanA=

因为0<

(2)因为6为+c)=2a,

所以由正弦定理代入化简可得G(sin3+sinC)=2sinA=石，

由(1)A=,代入可得Gsin5+sinfB+—|=G,

3LI3)\

展开化简可得百—sinB+-^-cos/?=6,

(22J

根据辅助角公式化简可得sin(8+?)=1.

因为0<8〈工，所以8=9,所以C=2，

366

所以AABC为等腰三角形，且a:b:c=sinA:sin8:sinC=0：1:1，

a2b1c2。G百。26

所以一+—+—=3+—+—=3+----

beacab333

【点睛】

本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角

公式的简单应用，属于基础题.

19.(1)V=4y(2)见解析，最小值为4

【解析】

(D根据焦点/到直线/的距离列方程，求得c的值，由此求得抛物线的方程.

(2)设出AB,P的坐标,利用导数求得切线PA,PB的方程，由此判断出直线AB恒过抛物线焦点F.求得三角形PAB

面积的表达式，进而求得面积的最小值.

【详解】

(D依题意"=归尸=芈，解得c=l(负根舍去)

y/22

...抛物线C的方程为-=4y

(2)设点A($,%),8(%为)，?(—由*2=4y,

即y尤2,得y，=gx

...抛物线C在点A处的切线PA的方程为y-X=^(x-玉)，

即'=色+%

1

V)|=一#,.•.y=x必点P(/,-l)在切线PA上，

42

-J5r-yi①，同理，-1=/，-必②

综合①、②得，点4(%,凹),8(马必)的坐标都满足方程-1=，-八

即直线AB:y=：x+1恒过抛物线焦点F(O,1)

当f=()时，此时P(O,T),可知：PF±AB

2

当EWO,此时直线。尸直线的斜率为A-=--，得。尸，AB

于是S△.=JariABI,而|PFbJ(f—0)2+(一1一

把直线y=”l代入f=4y中消去X得y2—(2+/)y+l=O

AB="1+%+2卜4+/，即：s=g(4+产)14+『=3(4+产尸

当/=()时，S“4B最小，且最小值为4

【点睛】

本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题,

考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.

20.(1)，%=4；(2)证明见详解.

【解析】

(1)将不等式/(X+2)<()的解集用〃2表示出来，结合题中的解集，求出”的值；

(2)利用柯西不等式证明.

【详解】

IT1

解：(1)/(x+2)=2|x|-m<0,\x\<—9

mm

・'.-----<x<—

229

因为/(x+2)<()的解集为(一2,2),所以3=2,

(2)由⑴a+2b+3c=4

由柯西不等式(!•+_£+」_)(〃+20+3C)2(1+1+1)2=9,

a2b3c

1119

,—I----1---->—

"a2b3c-4

424

当且仅当。=一，b=~,c=±,等号成立.

339

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.

227V

21.(1)—+^-=1(2)-(3)加=二

4333

【解析】

试题分析：(1)]+?=1；(2)由椭圆对称性，知所以3(-1,一斗，此时直线方程为标一4)，-3=0,

故而=丁二-=5・(3)设则B(一不，一%)，通过直线和椭圆方程，解得

-----1

7

3%-3y0

'8-5/-3y0(8+5%

C0

言］),所以—送:"”()爱=1，即存在加=9

、5—2XQ5—2XQ)5+2x05+2/3+M_3-"3x033

5+2x05-2x0

试题解析:

(1)设椭圆方程为与+乌=1(。>〃>0),由题意知:a2

a~b~19

/+市

4=222

解之得:by所以椭圆方程为:—I—=1

43

(2)若瓶=/0,由椭圆对称性，知所以3(一1，一^

此时直线BF方程为3x—4y—3=0,

3x-4y-3=0,

由｛%2V,得7/一61-13=0,解得％=一(x=-l舍去),

----1-----=1,7

43

BF1-（-1）7

故而一13一§.

-------1

7

（3）设AG。,%）,则3（-』,一%），

v22

直线AE的方程为）'=-7（X-1）,代入椭圆方程工+匕=1,得

x（）T43

（15-6亦2-8y；-15x；+24%=0,

8—5XQ

因为x=x0是该方程的一个解，所以C点的横坐标%=

5—2%0

又。（七,%）在直线y=Pl（x-i）上，所以先=/（七一1）=言2,

/8+5为）