线性空间与线性变换内积空间

线性空间与线性变换内积空间第1页，共66页，2023年，2月20日，星期六I.先修课程《矩阵论》主要以大学《线性代数》为先修课程，可以同济大学数学系编著的《线性代数》教材书为参考书。《矩阵论》还以大学《高等数学》为先修课程，可以同济大学数学系编著的《高等数学》教材书为参考书。本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。第2页，共66页，2023年，2月20日，星期六II.主要内容课程主要包括以下六项内容：

(1)线性空间与线性变换；

(2)内积空间；

(3)矩阵的标准形；

(4)矩阵分解；

(5)范数理论及其应用；

(6)矩阵分析及其应用。第3页，共66页，2023年，2月20日，星期六第1章：线性空间与线性变换内容：线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系线性变换重点：其中的矩阵处理方法特点：研究代数结构——具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。第4页，共66页，2023年，2月20日，星期六

一.集合与映射集合集合：作为整体看的一堆东西.集合的元素：组成集合的事物.

设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S读为a属于S；用记号aS

表示a不属于S.

集合的表示：(1)列举法

51.1线性空间(LinearSpaces)第5页，共66页，2023年，2月20日，星期六例如空集合：不包含任何元素的集合，记为子集合：设表示两个集合，如果集合都是集合的元素，即由，那么就称的子集合，记为相等：即

(2)特征性质法6第6页，共66页，2023年，2月20日，星期六集合的交：集合的并：集合的和：例如数域数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0不为除数）封闭的数集.7第7页，共66页，2023年，2月20日，星期六例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.映射映射：设S

与S’

是两个集合，一个法则（规则），它使S中的每个元素a都有S’中一个确定的元素a’

与之对应，记为称为集合S到S’

的映射，a’

称为a

在映射下的象，而a

称为a’

在映射σ下的一个原象.8第8页，共66页，2023年，2月20日，星期六变换：S到S自身的映射.例如：将方阵映射为数将数映射为矩阵可看成变换。其中相等：设都是集合S到的映射，如果对于都有，则称相等，记为.9第9页，共66页，2023年，2月20日，星期六乘法：设依次是集合S到，的映射，乘积定义如下是S到的一个映射.注：，（是的映射）第10页，共66页，2023年，2月20日，星期六二、线性空间的概念线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）ExampleR3={x=（x1，x2，x3）T：xi

R}={空间中所有向量}定义向量的加法，数与向量的乘积。运算封闭八条运算律成立第11页，共66页，2023年，2月20日，星期六线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）Definition:(线性空间或向量空间)要点：集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去）八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）第12页，共66页，2023年，2月20日，星期六常见的线性空间Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}

运算：向量加法和数乘向量Fmn

={A=[aij]mn：a

ijF}；

运算：矩阵的加法和数乘矩阵Rmn

；Cmn

。F[t]n={f(x)=a0+a1x+

a2x2+...+an-1xn-1

：aiR}

运算：多项式的加法和数乘C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}

运算：函数的加法和数乘Example：V=R+，F=R，ab=ab，a=a

F=R或C第13页，共66页，2023年，2月20日，星期六不是线性空间的集合V={X=（x1，x2，1）T：xi

R}

运算：向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。

第14页，共66页，2023年，2月20日，星期六线性空间的一般性的观点：线性空间的简单性质（共性）：（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：

0=0，k0=0，k=0=0

或k=0（4）=（1）数0向量0第15页，共66页，2023年，2月20日，星期六三、向量组的探讨（Review)向量的线性相关与线性无关：向量可由1，2，…，s线性表示;（其工作可由多人合力完成）向量组1，2，…，s线性无关任何一个向量不能由其余向量线性表示要使k11+k22+…+kss

=0,只有系数都为0向量组1，2，…，s线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示要使k11+k22+…+kss

=0,必须有非零系数第16页，共66页，2023年，2月20日，星期六三、向量组的探讨（Review)向量组的极大线性无关组：1，2，…，s为向量组A的一个部分组（精英组合）满足向量组1，2，…，s线性无关（彼此工作不可替代）任意A的向量可以由1，2，…，s线性表示（公司的任何人的工作可由精英组合完成）向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数

第17页，共66页，2023年，2月20日，星期六四、线性空间的基和维数抽象的线性空间的元素称之为向量(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和Rn一样：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组----即为基(basis)第18页，共66页，2023年，2月20日，星期六四、线性空间的基和维数基(basis)：线性空间的极大无关组；维数(dimension)：基中向量的个数；常见线性空间的基与维数：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim

Fn=nRmn

，自然基{Eij}，dim

Rmn

=mn。F[t]3，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3=3C[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1…}C[a,b]，

dimC[a，b]=约定：本书主要研究有限维线性空间。第19页，共66页，2023年，2月20日，星期六五、坐标坐标的来历：设{1，2，…，n}是空间V的一组基，V,可以由基1，2，…，n唯一线性表示=x11+x22+…+xnn

则x1，x2，…，

xn

是在基{i}下的坐标。例1：求R22中向量在基{Eij}下的坐标。要点：

坐标与基有关坐标的表达形式第20页，共66页，2023年，2月20日，星期六例2

设空间F[x]4的两组基为：{1，x，x2，x3}和{1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3}求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标。归纳：有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。第21页，共66页，2023年，2月20日，星期六*例3

设R22中向量组{Ai}1

讨论{Ai}的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合.第22页，共66页，2023年，2月20日，星期六六、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1基变换公式设空间中有两组基：过渡矩阵C的性质：C为可逆矩阵C的第i列是i

在基{i

}下的坐标则过渡矩阵第23页，共66页，2023年，2月20日，星期六2坐标变换公式已知空间中两组基：满足::;讨论X和Y的关系

X=CY第24页，共66页，2023年，2月20日，星期六例已知空间R中两组基（I）{Eij}（II）；{}求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。求向量在基（II）的坐标Y。例1.1.8P8第25页，共66页，2023年，2月20日，星期六线性空间V与Fn的同构

坐标关系VFnV的基{1，2，。。。n}由此建立一个一一对应关系V，XFn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在关系下，线性空间V和Fn同构。第26页，共66页，2023年，2月20日，星期六同构的性质定理1.3:V中向量{1，2，…n}线性相关它们的坐标{X1,

X2,…,Xn}在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用：

借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。第27页，共66页，2023年，2月20日，星期六§1.2

子空间

概述：线性空间V中，向量集合V可以有集合的运算和关系：

WiV，W1W2，W1W2，问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？第28页，共66页，2023年，2月20日，星期六1、子空间的概念

定义：

设非空集合WV，W

，如果W中的元素关于V中的线性运算为线性空间，则称W是V的子空间。

判别方法：ImportantTheoremW是子空间

W对V的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法第29页，共66页，2023年，2月20日，星期六子空间和非子空间的例子：V={x=(x1，x2，0｝R3，V={x=(x1，x2，1｝R3，矩阵ARm×n，齐次线性方程组AX=0的解集合：S=｛X：AX=0｝Rn，非齐次线性方程的解集合：

M=｛X：AX=b｝Rn，第30页，共66页，2023年，2月20日，星期六重要的子空间：生成子空间

设向量组｛1，2，···，

m｝V，由它们的一切线性组合生成的子空间：

Span{1，2，···，m}=L(1，2，···，m)

=

｛k11+k22+···+kmm|

ki}

生成子空间的重要的性质：1）如果1，2，···，m线性无关，则其为生成子空间Span{1，2，···，m}的一组基；2）如果1，2，···，r是向量组1，2，···，m的最大线性无关组，则

Span{1，2，···，m}

1，2，···，r是Span{1，2，···，m}的一组基第31页，共66页，2023年，2月20日，星期六2、子空间的“交空间”与“和空间”

讨论：设W1V，W2

V，且都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？（1）

交空间交集：W1W2=｛

W1

而且W2｝Vn（F）W1W2是子空间，被称为“交空间”（2）和空间和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝W1W2W1＋W2W1＋W2是子空间，被称为“和空间”，W1W2不一定是子空间，W1W2

W1＋W2

第32页，共66页，2023年，2月20日，星期六例设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}

求和空间W1＋W2。比较：集合W1W2和集合W1＋W2。如果W1=Span{1，2，…，

m}，

W2=Span{1，2，…，

k}，则

W1＋W2=Span{1，2，…，m，1，2，…，

k}

第33页，共66页，2023年，2月20日，星期六3、维数公式

子空间的包含关系：

dimW1W2dimWidimW1＋W2dimVn（F）。维数定理：dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）证明：第34页，共66页，2023年，2月20日，星期六4、子空间的直和

分析：如果dim（W1W2）0，则

dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2

所以：

dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2

dim（W1W2）=0W1W2={0}直和的定义：

若

dim（W1W2）=0，则和为直和

W=W1＋W2=W1W2，第35页，共66页，2023年，2月20日，星期六子空间的“和”为“直和”的充要–条件：

Theorem

设W=W1＋W2，则下列各条等价：（1）

W=W1W2（2）

XW，X=X1＋X2的表是惟一的（3）

W中零向量的表示是惟一的（4）

dimW

=dimW1＋dimW2第36页，共66页，2023年，2月20日，星期六例

P131.2.6

例

设在Rn×n中，子空间

W1={A

AT=A}，W2={BBT=–B}，证明Rn×n=W1W2。

第37页，共66页，2023年，2月20日，星期六§1·3线性变换(LinearTransformations)一、

线性变换的概念线性变换的来历；Definition：（i）T是V上的映射：T：VV。

(ii)T具有线性性：

T（＋）=T（）＋T（）

(保持加法的三角形法则)T（k）=kT（）

(保持比例关系)第38页，共66页，2023年，2月20日，星期六2线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）

T(－)=－T()（iii）

3线性变换的象空间和零空间设线性变换T：VV，象空间Im(T)=｛：V，=T()｝

零空间Ker(T)=｛：V，T()=0｝定义：T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）线性变换保持线性相关性不变！第39页，共66页，2023年，2月20日，星期六例

(P018)

Rn中的变换T：设ARn×n是一个给定的矩阵，XRn，T(X)=AX。(1)T是线性变换；(2)Ker(T)是AX=0的解空间；(3)Im(T)=Span{a1,a2,...,an},其中a1是矩阵A的列向量；(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n第40页，共66页，2023年，2月20日，星期六4线性变换的运算设T1，T2都是空间V中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：（i）

T1＋T2

V，（T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）（ii）

T1T2

V，

(T1T2)（）=T1（T2（））（iii）

kT

V，（kT）（）=k（T（））（iv）

若T－1是可逆变换，T－1

T－1()=当且仅当T()=。定义第41页，共66页，2023年，2月20日，星期六二、线性变换的矩阵

1线性变换的矩阵与变换的坐标式Purpose:将抽象的线性变换与矩阵对应起来T的矩阵第42页，共66页，2023年，2月20日，星期六二、线性变换的矩阵

1线性变换的矩阵与变换的坐标式V上线性变换的特点分析：定义变换T

确定基中向量的象T（i）。定义T（i）确定它在基下{i}的坐标Ai

。定义变换T

确定矩阵A=[A1，A2，…，An]第43页，共66页，2023年，2月20日，星期六例

已知定义映射T：(1)证明T是V上的线性变换；(2)求V的一组基，并求T在这组基下的矩阵。第44页，共66页，2023年，2月20日，星期六

2线性变换运算的矩阵对应：设V上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1＋T2）（A1＋A2）（ii）（T1T2）

A1A2（iii）（kT）

kA（iv）T－1

A－1第45页，共66页，2023年，2月20日，星期六

3不同基下的变换矩阵两组基{1，2，…,n}，{1，2，…,n}，（12…n）=（12…n

）CT（12…n

）=（12…n）AT（12…n）=（12…n）B

同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C－1AC123第46页，共66页，2023年，2月20日，星期六*例（P025，例1.4.6）*例

设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的线性变换

P（x）=x-（x，u）u，求P在自然基{e1，e2，e3}下的变换矩阵。求P在标准正交基{u，u2，u3}下的变换矩阵。第47页，共66页，2023年，2月20日，星期六2.1

内积与欧氏空间

InnerProduct&EuclidianSpaces内积的作用：研究高维空间中的几何问题。

1Example:R3上的内积定义2

内积的公理化定义Definition：要点内积(，)是二元运算：V×V→R

(，)的公理性质

(，)是任何满足定义的运算。讨论(，1＋2),(，k)

第48页，共66页，2023年，2月20日，星期六

3常见的内积空间：Rn

；Remark:对于同一个线性空间，可以定义不同的内积成为不同的欧氏空间Rm×n；第49页，共66页，2023年，2月20日，星期六

4向量的长度

定义：||

||=5

欧氏空间中向量的夹角：定义：0，0，夹角定义为：cos=性质：

||

k||

=k||

||

；三角不等式(Cauchy不等式)：

，

V,

|

(，)

|

||

||

||

||

。||

＋||

||

||

＋||

||

和正交（，）=0

第50页，共66页，2023年，2月20日，星期六6线性空间的内积及其计算：设{1，2，…,n}是内积空间V的基，，V，则有=x11＋x22＋…＋xn

n=

(12…n)X；=y11＋y22＋…＋yn

n=(1

2…n)Y(，)==YHAX，

定义内积在一个基{1，2，…，

n}中定义内积

定义一个度量矩阵A。

度量矩阵A度量矩阵的性质：第51页，共66页，2023年，2月20日，星期六2.2标准正交基OrthogonalBasis

1正交的向量组：

定义：｛1，2，…，n｝为正交组(i，j)=0性质：不含零向量的正交向量组线性无关。2标准正交基基｛1，2，…，n｝是标准正交基(i，

j)=要点：是基，两两正交，每一个向量是单位向量第52页，共66页，2023年，2月20日，星期六标准正交基的优点：

度量矩阵是单位矩阵，即A=I=(12…n)X，=(12…n)Y，(，)=YHX=x11＋x22＋…＋xn

n，xi=(，i)和正交其坐标X和Y正交

坐标空间Fn的内积标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤：

Schmidt正交化

标准化第53页，共66页，2023年，2月20日，星期六例

已知(1)证明(X,Y)是V上的内积；(2)求W的一组标准正交基。第54页，共66页，2023年，2月20日，星期六2.4正交补定义:设W,U是实内积空间V的子空间，(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作aW;(2)若aW,

bU,都有(a,b)=0,则称W

与U正交，记作W

U;(3)若W

U，并且W

+U=V,则称U

为W的正交补。注意：若W

U，则W与U

的和必是直和。55第55页，共66页，2023年，2月20日，星期六正交补的存在唯一性定理:设W是实内积空间V的子空间，则W的正交补存在且唯一，记该正交补为，并且56定理:设W是实内积空间V的有限维子空间，则第56页，共66页，2023年，2月20日，星期六向量的正投影定义:设W是实内积空间V的子空间，则称向量