2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷一理科数学

2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）[2019-福建福州质检]已知集合A={%12x+1>3},B={%I%2—x—2<0},则AUB=（ ）A.{xI1<x<2}B.{xI—1<x<1}C.{x|—2<x<1或x>1}D.{xIx>—1}答案：D解析：因为3£A,所以3£（AUB），排除A,B.因为一1建A且一1建B，所以一1阵（AUB）,排除C,故选D.[2019.北京八十中学月考]若a,b,c是常数，则“a>0且b2—4ac<0”是“对任意x£R,有ax2+bx+c>0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：：a>0且b2—4ac<0时，函数y=ax2+bx+c的图象开口向上且与x轴没有交点，所以对任意x£R，有ax2+bx+c>0；又a=b=0,c>0时，对任意x£R，有ax2+bx+c>0,而此时a>0且b2—4ac<0不成立，所以“a>0且b2—4ac<0”是“对任意x£R，有ax2+bx+c>0”的充分不必要条件，故选A.[2019•辽宁沈阳育才学校联考]欧拉公式ex=cosx+isinx（i为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，令十$表示的复数的模为（）

A^±1B4A2B.2'：%+'•J2 6-J2答案：C解析：由题意得以其表示的复数的模为/（cos6+sinn）=逅*，故选C.4.［2019•湖北鄂东南省级示范高中联考］若幕函数y=%Fy=xm与y=xn在第一象限的图象如图所示，则m与n答案：C解析：由题意得以其表示的复数的模为/（cos6+sinn）=逅*，故选C.4.［2019•湖北鄂东南省级示范高中联考］若幕函数y=%Fy=xm与y=xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为（）n一21—3」.又fxn一21—3」.又fx)a1=15,〈[d=-28.故选D.解法二设｛an｝的公差为d,则由题意得a1+5d+a]+7d=6,a1+6d+a1+7d+a1+8d=3,解得a1=15,

d=-2,贝1Sn=15n+如—1)x(—2)=—(n—8)2+64(n£N*),所以当n=8时，Sn取得最A.-1<m<0<n<1B.—1<n<0<mC.-1<m<0<nD.—1<n<0<m<1答案：D解析：由幂函数的图象可知，0<m<1,-1<n<0,故选D. _［2019-吉林期末］若函数fx尸sin2x—%'3cos2x在［0,打上的值域为［一%门，2］,则t的取值范围为（）n5nH r5n5nA13，~6」B.L12，T_」匹1-「囱］%,叫叫⑵n」答案：B（一 nn解析：依题意，知f（x）=2sin（2x-J,因为x£［0,t］,所以2x—§£［—3,nn4n 5n5n在［0,t］上的值域为［—币,2］,则21—3金匕，了J,即t£在，"6"」.故选B.a6+a8=6,［2019.广东七校联合体第二次联考a6+a8=6,S9—S6=3,则Sn取得最大值时n的值为（） " "A.5B.6C.7D.8答案：Da,十5d十a,+7d=6,解析：解法一设｛a｝的公差为d，则由题意得｛1“一\一,°解得n [a1+6d+a1+7d+a1+8d=3,，所以an=-2n+17.由于a8=1>0,a9=—1<0,所以Sn取得最大值时n的值为大值.故选D.［2019.陕西黄陵中学模拟］中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形（不能全为正方形）、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体.关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之.各以其广乘之，并，以高乘之，六而一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为（ ）人39「75a5盯601C.39口石答案：B解析：设下底面的长、宽分别为x，y，贝12(x+y)=18,x+y=9，则x£|，9).解析：设下底面的长、宽分别为x，童”的体积为NX3X[2(6+x)+(2x+3)y]=7(30+2xy+y)=7(—2x2+17x+39)=—x2+~Zx+392，9, 392，x=9■时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为三，故选B.[2019・河北正定中学月考]设函数f（x）=4cos@x+cp）对任意的x£R,都有f（一x尸弓+x）,若函数g（x）=sin（mx+p）-2,则g用的值是（）A.1B.-5或3C.2D.-2乙答案：D解析：因为对任意的x£R，都有f（-x）=詹+x），所以函数f（x）=4cos（mx+p）的图象关于直线x=6对称，所以f1n）=4cos（詈+p^）=±4，即cos（詈+p）=±1，所以sin（詈+p^）=0，所以g（6）=-2，故选D.[2019.黑龙江哈尔滨六中二模]某日5名同学去食堂就餐，有米饭、花卷、包子和面条4种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足，仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的选择方案种数为）A.96B.120C.132D.240答案：C解析：分三种情况：（1）甲选花卷，有C2C3A2=36种方案；（2）甲选包子或面条中的一种且只有甲一人食用，有C1C1C|A|=48种方案；（3）甲选包子或面条中的一种且有两人食用，有CjC4A3=48种方案.综上，不同的选择方案共有36+48+48=132（种），故选C.[2019・河南开封定位考]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则输入的x为（）A.-1

B.0C.—1或1D.-1或0答案：D—x2+4,x<0,解析：由题意得y=1 , 、当x<0时，由一x2+4=3,得x=±1,;x<0,・•.x[3x+2,x三0,=—1.当x三0时，由3x+2=3,得x=0..'.x=-1或0,故选D.x2y2[2019-福建厦门一检]双曲线E：晟—尢=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2,过F]作一条直线与两条渐近线分别相交于A,B两点，若F\B=2F\A,IF1F2I=2IOB1,则双曲线的离心率为(：)A.\；2B.\13C.2D.3且O且O为F〃F2的中点，所以NF1BF2=90°.因为F\B=2F\A，所以A为线段F1B的中点，所以OA//F2B,所以OA±F1B,所以/AOF1=NAOB.因为直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，所以/AOF1=NBOF2,所以/BOF2=60°,b则一=tanNBOF、=、33,a 2 1所以双曲线的离心率e=a=\J1+g)2=2,故选C.[2019-江西两校联考]已知定义在R上的函数y=f(x)对于任意的x都满足f(x+1)=—f(x)，当一1Wx<1时，f(x)=x3,若函数g(x)=f(x)—logIxI至少有6个零点，则实数a的取值范围是() "A.(A.(。，|_|u(5,+8)B.(0,5)"5,+8)c.R5]Uc.R5]U(5,7)U[5,7)答案：A解析：由f(x+1)=—f(x)得f(x+1)=—f(x+2),因此f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的周期函数.函数g(x)=f(x)—logIx1至少有6个零点可转化成函数f(x)与h(x尸10gIxI的图象至少有6个交点，需对a进行分类讨论. "①若a>1,画出满足题意的图象，如图1所示，则10ga5<1,即a>5.

②若0<a<1,画出满足题意的图象，如图2所示，则h(―5)=log5三一1②若0<a<1,画出满足题意的图象，如图2所示，则h(―5)=log5三一1,即0VaW1.a 5综上所述，所求实数a的取值范围是(0,5_|u(5,+8).故选A.［2019・河南洛阳第一次统考］已知tan(a+2=2,则「光“一= .4 3sina十cosa解析：由战.得=2,得1a—a总=2,求得tana=3,所以2sina2tana3sin解析：由战.得=2,得1a—a总=2,求得tana=3,所以2sina2tana3sina+cosa3tana+12X!_13xj+1314.［2019•东北三校第一次模拟］等比数歹U｛an｝的各项均为正数=8a1+3a2，a4=16,则S4=.答案：30Sn是其前n项和，2S3解析：设等比数列｛aj的公比为q(q>0),因为2S3=8a1+3a2,a=16,、4所以2a1(1+q+q2)=a1(8+3q)qq3=16,4=2q=2,所以S4=2r1—2^=30.15.［2019-安徽黄山模拟］若函数f(%尸%2—1—1)十钦m)恒成立，则实数m的取值范围是___

答案：(—8，—坐］U惇，十8)-， 、，-- ，，- 3解析：依据题意，得对任意%£3,十一乙,,一，，- 3恒成立，即对任意%£2,十一乙2 -、，5- 1-+1取得最小值一5,所以皿% 3 m28\，J(%)—4m2f(%)Wf%\%2 一 一一，一一，,，一8J,m—1—4m2(%2—1)W(%—1)2—1+4(m2—1)\1 328J,m—4m2&一五一%+1怛成立・32时，函数y=一5 3一3,即(3m2+1>(4m2—3)三0,解得mW—,或m三3_%2.近2,故m的取值范围为故m的取值范围为［—8用u［东+816*[2019-重庆一中月考]△ABC中，AB=5,BC=5*3,A=1,点P是4ABC内(包括边界)的一个动点，且崩=|AB—|AAC(AGR)，则|API的最大值为答案：-历解析：因为△ABC中，AB=5,BC=5\'3,A=1,BC2=AC2+AB2—2AC-ABcosA,

n所以AC=10,AC2=BC2+AB2,所以B=2.乙以A为坐标原点，以AB所在的直线为X轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),则A(0,0),B(5,设点P为(x,y),3所以(x,y)=5(5,fx=3—2A,0),C(5,5①0WXW5,0WyW0)—2A(5,5\'3)=(3—2A,一2、.巧丸),所以y=-2\'3丸，所以y="・.；3(x—3),所以动点P在直线y=a;3(x—3)上，如图，画出该直线，则易知当点P为该直线与BC的交点时，IAPI取得最大值. _又易知此时点P的坐标为(5,2\"3),故1APImax=\；'52+(2后)2=、质.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17*(12分)［2019・甘肃酒泉五校联考］已知在平面四边形ABCD中，ZABC号，AB±AD,AB=1,AC="-,,-'5,△ABC的面积为2.(1)求sinZCAB的值；(2)若ZADC=£，求CD的长.解析：(1)依题意知，△ABC的面积S=2ABXBCXsinZABC=1X1XBCX^2：1由此可得BC=、泣在^ABC中，由正弦定理得在^ABC中，由正弦定理得BCACsinZCABsinZABC'、5x42即•吃R=昔，所以sinZCAB=一丁=差.sinZCAB.3n 5 5s叮

(2)由题设知，ZCAB〈1，贝UcosZCAB=\,：1—sin2/CAB=-\，1一(2=255兀因为AB±AD,所以ZDAC+ZCAB=2,25则sinZDAC=cosZCAB=5.在^ACD中，由正弦定理，得AC在^ACD中，由正弦定理，得ACCD5CD 5X即年事所以CD=个sinZADCsinZDAC，2术5=4.以点A为原点，以点A为原点，Da的方向为％轴的正方向，AB的方向为y轴的正方向，aCI的方向为Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A—孙乙18.(12分)［2019山西省太原市检测］如图1,在4ABC中，AB=3,DE=2,AD=2,ZBAC=90°,DE//AB，将△CDE沿DE折到如图2中^C1DE的位置，点P在C1E上.(1)求证：平面PAB，平面ADC］； _42(2)若ZADC尸60°,且AP与平面ABED所成角的正弦值为斤，求二面角P—AD—B的余弦值.解析：(1)证明：在△ABC中，VZBAC=90°,AB±AC.・•DE/AB,・•・DE±AD,DE±CD.由折叠性质得DE±Dq,又ADnDC1=D,•・DE，平面ADC1,•・AB，平面ADC1.AB平面PAB,・•・平面PAB，平面ADC1.(2)由(1)得AB，平面ADR,・•・AB±AD,AB±AC1,DE/AB,・•・CD=DE.CAABAB=3,DE=2,AD=2,ACD=C1D=4.VZADC1=60°,A由余弦定理得AC1=2\13,AC1D2=AC2+AD2,AACJAD.

则40,0,0),B(0,3,0),D(-2,0,0),C1(0,0,2v3),E(—2,2,0),设AP=AC1+XC^E(0WAW1),则AP=(-2A,2A,2V3(1—A)),易知AC1=(0,0,2、./3)是平面ABED的一个法向量，贝Ucos〈AP,AC1〉AP-贝Ucos〈AP,AC1〉=lAPIIAC1|='，2A2+3(1-A)2=72迪^3'3/设m设m=(%,y,z)是平面PAD的一个法向量m±AD,,一〔m±AP,—2x=0,-2x+3y+手z=0,〈m,公1〉=包"=条3Iml-lAC1I•.cos令z=〈m,公1〉=包"=条3Iml-lAC1I•.cos由图知二面角P-AD-B的平面角为锐角，.,.二面角P—AD—B的余弦值为七319.(12分)[2019・福建省福州市高三下学期质量检测]最近由中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上.某部门研究成果认为，房租支出超过月收入■的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入3的租户“幸福指数”高.为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查.甲小区租户的月收入以[0,3),[3,6),[6,9),[9,12),[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如下：0.1600.117000600.1600.117000600.030乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下:月收入[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15]户数38272492(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M的概率；(2)利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；

(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元，1千元，请根据条件完成下面的2X2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.幸福指数低幸福指数高总计甲小区租户乙小区租户总计参考公式:附：临界值表参考公式:P(K2三k)0.100.0100.001k2.7066.63510.828 n(ad—bc)2 *2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'解析：(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060+0.160)X3=0.66,故P(A)的估计值为0.66；乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为24+9+2

100=0.35故P(B)的估计值为0.35.因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，所以事件M的概率的估计值P(M)=P(A)P(B)=0.66X0.35=0.231.(2)设甲小区所抽取100户租户的月收入的中位数为t千元，贝10.060X3+(t—3)X0.160=0.5,解得t=5.所以甲小区100户租户的月收入的中位数为5千元.⑶将列联表补充完整如下：幸福指数低幸福指数高总计甲小区租户6634100乙小区租户3862100总计10496200根据2X2列联表中的数据，200X(66X62—38X34)2一“八得到K.2的观测值k=104X96X100X100处15.705>10.828,所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.20.(12分)[2019・湖南长沙雅礼中学月考]如图，已知椭圆及+b=1(a>b>0)的左、右焦a2 2点分别为F2,F1，短轴两个端点分别为A,B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程；(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD±CD,CM交椭圆于点P.证明：OM-Op为定值.

a解析：(1)由题意知a=2,b=c,a2=b2+c2,/.b2=2,・,・椭圆方程为曰+y22=i.(2)易知C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x〃匕),则OP=(x1,y1),OM=(2,y0),直线CM：丫=三0，即y=y0x+；y0,y0代入x2+2y2=4,得(1+卷)%2+-ygx+-y2—4=0.・•./X(-2)=4iy2-i,A^=-2Iy0-),y=治,1 y0+8 1 y2+8 1 y2+8・9=(-2(y2-8)_8y^•，O=( y0+8,y2+8・OM-OP=-4J音+急=*=4(定值)•y02+8 y02+8y02+8(12分)［2019•吉林长春质检］已知函数f(x尸lnx+ax2—(2a+1)x(其中常数aW0).⑴当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x=1处取得极值，且在(0,e］上的最大值为1,求实数a的值.解析：(1)当a=1时，f(x)=lnx+x2-3x,x>0,f'f'(x)=；+2x-3=

x2x2—3x+1 (2x—1)(x—1)x,令f'(x)=0,解得x=2或x=1.当0<x<2时，f(x)>0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递增；当2<x<1时，f(x)<0,所以函数f(x)在［,1)上单调递减；当x>1时，f(x)>0，所以函数f(x)在(1，+8)上单调递增.综上可知，函数f(x)的单调递增区间为(0，2)，(1，+8)，单调递减区间为6，1)., 1, , 2ax2-(2a+1)x+1(2ax-1)(x-1)(2f(x)=x+2ax-(2a+1)= '—= f~:，令f'(x)=0，解得x=1或x=+.a因为f(x)在x=1处取得极值，所以；1W1.a当2^<0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e］上单调递减，所以f(x)在(0，e］上的最大a值为f(1)，令f(1)=1，解得a=-2.当0<2^<1时，f(x)在(0，J上单调递增，在2，1)上单调递减，在(1，e］上单调递增，aa a所以f(x)的最大值1可能在x=2；或x=e处取得，a而恁=ln2a+a(2a)2-(2a+1)X2a=ln2aT-1<0，

所以f(e)=ln所以f(e)=lne+ae2—(2a+1)e=1,解得a='当1<2a<e时，f(x)在(。，1)上单调递增，在(1所以f(x)的最大值1可能在x=1或x=e处取得，而f(1)=ln1+a—(2a+1)<0,所以f(e)=lne+ae2—(2a+1)e=1,解