导数与复数试题

1．导数的计算。例1求下函数的导数1y=sin(3x+1)2

5x2xx

（3y=e（）yln(x2

；（5）y=(1-2x)(x>0且

12

)。[解（）

yx

3cos(3x+1).(2)

'

(5x)'2x)'2

1x22

2

xx

12

3

.（）

y'

2x)'cosx2x)'2x（）

y'

1x

x2

1x

x

x

12

.（）

y[(1x]'eln(1x)]'

ln(1x)

xln(1x)xln(1x).x2．用导数讨论函数的单调性。例2设，函数f(x)=

x

-ln(x+a)(x∈∞的调区间。[解

f'()

12

1

(x0)

，因为，以

f)x

+(2a-4)x+a

>0；f'(x)x+(2a-4)x+a+<0.（）a>1时对所有x>0，有+(2a-4)x+a>0即

f'

(x)>0,f(x)在0,+∞上单调递增；（）a=1时对x≠1,有x>0，即

f)

，所以在0，1）内单调递增，在（，∞内递增，又f(x)x=1连续，因此f(x)在0,+∞内增；（）精品文档

(1)x(1y2x(1)x(1y2x0<a<1时令

f'(x)

，即x+(2a-4)x+a>0，解得x<2-a-

21

或x>2-a+

21

，因此，在(0,2-a-

2

)内调递增，在(2-a+

21

,+∞)内单调递增，而当2-a-

21

<x<2-a+

21

时，x+(2a-4)x+a<0，即

f'(x0

，所以f(x)在(2-a-

2

,2-a+

21

)内单调递减。3．利用导数证明不等式。例3设

(0,

2

)

，求证：sinx+tanx>2x.[证明]

设f(x)=sinx+tanx-2x，则

fx)

=cosx+secx-2，当

(0,

2

)

时，1coccoxcco

（因为

0<cosx<1），所以f)

=cosx+secx-2=cosx+

1cosx

0

.又在续所以f(x)在22上单调递增，所以当x∈

2

f(x)>f(0)=0，sinx+tanx>2x.4.利导数讨论极值。例4设f(x)=alnx+bx+x在x=1和处都得极值试与b的并出这时f(x)在x与x处取得极大值还是小值。[解]因在(∞)上续，可导，又在x，x=2处得极值，所以f'(1)

，又

fx)

ax

+2bx+1，所以

2a,3解得1b所以

f(x)

21(x1)(2)ln2,f)36x3x

.所以当∈(0,1)时

f'(x)0

，所以f(x)在上减；当x∈(1,2)时

f'(x

，所以在1，2]上递增；当x∈∞时

f'(x)0

，所以f(x)在2，∞上递减综上可知f(x)在x=1处取极值，在x=2处得极大值。例5设x∈[0,],y[0,1]试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的小值。[解首，当x∈[0,π∈时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)精品文档

yxyx

=(1-y)x

sin(1)xxy2)xxy)

x

sin，令g(x)=,xg)

(xtanx)

(x),2当

因为，以

gx0

；当

,为所以

gx0

；又因为g(x)在0,)上连续，所以g(x)在0,)上单调递减。又因为0<(1-y)x<x<π所以g[(1-y)x]>g(x)即

y)x(1)x

，又因为

y2x(1yx

，所以当x∈(0,),y(0,1)，f(x,y)>0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取小值0。1.（全卷Ⅰ理已直线y=x+1与线

yln()

相切，则α的值为)A.1.2-1D.-2答案B解设切点

P(,)0

，则

y

0

xy00

,又

'

|

0xy00

故答案

选B（安徽卷理）已知函数

f(x

在上足

f(xf(22

，则曲线yf(x)

在点

f处的切线方程是

()

yx

y

C.

yx

y答案解析

A由

f(xf(22

得几何f(2f(x(2)

2

8(2)，精品文档

即

2f((2)x

2，∴(x)2∴/

)x

，∴切线方程y2(x

，即

2

选A（2009江卷）若存在过点(等于

的直线与曲线yx和y2

x

都相切，则()A

或-

64

B

或

7C．或-464

D．

或

答案

A解析

设过

的直线与

y

3

相切于点

(,00

3

)

，所以切线方程为y3x(x)000即

yx0

2

xx0

3

，又(1,0)在线上，则

x0或0

32

，当x0时由y与y0

2

15x相可得a4

2564

，当

x0

327时，由yx2

与

y

154

x

相切可得

a

，所以选

A

.（2009辽卷理）若满足2x+2x=5,x满2x+2log－1)=5,x+＝122

(

)

52

B.3

72

D.4答案解析

由题意2

①22lx

所以

x

(5x)

即x

令2x＝7－代入上式得－＝(2t＝2＋－1)122∴5－2t＝2log－与②式比较得t＝x2于是＝－1（2009天卷理）设函数

1f(x)xlnx则yf()3

(

)A在间B在间

1(e1(e

内均有零点。内均无零点。C区间

1(e

内有零点，在区间(1,内零点。D在间

1(e

内无零点，在区间e内零点。精品文档

n1299199n1299199解析：由题得

fx)

11x33x3x

，令

f`()得3；令f`(x)0

得0x3；f`()得x3函数

f()

在区间

上为减函数间

(3,)为增函数，在点

处有极小值

3

；又f

1,f1f)10ee

，故选择D。若曲线

f

存在垂直于

轴的切线，则实数

a

的取值范围是

解由意该函数的定义域x，

ax

1

。因为存在垂直于y轴切线，故此时斜率为，题转化为x范围内导函数

f

1

存在零点。解法（分离变量法）上述也可等价于方程

2ax

1

在

内有解，显然可得a

12x

2

(2009陕西卷)设曲线

y

n

nN

*

在点（1处的切线与x轴交点的横坐标为x

n

令

axn

，则

a1

99

的值为

答

解析：点（1，1）在函数y

n

(nN

*

)的图上为点，xn导函数为xy|切线是：1)(xn令y=0得切点的横坐标：xn198991axxxlg...2399100100（2010.全1文．设

f(x)x

3

12

x

2

，[时f()0

恒成立，求实数的值范围．【解析】：f/()

，由

f/x)

，即

x

23

或x；由

f

/

(x得3x2

0

即

23

x

单调

是

()

，函数的单调减区间是

(,1)

。由(xm恒成大于最大值。精品文档

当x2]时(1)当

]

时，

f(x为增函数，所以

f()

2157f(

；(2)当

x

时，(x)减函数以

f()f)3

(3)，f(x)为增函数，所以

f(xf(2)

；因为

7

15727

，从

复(2009广卷)列n的值中，使

i

n

=1(i是数单位）的是

（）BD.n=5【解析】因为

i

故选答案（2009广东卷理）设是复数，位i，a(i)

a(z)

表示满足的最正整数n，对虚数单（）B.6C.42【解析】

ai)

n

，则最小正整数为4选答案3.（2009浙江理设

z

（

i

是虚数单位），则

2z

()A

B

．

D．

【解析】对于

22)z

2

i答案D浙江文）

（i是数单位则

2z

2

（）A

B

C．

D．

【解析】对于

22)z

2

i答案D（2009北卷）复平面内，复数

(1i)

对应的点位于（）A第一象限

B第二象限

C．三象限

D．第四象限【解析】∵

i)i

，∴复数

所对应的点为

，故选B.答案B精品文档

(2009东理复数

31

等于

（）A

i

i

C.

3)i4i【解析】1)(1)2答案C3(2009东文复数等于1

故选

（）A．

i

i

C.

【解析】答案

3)i4i1)(1)2

故选8.（全国Ⅰ）知

Z＋

=2+i,则数z=

（）（）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i【析答案B

))izi

故B9.（安徽理i是数单位，若

1i2

(a,bR)

，则乘积

的值是)（A）15

（B－

（）

（）15【析

1ii2

，∴abab

，选。答案B（安徽文i是虚单位i(1+i)等A．B.-1-iC.1-iD.-1+i

（）【解析】依据虚数运算公式可知

i

1

可得

ii)

，选D.答案D（江西理若数

zx

i

为纯虚数，则实数x的值为（）A

B．

C．

D

或

【解析】由0

故选A答案A湖北理投掷两颗骰子，到其向上的点数分别为和n,复数（m+ni(n-mi)为实数的概率为

（）精品文档

A

111B、34

D、

【解析】因为m)(n)mnn

)i实数所以n

故mn则可以取、可能，所以P

1