线性代数第二章维向量

线性代数第二章维向量第1页，共67页，2023年，2月20日，星期六二.n维向量(vector)的概念

n维向量本质

表现形式

几何背景

n个数a1,a2,…,an构成的有序数组向量/点的坐标列矩阵行矩阵

行向量

列向量

分量

第二章n维列向量§2.1n维向量及其运算第2页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.1n维向量及其运算与矩阵的线性运算相同三.n维向量的线性运算与矩阵的线性运算性质相同四.n维向量的线性运算性质n维向量:1,2,…,s

五.线性组合(linearcombination)

数(scalars):k1,k2,…,ks

线性组合:k11+k22+…+kss

第3页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.1n维向量及其运算

=k11+k22+…+kss

n维向量:,1,2,…,s

若存在常数:k1,k2,…,ks使得则称能由向量组1,2,…,s线性表示(canbelinearlyrepresentedby1,…)第二章n维列向量六.线性表示(linearrepresentation)第4页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.1n维向量及其运算例1.n维基本单位向量组1=100…,2=010…,n=001….…,第二章n维列向量standard/naturalbasisofRn

第5页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.1n维向量及其运算任何一个n维向量=a1a2an…都能由1,2,…,n线性表示.=a1

100…+a2

010…+…+an

001….事实上,第二章n维列向量第6页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.1n维向量及其运算例2.

A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans=(1,2,…,s),=b1b2bn…,x=x1x2xs…,能由1,2,…,s线性表示方程组Ax=

有解.第二章n维列向量第7页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.2向量组的秩和线性相关性§2.2向量组的秩和线性相关性一.基本概念列向量组:1,2,…,s

矩阵A=(1,2,…,s)

矩阵A的秩

向量组1,2,…,s的秩

r(1,2,…,s)

第二章n维列向量第8页，共67页，2023年，2月20日，星期六行向量组:1,2,…,s

矩阵A的秩

向量组1,2,…,s的秩

矩阵A=12s…r(1,2,…,s)

§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量第9页，共67页，2023年，2月20日，星期六

r(1,2,…,s)

s

r(1,2,…,s)

<s

r(1,2,…,s)

=s1,2,…,s

线性无关1,2,…,s

线性相关§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量(linearlydependent)(linearlyindependent)第10页，共67页，2023年，2月20日，星期六1,2,…,s线性相关1T,2T,…,sT线性相关几个显然的结论:(1)注意:不要混淆:“矩阵A的列向量组线性相关”“矩阵A的行向量组线性相关”与如:A=101010§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量第11页，共67页，2023年，2月20日，星期六(2)只含有一个向量的向量组线性相关

=0.(4)含有两个向量,的向量组线性相关,

的分量成比例.(5)当s>n时,任意s个n维向量都线性相关.例3.

设1,2,3线性无关,1=1+22,2=2+23,3=3+21.证明:1,2,3线性无关.(3)含有零向量的向量组一定线性相关.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量第12页，共67页，2023年，2月20日，星期六二.向量组之间的关系A:1,2,…,r

B:1,2,…,s若B组中的每个向量都能由A组中的向量线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.1.给定两个向量组§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量能由线性表示,例如:2030,1001,但2030不能由线性表示.,1001,第13页，共67页，2023年，2月20日，星期六简记为A

:1,2,…,s,C

:1,2,…,n.若j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量第14页，共67页，2023年，2月20日，星期六简记为B:1,2,…,s,C

:1,2,…,m.若i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12s§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量1

2

m

第15页，共67页，2023年，2月20日，星期六矩阵的乘积Cmn

=

AmsBsn,=行向量i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量组的线性表示:§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量2.向量组的线性表示与矩阵乘积第16页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量3.传递性A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+2

2=12+3

=2(1+2)+(1+22)=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2)=1,第17页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量B能由A线性表示A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,

111121=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)

211101=BF,=(1,2)

211101

111121=(1,2)

3140C能由B线性表示一般地,C能由A线性表示.第18页，共67页，2023年，2月20日，星期六若向量组B能由向量组A线性表示;同时向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量A:1,2,…,r

B:1,2,…,s4.给定两个向量组显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);(3)若A与B等价且B与C等价,则B与A等价

(传递性).第19页，共67页，2023年，2月20日，星期六例4.设有两个向量组I:1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],II:1=[1,0],2=[1,2].即I可以由II线性表示.则1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即II可以由I线性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量组I与II等价.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量第20页，共67页，2023年，2月20日，星期六5.矩阵等价与向量组等价初等行变换初等行变换§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量A的行向量组能由B的行向量组线性表示B的行向量组能由A的行向量组线性表示矩阵A与B的行向量组等价(rowequivalent)

第21页，共67页，2023年，2月20日，星期六初等列变换初等列变换§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量A的列向量组能由B的列向量组线性表示B的列向量组能由A的列向量组线性表示矩阵A与B的列向量组等价(columnequivalent)

第22页，共67页，2023年，2月20日，星期六注:初等行变换(1)无法通过初等列变换实现矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.初等列变换(1)无法通过初等行变换实现矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量第23页，共67页，2023年，2月20日，星期六定理2.1.若向量组1,2,…,t可由向量组1,2,…,s线性表示,则r(1,2,…,t)r(1,2,…,s).推论2.1.若向量组1,2,…,t可由向量组1,2,…,s线性表示,并且t>s,则向量组1,2,…,t是线性相关的.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量三.向量组秩的性质证明:记A=(1,2,…,s),B=(1,2,…,t),则存在C使得B=AC,故r(B)r(A).

第24页，共67页，2023年，2月20日，星期六推论2.3.若向量组1,2,…,s和1,2,…,t

都线性无关,并且这两个向量组等价,则s=t.例5.设1=1+22,2=2+23,3=3+21.证明:1,2,3线性无关1,2,3线性无关.§2.2向量组的秩和线性相关性第二章n维列向量推论2.2.若向量组1,2,…,t与向量组1,2,…,s等价,r(1,2,…,t)=r(1,2,…,s).第25页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画§2.3向量组线性相关性的等价刻画定理2.2.向量组1,2,…,s线性相关存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks,使得k11+k22+…+kss=0.证明:()1,2,…,s线性相关r(A)<s,其中A=(1,2,…,s)存在s阶可逆矩阵P使得APes=0令(k1,k2,…,ks)=(Pes)T.则(k1,k2,…,ks)0且k11+k22+…+kss

=0.第二章n维列向量第26页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画()设k1,k2,…,ks不全为零且不妨设k10,则k11+k22+…+kss

=0.根据推论2.1可知1,2,…,s线性相关.1=k1

k2

2

k1

k3

3

k1

ks

s

…因而1,2,…,s能由2,…,s线性表示.第二章n维列向量第27页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画推论2.4.若1,2,…,s线性相关,反之,若1,2,…,s,s+1,…,t线性无关,则1,2,…,s也线性无关.则1,2,…,s,s+1,…,t也线性相关.第二章n维列向量第28页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画若向量组,,…,线性相关,其中1,2,…,s是维数相同的列向量,1,2,…,s也是维数相同的列向量,则1,2,…,s也是线性相关的.反之,若1,2,…,s线性无关,则也是线性无关的.,,…,1122ss1122ss第二章n维列向量第29页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画推论2.5.1,2,…,s线性无关由k11+k22+…+kss

=0可推出k1=k2=…=ks

=0.例6.

设n维列向量和nn矩阵A满足Ak10,但Ak=0,证明:向量组,A,A2,…,Ak1

线性无关.第二章n维列向量第30页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画定理2.3.向量组1,2,…,s线性相关1,2,…,s至少有一个可以由其余s1个向量线性表示.定理2.4.若向量组1,2,…,s线性无关,而1,2,…,s,线性相关,则

一定能由1,2,…,s线性表示,并且表示的方式是唯一的.第二章n维列向量第31页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画例7.证明:n个n维列向量1,2,…,n线性无关的充分必要条件是:任何一个n维列向量都能由1,2,…,n线性表示.证明:(充分性)任何一个n维列向量都能由1,2,…,n线性表示1=100…,2=010…,…,n=001…都能由1,2,…,n线性表示n=r(1,…,n)r(1,…,n)n…第二章n维列向量第32页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.3向量组线性相关性的等价刻画证明:(必要性)由于n+1个n维列向量总是线性相关的,所以1,2,…,n,线性相关.又因为1,2,…,n线性无关,根据定理2.4可知都能由1,2,…,n线性表示.第二章n维列向量例7.证明:n个n维列向量1,2,…,n线性无关的充分必要条件是:任何一个n维列向量都能由1,2,…,n线性表示.第33页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量§2.4向量组的极大线性无关组一.定义如果向量组1,2,…,s的部分组满足以下列条件:,…,

i1

,i2

ir

线性无关;,…,

i1

(1),i2

ir

(2)1,2,…,s中任一向量都可由线性表示,,…,

i1

,i2

ir

极大线性无关组(maximallinearlyindependentsubset).为1,2,…,s的一个,…,

i1

则称,i2

ir

第34页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量二.有关结论定理2.5.秩为r的向量组1,2,…,s一定有由r个向量构成的极大无关组.命题2.1.秩为r的向量组中任何r个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.第35页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量定理2.6.一个向量组的任何两个极大无关组都是等价的,因而任意两个极大无关组所含向量的个数都相同,且等于这个向量组的秩.命题2.2.一个向量组与它的任何一个极大无关组都是等价的.第36页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量三.计算理论依据:(1)命题2.1(2)定理1.11(初等变换不改变矩阵的秩).例8.已知向量组1,2,3线性无关,求12,23,31,的一个极大无关组.第37页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量例9.设A=32050323612015316414,求A的列向量组的一个极大无关组.1

6

4140

431

10

004

1000

00解:A=32050323612015316414初等行变换可见A的第1,2,4列构成A的列向量组的一个极大无关组.第38页，共67页，2023年，2月20日，星期六§2.5向量空间第二章n维列向量§2.5向量空间一.向量空间(vectorspace)的概念1.n维实(列)向量的全体Rn={(x1,x2,…,xn)T|x1,x2,…,xnR}关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算满足如下8条基本性质:关于加法:(1)交换律;(2)结合律;(3)0;(4)关于数乘:(5)1·=;(6)k(l)=(kl);(7)(k+l)=k+l;(8)k(+)=k

+k.第39页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间2.设V是Rn的非空子集,且对向量的加法及数乘封闭(closed),即仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运算也构成一个向量空间.Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间.则称V是Rn的一个子空间(subspace),或直接称为一个(实)向量空间(realvectorspace).,V,kR,有+V,kV,closureconditions第40页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间例10.检验下列集合是否构成向量空间.(1)V={(x,y,0)|x,y

R};(2)V={(x,y,z)|x,y,

zR,

x+yz=0};(3)ARmn,bRm,b0,KA={Rn|A=0};SB={Rn|A=b}.第41页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间(4)1,2,…,sRn,L(1,2,…,s)={|诸kiR}.

skii

i=1——由1,2,…,s生成的向量空间

(generated/spannedby1,…)或

1,2,…,s——生成元(generator).{1,2,…,s}的线性包(linearclosure).第42页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间二.向量空间的基(basis)与维数(dimension)1,2,…,r——V的一组基:r称为V的维数.记为维(V)或dim(V).n维基本单位向量组就是Rn的一组基,dim{Rn}=n;例11.求例10中的各向量空间的基与维数.零空间没有基,规定dim{0}=0.①1,2,…,r线性无关,②V都能由1,2,…,r线性表示.第43页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间定理2.7.1,2,…,s的极大无关组

特别地,A=(A1,A2,…,As),求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数.例12.设A=[A1,A2,A3,A4]=101210111111,L(1,2,…,s)的基

dimL(1,…,s)=r(1,…,s).L(A1,A2,…,As)——A的列空间(columnspace)dimL(A1,A2,…,As)=秩(A).第44页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间101210111111解:初等行变换可见dimL(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.注:此外A1,A3也是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.

还有A1,A4.100210110110事实上,对于这个例子,除了A3,A4以外,A1,A2,A3,A4中任意两个向量都构成L(A1,A2,A3,A4)的一组基.第45页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间三.向量在基下的坐标1,2,…,r——V的一组基,由定义,对V,唯一的一组有序实数k1,k2,…,kr使得

=k11+k22+…+krr.{k1,k2,…,kr}T——

在1,2,…,r

这组基下的坐标(coordinate).第46页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间四.基变换与坐标变换设1,2,…,r和1,2,…,r是V的两组基,则存在rr矩阵P使(1,2,…,r)=(1,2,…,r)P.称P为从基1,2,…,r到1,2,…,r的过渡矩阵(transitionmatrix).由r=r(1,2,…,r)r(P)r可得r(P)=r.

故|P|0,即P可逆.第47页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.5向量空间定理2.8.设1,2,…,r和1,2,…,r是V的

两组基,V在这两组基下的坐标

分别为x,y,则证明:=(1,2,…,r)x=(1,2,…,r)y

=(1,2,…,r)Py

x=Py,y=P1x.(1,2,…,r)(xPy)=0.又因为1,2,…,r线性无关,所以xPy=0,即x=Py,进而y=P1x.第48页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵§2.6内积与正交矩阵一.Rn中向量的内积,长度和夹角1.设

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,记为[,],即则称实数aibi

为向量与的内积

n

i=1[,]=aibi=T.

n

i=1(inner/dot/scalarproduct).第49页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵2.内积的基本性质

对称性:[,]=[,];(2)线性性:[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)(Cauchy-SchwartzInequality)

|[,]|[,][,].考察y=[,]x2+2[,]x+[,].

n=(xai+bi)20i=1=(2[,])24[,][,]0[,]2[,][,].第50页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵3.对于n维实向量,称

[,]为的长度

(length)模(modulus),记为||||,即4.长度的基本性质(3)三角不等式(TriangleInequality):[,]||||==ai2

n

i=1(1)正定性:||||0;且||||=0=;(2)齐次性:||k||=|k|·||||(kR);|+|||||+||||.第51页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵5.长度为1的向量称为单位向量(unitvector).对于非零向量,||||1是一个单位向量.——单位化/标准化(normalize).6.设,Rn,若0,0,则定义,的若[,]=0,即

=/2,则称与正交(orthogonal).夹角(theanglebetweenand)为

=arccos[,]||||·||||,0

第52页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵例13.设,Rn,且与线性无关,求常数k使

+k与正交.

||||=||||cos=[,]||||

=||||||||

[,]||||||||=||||=[,]||||||||

[,][,].=第53页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵二.正交向量组和Schmidt正交化方法正交(mutuallyorthogonal)向量组标准正交(orthonormal)向量组正交基(orthogonalbasis)标准正交基(orthonormalbasis)1.概念第54页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵命题2.3.设1,2,…,s是标准正交向量组,

且

=k11+k22+…+kss,

则ki=[,i],i=1,2,…,s.2.结论定理2.9.1,2,…,s正交线性无关.命题2.4.设1,2,…,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,…,s使得

1,2,…,t与1,2,…,t等价

(1ts).第55页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵1=1,………3.方法(Gram-Schmidtorthogonalisationprocess)2=2[2,1][1,1]1,s=s[s,1][1,1]1…[s,s1][s1,s1]s1再将1,2,…,s单位化得:1=1

||1||,2=2

||2||,…,s=s

||s||.第56页，共67页，2023年，2月20日，星期六第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵三.正交矩阵(o