2015年三年高考数学（文）真题精编-专题03导数（大题）

三、解答题29.【2015高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【解析】(Ⅰ)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)g(x)＝f'(x)＝2(x－1－lnx－a)所以g'(x)＝2－当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.30.【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．33.【2014全国1，文21】设函数，曲线处的切线斜率为0求b;若存在使得，求a的取值范围。【解析】（1），由题设知，解得.（2）的定义域为，由（1）知，，（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.35.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.【答案】（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）见解析【解析】试题分析：（I）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II）由（I）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.试题解析：（I）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.36.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）已知函数，若在上的最小值记为.（1）求；（2）证明：当时，恒有.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）因为，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的值，再用分段函数表示；（2）构造函数，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的最大值，即可证明当时恒有成立.（2）令，①当时，，若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，故.若，，则，所以在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，所以在上是增函数，所以即，故，②当时，，所以，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是，故，综上所述，当时恒有.考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.37.【2013年.浙江卷.文21】(本题满分15分)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|＞1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．【答案】(1)y＝6x－8.(2)f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)＝40.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.【答案】(1)；(2)(2)设为方程的解，且，则.由于，因此.当时，，由于和，所以.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.43.【2013高考重庆文第20题】(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【答案】解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因r＞0，又由h＞0可得，故函数V(r)的定义域为(0,)．44.【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间，单调递减区间，【解析】试题分析：（Ⅰ）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果知于是可用导函数求的单调区间；试题解析：解：（Ⅰ）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.45．【2015高考重庆，文19】已知函数（）在x=处取得极值.(Ⅰ)确定的值，(Ⅱ)若，讨论的单调性.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在内为减函数，内为增函数..试题解析：(1)对求导得因为在处取得极值，所以，即,解得.(2)由(1)得，,故令，解得.当时，,故为减函数，【考点定位】1.导数与极值，2.导数与单调性.47.【2014，安徽文20】（本小题满分13分）设函数，其中（I）讨论在其定义域上的单调性；（II）当时，求取得最大值和最小值时的的值，【答案】（I）在和内单调递减，在内单调递增；（II）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值，试题解析：（I）的定义域为，，令，得，所以，当或时；当时，，故在和内单调递减，在内单调递增，考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，48.【2013，安徽文20】设函数，其中，区间．（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值．【答案】（I）．（II）．【命题立意】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合应用数学知识解决问题的能力．【解析】（I）令，解得，，，的长度．（II）当时，则．由（I），，则，故关于在上单调递增，在上单调递减．，，．【考点】1．一元二次不等式的解法；2．导数的计算和应用．【举一反三】导数是研究函数性质，如单调性、极值、最值等的重要工具，利用导数可以讨论的函数类型更加广泛，可以这样认为，除了几种基本初等函数的性质和图象可以直接应用之外，其余函数性质都是利用导数研究．要掌握求解步骤．50.【2015高考福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．（III）由（II）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．当时，令，，则有．由得，．解得，．当时，，故在内单调递增．从而当时，，即，综上，的取值范围是．【考点定位】导数的综合应用．51.【2015高考安徽，文21】已知函数（Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；（Ⅱ）若，求在内的极值.【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.54.【2013天津，文20】设a∈[－2,0]，已知函数(1)证明f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0.证明x1＋x2＋x3＞.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．不妨设x1＜0＜x2＜x3，由－(a＋5)＝－(a＋3)x2＋a＝－(a＋3)x3＋a，可得－(a＋3)(x2－x3)＝0，解得x2＋x3＝，从而0＜x2＜＜x3.设g(x)＝3x2－(a＋3)x＋a，则＜g(x2)＜g(0)＝a.由－(a＋5)＝g(x2)＜a，解得＜x1＜0，所以x1＋x2＋x3＞，设t＝，则a＝，因为a∈[－2,0]，所以t∈，故x1＋x2＋x3＞，即x1＋x2＋x3＞.55.【2014天津，文19】已知函数求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围【答案】(1)的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值，(2)试题解析：解(1)由已知有令，解得或，列表如下：所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值，(2)由及（1）知，当时，，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然.下面分三种情况讨论：当即时，由可知而，所以A不是B的子集当即时，有且此时在上单调递减，故，因而由有在上的取值范围包含，所以当即时，有且此时在上单调递减，故,,所以A不是B的子集综上，的取值范围为考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域56.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数（I）求的单调区间;（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（III）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（I）的单调递增区间是,单调递减区间是;（II）见试题解析;（III）见试题解析.试题解析:（I）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（III）由（II）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（II）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力59.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】设，，已知函数.（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断,,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为G.称为、的调和平均数，记为H.若，求的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f′(x)＝.当a＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．②由①知，.故由H≤f(x)≤G，得.(**)当a＝b时，.这时，x的取值范围为(0，＋∞)；当a＞b时，，从而，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与(**)式，得，即x的取值范围为；当a＜b时，，从而，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与(**)式，得，即x的取值范围为.60.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.61.【2015高考湖北，文21】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；（Ⅱ）设，，证明：当时，.【答案】（Ⅰ），.证明：当时，，，故又由基本不等式，有，即（Ⅱ）由（Ⅰ）得⑤⑥当时，等价于⑦等价于⑧于是设函数，由⑤⑥，有当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得.【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.62.【2014福建,文22】（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.求的值及函数的极值；证明：当时，（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有【答案】（1）当时，有极小值，无极大值.（2）见解析.（3）见解析.（3）思路一：对任意给定的正数c，取，根据.得到当时，.思路二：令，转化得到只需成立.分，，应用导数研究的单调性.思路