线性方程组和非线性方程组的迭代法

线性方程组和非线性方程组的迭代法第1页，共21页，2023年，2月20日，星期六2定义:是一个向量,是一个实值函数,记为如果这个函数满足下列三条:范数是绝对值概念的一种推广则称为的范数,上述三个条件又称范数公理.三种常用的向量范数:

第2页，共21页，2023年，2月20日，星期六3定理:定义:A是n阶方阵,是A的一个非负实值函数,记为则称为的范数.三种常用的矩阵范数:

如果满足下列范数公理称列范数称行范数第3页，共21页，2023年，2月20日，星期六4定义:A是n阶方阵,x是n维列向量，如果满足则称这种矩阵范数和向量范数是相容的。这样的矩阵范数称为矩阵的自然范数。上述三种常用的矩阵范数都是自然范数。

定义:A是n阶方阵，A的特征值为：称为A的谱半径。定理：对任意方阵A必有第4页，共21页，2023年，2月20日，星期六5第二节迭代法的基本概念和收敛条件

线性方程组的迭代法的基本思想与第二章单个方程的迭代法类似首先将f(x)=Ax–b=0转化为等价的方程组x=Bx+d，这里B是一个常数矩阵，称为迭代矩阵，x是一个常向量。对于给定的初始向量，由迭代格式：定义1(初等变换)就可以构造出一个向量序列使之收敛于方程组的精确解。线性方程组迭代法的收敛定理：定理:对于方程组x=Bx+d,如果则有以下结论:该方程组有唯一解;对于任意给定的初始向量,由上述迭代格式构造的向量序列收敛于方程的精确解;有误差估计式:第5页，共21页，2023年，2月20日，星期六6注意：这个定理的条件是收敛的充分条件,不是充要条件.

与单个方程的结论类似越小,收敛越快.矩阵的等价定理:由上述迭代格式构造的序列收敛的同理,越小,收敛越快.充要条件第6页，共21页，2023年，2月20日，星期六7第三节解线性方程组的迭代法取初值:行最简形,标准形,等价类一Jacobi迭代法先看一个例子:第7页，共21页，2023年，2月20日，星期六8由此可得到Jacobi迭代法:行最简形,标准形,等价类

Jacobi迭代法的一般形式在实际计算时常常采用其分量形式:第8页，共21页，2023年，2月20日，星期六9二,初等矩阵定义4(初等矩阵)由上述迭代矩阵的结构可以看出,对于Jacobi迭代的收敛问题有比较简单的判别法:如果方程组的系数矩阵A是严格主对角占优的,则Jacobi迭代法对于任意的初始向量都是收敛的.这个条件等价于

第9页，共21页，2023年，2月20日，星期六10取初值:行最简形,标准形,等价类二Gauss-Seidel迭代法把Jacobi迭代稍做改进得:Gauss-Seidel迭代法是充分利用了有效信息,以改善计算效果Jacobi迭代需要两套储存单元,而G-S迭代只需一套储存单元.第10页，共21页，2023年，2月20日，星期六11行最简形,标准形,等价类

G-S迭代法的一般形式其分量形式:第11页，共21页，2023年，2月20日，星期六12

对于G-S迭代的收敛问题也有比较简单的判别法:

如果方程组的系数矩阵A是严格主对角占优的,则G-S迭代法对于任意的初始向量都是收敛的.如果方程组的系数矩阵正定,则G-S迭代法对于任意的初始向量都是收敛的.注意:上述条件都是收敛的充分条件第12页，共21页，2023年，2月20日，星期六13行最简形,标准形,等价类三松弛迭代法这是在G-S迭代基础上的一种加速方法,它分为迭代和加速两个过程迭代:加速:第13页，共21页，2023年，2月20日，星期六14

第四节解非线性方程组的迭代法一一般迭代法与单个非线性方程迭代法类似,先化为等价的方程组第14页，共21页，2023年，2月20日，星期六15

由此就可以建立一个迭代格式:一般迭代法的收敛条件与单个方程迭代法的收敛条件很类似称为迭代向量函数第15页，共21页，2023年，2月20日，星期六16Th1定理

设D是n维空间的一个连通区域,若迭代向量函数g(x)满足:

(1)

(2)g(x)的所有一阶偏导数在D上连续,且一阶偏导数矩阵的范数小于1,即:则对于任意给定的D中的初始向量,该迭代法都收敛于方程组的精确解.且范数越小收敛越快.第16页，共21页，2023年，2月20日，星期六17Th5及推论二Seidel迭代法

Seidel迭代法是一般迭代法的一种改进,其迭代格式为:一般地第17页，共21页，2023年，2月20日，星期六18利用初等变换求逆矩阵第五节矩阵的条件数和病态方程组的处理第18页，共21页，2023年，2月20日，星期六19例由此可见方程组的系数矩阵或常数向量有很小的误差时,有可能引起解的很大误差,因此需要讨论它们之间的关系.设理论方程为Ax=b,若A是精确的,b有一个偏差方程成为第19页，共21页，2023年，2月20日，星期六20利用初等变换求A-1B若b是精确的,A有一个偏差方程成为定义:A是n阶方阵,正实数称为A的条件数,记为cond(A)当条件数很大时,称这个方程组病态,否则称良态.条件数与范数有关,但只有量的关系,没有质的关系.对于病态方程组的处理:加大字长,减少舍入误差;改善算法.第20页，共21页，2023年，2月20日，星期六21利用初等变换求CA-1迭代改善算法:设是方程组Ax=b的一个近似解