2020-2021学年黑龙江牡丹江一中高三上开学数学试卷文科

2020.2021学年黑龙江省牡丹江一中高三(±)开学数学试卷(文科)一、选择题(每题5分，共12题).设集合4={%|2久>1}，B={x\\x\<1},则ZnB=()A.(-l,1) B.(0,1] C.[-l,1] D.[0,1].设i为虚数单位，复数z满足z(l-i)=23贝lj|ze()A.l B.V2 C.2 D.2V2.已知命题p:V%CR,%2-%+l>0,则「p( )A.3xGR,%2-%+1<0 B.VxER,x2-x+1<0C3xGR,%2-%+1>0 D.VxER,x2-x+1>0TOC\o"1-5"\h\z.若sin(九一a)二-3,a为第二象限角，贝Mana=()2 5Al生 Bf C.—3 D.33 3 4 45,已知命题p："Vie[1,e],a>ln%〃，命题q：勺%GR,%2-4%+a=0〃〃若"pAq〃是真命题，则实数a的取值范围是()A.(l,4] B.(0,1] C.[-l,1] D.(4,+oo).甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时,甲说："丙或丁阅读了〃；乙说：“丙阅读了〃；丙说：“甲和丁都没有阅读〃；丁说：“乙阅读了〃.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是OA.甲 B.乙 C.丙 D.T.设锐角△ABC的三内角4B,C所对边的边长分别为a,b,c,且b=2,4=2B,贝b的取值范围为()A.(2V2,2V3) B.(2,2V3) C.(275,4) D.(0,4).函数y=2Esin2i的图象可能是().已知函数f(%)的导函数为/(%),且满足关系式f(%)=%2+3%((2)+。久，贝IJ尸(2)的值等于()A.-O B.^-2 C.—丝 D.—四—2TOC\o"1-5"\h\z2 2 210,函数丫=108.(%+4)+29>0且。/1)的图象恒过点4且点4在角。的终边上，贝Ijsin2e=()A.—$ B.s C.-12 DF13 13 13 13.已知f(%)是定义域为(-8,+8)的奇函数,满足f(l—%)=f(l+%),若f⑴=2,则f(l)+f(2)+/(3)+...+/(50)=()A.-50 B.O C.2 D.50.已知函数f(x)=V5sin2%-2cos2%+L将f(%)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的j纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g(%)的图象，若g(%)・g(%2)=9,则％-4|的值可能为()A3 B.% CF D好3 2 4 4二、填空题(每题5分，共4题)曲线y=%ln%在点(1,0)处的切线方程为.第1页共18页第2页共18页((工)求f(%)的单调区间；(口)求函数g(%)=f(%)%在区间产,2］上的最小值.2「e久i,x<1 . ....一设函数f(%)={+ ，则f(%)<3成立的％的取值范围 I%2，%>1已知85仇+cos0=\sina+sin。=启，则cos(a £)=22已知函数f(%)=a%2+(a2)%ln%.(工)若函数f(%)在％=1时取得极值，求实数a的值;(口)当0<a<1时，求f(%)零点的个数.设函数f(%)=1I2支'1I'"<；，若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c)，则2a+2b+2c的取值，、/ %+5,%>2范围是.三、解答题(17题10分，18-22题，每题12分)已知0:|2%5|<3,q:%2(a+2)%+2a<0.(1)若0是真命题，求对应％的取值范围；(2)若0是q的必要不充分条件，求a的取值范围.(文)已知函数f(%)=(#3sin3%+cos3%)cos3%[®>0)的最小正周期为4兀.(1)求3的值;(2)求f(%)的单调递增区间.在443。中，a，b，c，分别为角4B，C的对边，且sinBsinC=sin(4C).(工)求角4(口)若a=3,求b+2c的最大值.如图，。是直角△4BC斜边8。上一点，4C=J3dC.(工)若NB4D=60。，求/4DC的大小；(口)若BD=2DC，且4B=V6，求4。的长.设函数f(%)=%2+1lnx.第3页共18页第4页共18页参考答案与试题解析2020.2021学年黑龙江省牡丹江一中高三(±)开学数学试卷(文科)一、选择题(每题5分，共12题)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合4B,由此能求出4GB.【解答】;集合4={%|2久>!}={x\x>0],B={x\\x\<1}={%|-1<%<1},AnB={x\0<x<l]=(0,1].【答案】B【考点】复数的模【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解.【解答】由z(l_i)=2i,得z=2= =_1i,l-i(l-i)li)\z\=V2.【答案】A【考点】命题的否定【解析】命题%2-%1>0〃是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【解答】解：:全称命题的否定是特称命题，「p：3%GR,X2-x1<0.故选4.【答案】A【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】第5页共18页由已知求得cosa,进一步得到sina,再由商的关系求得tana.【解答】由sin（支一a）=_3,得cosa=-3,2 5 5.'a为第二象限角，，sina=dl-cos2a=4.5则tana=皿=一仝cosa35.【答案】A【考点】复合命题及其真假判断【解析】先求出命题小q成立的等价条件，利用命题“°Aq〃为真命题，确定实数a的取值范围【解答】若命题p：“V%e[1,e]，a>In%,为真命题，则a>lne=l,若命题q：勺％eA,-4Xa=0”为真命题，则△=16—4a20,解得a44,若命题"pAq〃为真命题，则0,q都是真命题，则产>1，人<4解得：1<a44.故实数a的取值范围为（1,4].【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解.【解答】①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙,④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，【答案】A【考点】第6页共18页正弦定理【解析】由题意可得0<28<巴且式解得B的范围，可得cosB的范围，由正弦定理求得a=4cosB,根据2 2cosB的范围确定出a范围即可.【解答】锐角△4BC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,A=2B,「•0<28<巴且B+4=3B,2K<3B<n.2支<8<支,6 4「・应<cosB<上，2 2.b=2,4=28,由正弦定理可得：a=b^inZB=2Z)sinBcosB=4COS5,sinB sinB可得：20<4cosB<2内，则a的取值范围为(2夜,2V3).【答案】D【考点】函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(%)=2\x\sin2x,/(—%)=2\-x\sin(—2x)=—2\x\sin2x=—/(%),所以f(%)是奇函数，图象关于原点对称，排除4和B.又因为f(：)=2甲-s讥兀=0,所以排除C.故选，【答案】D【考点】导数的运算【解析】根据导数公式先求出户(%)，然后令％=2即可得到f，(2)的值.【解答】解：:f(%)=%2+3%f/(2)+e久，f,(x)=2x+3/,(2)+ex,令第=2,第7页共18页则户(2)=4+3f，(2)+e2,即—2f，(2)=4+e2,f，(2)=—红一2.2故选，【答案】C【考点】对数函数的单调性与特殊点任意角的三角函数【解析】令对数的真数等于零，求得%、y的值，可得定点4的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tan。，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin26的值.【解答】对于函数y=log(%+4)+2(a＞。且aw1),令％+4=1,求得％=-3,y=2,可得函数的图景恒过点4(-3,2),且点4在角。的终边上，3适=乂=—2,贝ijsin26=21n3-=E^-=一六，x3 sin20+cos20tan20+l13【答案】c【考点】函数的求值【解析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.【解答】解：:f(%)是奇函数，且f(1—%)=f(1+%),・••/(I—%)=/(I+%)=-/(%-1),/(0)=0,则八%+2)=-/(%),贝行(％+4)=-f(x+2)=/(%),即函数f(%)是周期为4的周期函数，・.f(l)=2,f(2)=/(O)=0,/(3)=/(I-2)=/(-l)=-/(l)=-2,f(4)=/(O)=0,则/'(1)+f(2)+/(3)+f(4)=2+0—2+。=。，则f(l)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(49)+/(50)=f⑴+f(2)=2+0=2，故选C.【答案】第8页共18页B【考点】函数y=Asin(gox+4))的图象变换【解析】化函数f(%)为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y=g(%)的解析式，利用g(%])・g(%)=9求得%]、%满足的条件，再求黑一%|的可能取值.【解答】函数f(%)=V3sin2x_2cos2%+1=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-2),6将f(%)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的1倍，得y=2sin(4%-E)的图象；TOC\o"1-5"\h\z2 6再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g(%)=2sin(4%-区)+1的图象，6若g(X)•g(%D=9,贝i]4%—笈=支+2/ctt，kez；IN 6 2解得第=区+皿，kEZ；6 2其中第1、%?是三角函数g(%)最高点的横坐标，•••1%—%|的值为T的整数倍，且7=浜=宜.2 4 2二、填空题(每题5分，共4题)【答案】x—y—1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数祗=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案.【解答】由f(%)=%ln%,得y，=In%+%•工=In%+1,X/<(l)=lnl+1=1,即曲线f(%)=%ln%在点(1,0)处的切线的斜率为1,则曲线f(%)=%ln%在点(1,0)处的切线方程为y-0=1x(%-1),整理得：x—y—1=0.故答案为：x—y—1=0.【答案】(一8,9]【考点】分段函数的应用函数单调性的性质与判断【解析】根据f(%)的解析式可看出，％<1时，满足/'(%)43；%21时，由/'(%)43可得，<3,从而得出工9,这样便可得出％的取值范围.第9页共18页【解答】①<X<1;x—1<0；•*-ex-i<1；x<1时，/(%)<3成立；②％>1时，由f(%)<3得，%2-3；「•x<9；<%<9；「•x<9；%的取值范围为：(一8,9].【答案】1~2【考点】两角和与差的三角函数【解析】已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值.【解答】已知等式平方得：(cosa+cosS)2=cos2a+2cosacos^+cos2^=1①，4(sina+sinS)2=sin2a+2sinasin^+sin2s=&②，4①+②得：2+2(cosacosS+sinasing)=1,即cosacosQ+sinasinS=-1,2贝ijcos(a—S)=cosacosS+sinasinS=2【答案】(18,34)【考点】分段函数的应用求函数的值函数的求值【解析】根据题意，做出函数的草图，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解2。+26+2c的取值范围，即可得答案.【解答】根据题意，函数f(%)=' .J,=2%-1,0<%<2,其草图如图十', -%+5,%>2若互不相等的实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),设/'(a)=f(b)=f(c)=m,则函数y=f(%)的图象与直线y=m有3个不同的交点，分别为(a,m),(b,m),(c,m),第10页共18页且0<m<1,结合函数的图象：有a6(—8,0),bG(0,1),cG(4,5),当hit1时，表达式2。+26+2c的值趋向最小值：0+2+24=18,当hit0时，表达式2。+26+2c的值趋向最大值：1+1+25=34.则2a+2b+2c的取值范围是(18,34).三、解答题(17题10分，18-22S,每题12分)【答案】\2x—5|<3是真命题，12%—5|43,—342%—543,解得1<%<4,「•％的取值范围是[L4].由(1)知：P:l<x<4,q\%2—(a+2)x+2a=(%—2)(%—a)<0,。是q的必要不充分条件当a22时，q:2<x<a,故满足a44,即2<a44,当a=2时，q:x=2,满足条件；当a<2时，q:a<x<2,故满足a21,即14a<2.综上所述a的取值范围是[L4].【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】(1)由p|2%-5|<3是真命题，解含绝对值不等式的性质能求出第的取值范围.(2)由44,q：(x-2)(%-a)<0,。是q的必要不充分条件得到：当a22时,=2时，q:x=2,当a<2时，q\a<x<2,利用分类讨论思想能求出a的取值范围.【解答】\2x—5|<3是真命题，12%—5|43,「•一342%—543,解得1<%<4,「•％的取值范围是[L4].由(1)知：P:l<x<4,q\%2—(a+2)x+2a=(%—2)(%—a)<0,。是q的必要不充分条件当a22时，q:2<x<a,故满足a44,即2<a44,当a=2时，q:x=2,满足条件；当a<2时，q:a<x<2,故满足a21,即14a<2.综上所述a的取值范围是[L4].【答案】/(%)=V3sin(z)xcos(DX+cos2a)x—12V31 11=sin2a)x+-cos2a)x+---=sin(2(z)%+)，T=2k=4兀,233=工.TOC\o"1-5"\h\z'''/(x)=sin(ix+^)2 6'''—a+2kn<-1-%+a<a+2kn,kEZ2 6 27T+4kn<x<^n+4kn,kEZ3f(%)的单调递增区间为[-钮+4kn,m+4/ctt](/cGZ).3 3【考点】正弦函数的奇偶性和对称性三角函数中的恒等变换应用【解析】(1)利用三角函数中的恒等变换应用可求得f(%)=sin(23%+宜)，利用其最小正周期为47r可求得3；6(2)由(1)知，f(%)=sinG%+&)，利用正弦函数的单调性即可求得f(%)的单调递增区间.2 6【解答】/(%)=V3sin(z)xcos(DX+cos2a)x—12q\2<q\2<x<a,当a=sin2cox+-cos2cox+~―~=sin(2(z)x+支)，6・「T=皿=4n,to=工.4,TOC\o"1-5"\h\zf(%)=sinG%+%)2 6'''一汽+2/ctt工工％+汽工汽+2/ctt,kEZ2 2 6 2-17T+4/ctt<X<27T+4/ctt,kCZ3 3f(%)的单调递增区间为[-钮+4kma+4/ctt](/cGZ).3 3【答案】(1)在△4BC中，sin5—sinC=sin(i4—C),sin(i4+C)—sinC=sin(i4—C),iPsirii4cosC+cos力sinC—sinC=sirL4cosc—cos/sinC2coSi4sinC=sinCw0,cosyl=工，2第11页共18页第12页共18页/.4=宜.3(2)由-^= =-^=2g,sin>lsmBsinC可得匕+2c=2V3(sinB+2sinC)=2V3[sinB+2sin(120°-B)]=2V3(2sinB+V3cosB)=2V21sin(B+(p),其中tang=f,96(。,：)，由BG(0,—)，存在B使得B+(p=匹,3 2sin(B+g)的最大值为1,「•b+2c的最大值为2用.【考点】正弦定理【解析】(工)由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosZ=1,进而可求4的值；2(口)根据三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求可得匕+2c=2V^Isin(B+9)，其中tane=上，cpG(0,-)，2 2结合范围BG(0,手)，利用正弦函数的性质即可求解.【解答】(1)在中，sinB-sinC=sin(i4-C),sin(7l+C)—sinC=sin(i4—C),iPsinTlcosC+cosTlsinC—sinC=sin?lcosC—cosTlsinC2coSi4sinC=sinCW0,cosyl=1,2/. 4=支.3°(2)由=2日，sin>lsmBsinC可得匕+2c=2V3(sinB+2sinC)=2V3[sinB+2sin(120°-B)]=2V3(2sinB+V3cosB)=2V21sin(B+(/?),其中tang=f,96(。,：)，由BG(0,勿)，存在B使得B+(p=工,3 2sin(B+g)的最大值为1,「•b+2c的最大值为2V2I.【答案】(本题满分为1ABAD=60°,ABAC=90°,"4C=30。，...1分在△4DC中，由正弦定理可得：一口=一^,...2分smZ-DACsmZ-ADCsinN4DC=Wsin/£MC=&，…3分DC 2N4DC=120。，或60。，...4分又NB4D=60。，Zi4£)C=120o...6分BD=2DC,BC=3DC,在中，由勾股定理可得：BC^=AB2+AC2,可得：9DC^=6+3DC^,：.DC=1,BD=2,AC=V3,...8分令乙ADB=8,由余弦定理：在中，-24。•8。・cos。，...9分在△4DC中，4c2=4。2+—24。•CD•cos(tt—6),...10分可彳日6=AD^+4—4ADcos6"寸：3=AD2+1+2ADcosd'解得：4。2=2,可得：4。=/…12分【考点】正弦定理【解析】(工)由已矢口可求N£MC=30。，在△4DC中，由正弦定理可得sin/ZDC=6,即可解得N4DC=120。.2(口)由已知在中，由勾股定理可得。C=l,BD=2,AC=43,令人ADB=8,由余弦定理广黎?U禁°sg,即可解得“。的值・=AD2+1+2ADcos9【解答】(本题满分为1ABAD=60°,ABAC=90°,"4C=30。，...1分在△4DC中，由正弦定理可得：3^=一...2分smZ-DACsinZ-ADCsinN4DC=Hsin/£MC=K，…3分DC 2N4DC=120。，或60。，...4分又NB4D=60。，Zi4£)C=120o...6分BD=2DC,BC=3DC,在中，由勾股定理可得：BC^=AB2+AC2,可得：9DC^=6+3DC^,：.DC=1,BD=2,AC=V3,...8分令乙ADB=8,由余弦定理：在中，-24。•8。・cos。，...9分在△4DC中，4c2=4。2+—24。•CD•cos(tt—6),...10分可彳日6=AD2+4—4i4£)cos0」用：3=AD2+1+2ADcosd'解得：4。2=2,可得：4。=/…12分第13页共18页第14页共18页【答案】(/)/(%)=%2+1—In%.'.ff(x)=2x—1=2%2-1,X X当%在(应,+8)时，户(%)>0,函数递增，2当％在(0,五)时，/<%)<0,函数递减，2故函数的增区间为(立,+8),减区间为(0,应)；2 2(II)由g(%)=/(%)—%=%2—x+1—In%,得g'(%)=2*—%—1,xG[i,2],令夕(%)=o,贝k=Lx 2••g(%)在口,1]上单调递减，在(L2]上单调递增，2,,g(%).=g(l)=l,函数药最小值为L【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(I)求出导函数，得出函数的单调区间；(〃)求导函数，判断函数在区间上的单调性，然后求出最小值.【解答】(/)/(%)=%2+1—In%.'.ff(x)=2x-1=2x2-1,X X当%在(应,+8)时，户(%)>0,函数递增，2当％在(0,应)时，/<%)<0,函数递减，2故函数的增区间为(+，+8),减区间为(0,^)；(//)由g(%)=/(%)—%=%2—%+1—In%,得g'(%)=2*—%—1,xG[i,2],令夕(%)=o,贝k=Lx 2••g(%)在工1]上单调递减，在(L2]上单调递增，2,,g(%).=g(l)=l,函数药最小值为L【答案】(/)/(%)定义域为(0,4-00).f'(x)=2ax+(a—2)一工=2ax2+(a-2)1—(2x+l)(al).X X X由已知，得(1)=0,解得a=l.当a=l时，f'(x)=(2汽+1)(第一1)第15页共18页所以/'，(%)<OqO<%<1,f'(x)>0Q%>1.所以f(%)减区间为(0,1),增区间为(L+8).所以函数f(%)在％=1时取得极小值，其极小值为f(l)=0,符合题意所以a=l (〃)令f，(%)=3+ —o,由0<a<1,得％=1>1.TOC\o"1-5"\h\zx a所以/'，(%)<0Q0<%<1 >0Q%>工.a a所以f(%)减区间为(0户)，增区间为什,+8).a a所以函数f(%)在％=1时取得极小值，其极小值为八1)=Ina+1-1.a a a因为0<a<l,所以Ina<0,x>La所以1—1<o.所以fG)=lna+l—L<0.a a a।大। —a।(a-2)+]〉(a-2)+]=(a—