数理方程特殊函数市公开课金奖市赛课一等奖课件

第五章贝塞尔函数5.1贝塞尔方程导出设有半径为R圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度始终保持为零，且圆盘上初始温度已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。问题归结为求解下列定解问题：10/10/1第1页第1页令：令：10/10/2第2页第2页n阶贝塞尔方程

周期特性值问题

特性值和特性函数分别为

令

10/10/3第3页第3页n阶贝塞尔方程(n为任意实数或复数)令：5.2贝塞尔方程求解假设由于，因此有10/10/4第4页第4页情形1n不为整数和半奇数当c=n时

,则有令于是,得到贝塞尔方程一个特解(称为n阶第一类贝塞尔函数)

当p为正整数时当p为负整数或零时10/10/5第5页第5页当c=-n时，令

于是,得到贝塞尔方程另一个特解(称为-n阶第一类贝塞尔函数)

显然线性无关，于是n阶贝塞尔方程通解为(称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数))假如取,则得到方程另一个与线性无关特解于是n阶贝塞尔方程通解又可表示为10/10/6第6页第6页情形2n为整数此时线性相关。令能够证实线性无关特解，是贝塞尔方程与于是，此时n阶贝塞尔方程通解为情形3n为半奇数(类似讨论)10/10/7第7页第7页A、B为任意常数，n为任意实数10/10/8第8页第8页性质1有界性

性质2奇偶性

5.3贝塞尔函数性质当n为正整数时10/10/9第9页第9页性质3递推性

10/10/10第10页第10页例1求下列微积分10/10/11第11页第11页10/10/12第12页第12页性质4初值

性质5零点

有无穷多个对称分布零点和零点相间分布零点趋于周期分布，10/10/13第13页第13页性质6半奇数阶贝塞尔函数

10/10/14第14页第14页性质7大宗量近似

10/10/15第15页第15页性质8正交性称

n阶贝塞尔函数系

在区间(0,R)上带权函数r正交：其中

为n阶贝塞尔函数零点，即为n阶贝塞尔函数模。10/10/16第16页第16页正交性证实：先将n阶贝塞尔方程写成下列形式

则有记

于是

取

并利用

即可证得结论。相关贝塞尔函数模计算请大家自己完毕。10/10/17第17页第17页例2：证实解为10/10/18第18页第18页5.4傅立叶--贝塞尔级数定理假如

在(0,R)内分段连续,且积分

值有限，则能展成傅立叶—贝塞尔级数：并且在

连续点,级数收敛于；而在间断点，级数收敛于

，其中10/10/19第19页第19页例3：将1在

区间内展成

级数形式.

解

，其中由于从而于是有10/10/20第20页第20页例4：将x在0<x<2区间内展成级数形式解

，其中由于从而于是有10/10/21第21页第21页例5：将在0<x<1区间内展成级数形式解

，其中由于从而于是有10/10/22第22页第22页例1:求解圆形薄盘上热传导问题5.5贝塞尔函数应用设有半径为1圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度始终保持为零，且圆盘上初始温度分布为，其中r为圆盘内任一点极半径，求圆盘内瞬时温度分布规律。10/10/23第23页第23页令：10/10/24第24页第24页10/10/25第25页第25页设有半径为R圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度为，试求该薄膜振动规律。问题归结为求解下列定解问题：例2:求解圆形薄膜轴对称振动问题10/10/26第26页第26页令10/10/27第27页第27页从而，原问题有