2021-2022学年湖南省郴州市高二上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省郴州市高二上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B2．已知，向量，，若，则x的值为（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】D【分析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】因向量，，，则，解得，所以x的值为2.故选：D3．等差数列中，，，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由等差数列的基本量法先求得公差，然后可得．【详解】设数列的公差为，则，，所以．故选：C．4．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.【详解】对A，，为奇函数；对B，，为奇函数；对C，，为偶函数；对D，，既不是奇函数也不是偶函数.故选：C.5．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：故选：C6．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率.【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得，因此，该椭圆的离心率为.故选：B.7．已知圆与圆相交于A､B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，，即圆与相交，直线AB方程为：，圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.故选：A8．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（

）A．底面边长为6米 B．体积为立方米C．侧面积为平方米 D．侧棱与底面所成角的正弦值为【答案】D【分析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接则为该正四棱锥的高，即平面取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得由分别为的中点，所以，则所以为二面角的平面角，由条件可得设正方形的边长为，则,又则,解得

故选项A正确.所以,则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.故选：D二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．曲线的切线与曲线有且只有一个公共点B．设函数，则导函数恒成立C．函数在附近单调递增D．某质点沿直线运动，位移y（单位：）与时间t（单位：）之间的关系为，则时的瞬间时速度为4【答案】BD【分析】举特例判断选项A；求导并确定导数值符号判断选项B；求导确定导数在2附近的导数值符号判断选项C；利用导数的物理意义计算判断选项D作答.【详解】对于A，函数，，，则函数的图象在点处切线，由解得：或，即曲线在点处切线与曲线有两个公共点，A不正确；对于B，函数定义域为，，B正确；对于C，在函数中，，当时，，即在上递减，C不正确；对于D，依题意，，当时，，即时的瞬间时速度为4，D正确.故选：BD10．著名的天文学家､数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动的三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上，记某行星M绕太阳运动的轨道为椭圆C，在行星M绕太阳运动的过程中，M与太阳中心的最大距离与最小距离分别为10和2，则下列有关该椭圆C说法正确的是（

）A．长轴长为12B．离心率为C．椭圆C与双曲线有相同的焦点D．若C是焦点在x轴上的椭圆，P，Q是椭圆短轴上的两个顶点，A是椭圆上异于P，Q的任意一点，则【答案】ABD【分析】求得椭圆的a、c即可判断选项ABC；代入计算即可判断选项D.【详解】由，可得则椭圆C长轴长为12.选项A判断正确；椭圆C离心率.选项B判断正确；椭圆C的焦点所在轴未确定，故椭圆C与双曲线有相同的焦点判断错误；不妨设椭圆C的方程为，，,则，选项D判断正确.故选：ABD11．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为2B．C．异面直线EF与所成角的余弦值为D．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是【答案】BD【分析】转换顶点求三棱锥的体积；先证线面垂直再证线线垂直即可；组三角形求异面直线EF与所成角；画出过点E，F，G的正方体的截面，再求其面积.【详解】选项A：.判断错误；选项B：连接、.正方体中，，则面，又平面故.判断正确；选项C：连接.由E，F分别为AD，AB的中点，可知.则为异面直线EF与所成角或其补角，又由为等边三角形可知，，则异面直线EF与所成角大小为，.判断错误；选项D：正方体中，由E，F，G分别为AD，AB，的中点，可知，则梯形即为过点E，F，G的正方体的截面.梯形中，上底，下底，腰，则梯形的高为，故.判断正确.故选：BD12．已知正项数列中，，，，，数列的前n项和为，数列的前n项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由条件可得是首项为1，公差为的等差数列，求出其通项公式，可得，即可判断A;由可求出，判断B的对错；利用可求，判断C的对错；根据数列是等差数列，求出其前n项和，可判断D.【详解】因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以.所以，则，故A正确；又，故B错误；数列前n项和.则，故C正确；数列是首项为1，公差为的等差数列，其前n项和为，故D错误，故选：AC.三、填空题13．各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，，则___________.【答案】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式，即可得到答案.【详解】由题意各项均为正数的等比数列得：，故答案为：14．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________．【答案】3【分析】根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，由点到直线的距离公式可得，即的最小值为3.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及抛物线的最值问题，其中解答中根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.15．已知，分别是双曲线的左､右焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点P，则的面积为___________.【答案】【分析】先得出渐近线方程和圆的方程，然后解出点P的纵坐标，进而求出面积.【详解】由题意，渐近线方程为：，，圆的方程为：，联立：，所以.故答案为：.16．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱､的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为___________.【答案】【分析】以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系，则，设，球心，得到外接球半径关于的函数关系，求出的最小值，即可得到答案；【详解】解：以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系.则，设，球心，，又.联立以上两式，得，所以时，，为最小值，外接球表面积最小值为.故答案为：.四、解答题17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求：(1)顶点的坐标；(2)直线的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出直线的方程，然后联立直线、的方程，即可求得点的坐标；（2）设，可求得线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，可得出点的坐标，进而利用直线的斜率和点斜式可得出直线的方程.(1)解：，所以，而，则，所以直线的方程为，由，解得，所以顶点的坐标为.(2)解：因为在直线，所以可设，由为线段的中点，所以，将的坐标代入直线的方程，所以，解得，所以.故，故直线的方程为，即.18．已知函数在处的切线方程为.(1)求的解析式；(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.(1)∵函数，∴的定义域为，，∴在处切线的斜率为，由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，∴的解析式为；(2)由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，所以切点到直线的距离最小，最小值为，故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.19．已知数列的前n项和，递增等比数列满足，且.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和为.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求，再由求出，设等比数列的公比为q，由条件可得，解出结合条件可得答案.（2）由（1）可得，利用错位相减法可求(1)，当时，，也满足上式，∴，则.设等比数列的公比为q，由得，解得或.因为是递增等比数列，所以，.(2)①

①①②：∴20．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，直线与平面ABCD所成角的正弦值为.E，F分别为､的中点.(1)求证：平面BED；(2)求直线与平面FAC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明垂直于平面BED内的两条相交直线，即可得到答案；（2）分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，平面FAC的一个法向量为，代入向量的夹角公式，即可得到答案；(1)∵ABCD为菱形，∴，设AC与BD的交点为O，则OE为的中位线，∴.由题意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC在平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.(2)∵ABCD为菱形，，∴为正三角形，∴.∵平面ABCD，∴与平面ABCD所成角为，由，得，所以.如图，分别以OB，OC，OE为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则，，，，，，，设平面FAC的法向量为，则由可得，取，故可得平面FAC的一个法向量为，记直线与平面FAC的夹角为，则21．已知圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，半径为3，圆M被直线截得的弦长为4.(1)求圆M的方程；(2)设P是直线上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点和.【分析】(1)根据给定条件设出圆心坐标，再结合点到直线距离公式计算作答.(2)设点，求出圆的方程，结合方程求出其定点.(1)因圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，设圆心，且，圆心到直线的距离为，又由解得，从而，而，解得，所以圆M的方程为.(2)由(1)知：，设点，，设动圆上任意一点当与点P，M都不重合时，，有，当与点P，M之一重合时，对应为零向量，也成立，，，，化简得：，由，解得或，所以以MP为直径的圆必过定点和.【点睛】方法点睛：待定系数法求圆的方程，由题设条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．22．已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），.(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用椭圆定义求得椭圆的即可解决；（2）经过点的直线l分为斜率不存在和存在两种情况，分别去求弦