2024-2025学年高中数学第一章统计1.5.2估计总体的数字特征课时素养评价含解析北师大版必修3

PAGE课时素养评价七估计总体的数字特征(20分钟·35分)1.样本101,98,102,100,99的标准差为 ()A.QUOTE B.0 C.1 D.2【解析】选A.样本平均数QUOTE=100,方差为s2=2,所以标准差s=QUOTE.2.一个容量为40的样本数据依次为x1,x2,…,x40,若这个样本的标准差为s=QUOTE,记s*=QUOTE,则s*=()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】选A.设s*=x.由题意得:QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以x=2.3.对某同学的6次数学测试成果(满分100分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,给出关于该同学数学成果的以下说法:①中位数为83;②众数为83;③平均数为85;④极差为12.其中正确说法的序号是 ()A.①② B.②③ C.③④ D.②④【解析】选B.将各数据按从小到大排列为:78,83,83,85,90,91,可见:中位数是QUOTE=84,①错误,众数是83,②正确,QUOTE=85,③正确.极差是91-78=13,④错误,所以,只有②③正确.4.甲乙两名学生六次数学测验成果(百分制)如图所示.①甲同学成果的中位数大于乙同学成果的中位数;②甲同学的平均分比乙同学高;③甲同学的平均分比乙同学低;④甲同学成果的方差小于乙同学成果的方差.上面说法正确的是 ()A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③【解析】选A.甲的中位数81,乙的中位数87.5,故①错,解除B,D;甲的平均分QUOTE=QUOTE×(76+72+80+82+86+90)=81,乙的平均分QUOTE′=QUOTE×(69+78+87+88+92+96)=85,故②错,③对,解除C.5.《中华人民共和国道路交通平安法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据《法制晚报》报道,某年2月15日至2月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人,如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为________.

【解析】(0.01×10+0.005×10)×28800=4320(人).答案:4320【补偿训练】某校从甲、乙两班各随机抽取了5名学生的某课程的学分,用茎叶图表示(如图),s1,s2分别表示甲、乙两班各5名学生学分的标准差,则s1__________s2(填“>”“<”或“=”).

【解析】由茎叶图可计算得QUOTE=14,QUOTE=14,则s1=QUOTE=QUOTE,s2=QUOTE=QUOTE,所以s1<s2.答案:<6.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成果状况,用简洁随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成果(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图.(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成果的及格率(60分及60分以上为及格);(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成果分别为QUOTE,QUOTE,估计QUOTE-QUOTE的值.【解析】(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知QUOTE=0.05,解得n=600.样本中甲校高三年级学生数学成果不及格人数为5,据此估计甲校高三年级这次联考数学成果的及格率为1-QUOTE=QUOTE.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为QUOTE′1,QUOTE′2.依据样本茎叶图可知30(QUOTE′1-QUOTE′2)=30QUOTE′1-30QUOTE′2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此QUOTE′-QUOTE′=0.5,故QUOTE-QUOTE的估计值为0.5分.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一组数据的平均数、方差分别是QUOTE,s2,将这组数据中的每一个数都乘以2,得到一组新数据,这组新数据的平均数、方差分别是 ()A.QUOTE,QUOTEs2 B.2QUOTE,2s2 C.2QUOTE,4s2 D.QUOTE,s2【解析】选C.因为本题中新数据中每一个数都是原数据的2倍,所以新样本中的每一个数据是原样本中每个数据的2倍,所以新样本的平均数是原样本平均数的2倍,方差为原样本方差的4倍.2.(2024·天津高考)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为 ()A.10 B.18 C.20 D.36【解析】选B.依据直方图,直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率为:(6.25+5.00)×0.02=0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为:80×0.225=18.3.某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试,从该年级学生中随机抽取部分学生,将他们的数学测试成果分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高二年级共有学生600名,若成果不少于80分的为优秀,据此估计,高二年级在这次测试中数学成果优秀的学生人数为 ()A.80 B.90 C.120 D.150【解析】选D.依据频率分布直方图,得;成果不少于80分的频率为(0.015+0.010)×10=0.25,所以估计成果优秀的学生人数为600×0.25=150.4.(2024·太原高一检测)随着新政策的实施,海淘免税时代于2024年4月8日正式结束,新政策实施后,海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响,某网站调查了喜爱海淘的1000名网友,其看法共有两类:第一类是会降低海淘数量,共有400人,其次类是不会降低海淘数量,共有600人,若从这1000人中依据分层抽样的方法抽取10人后进行打分,其打分的茎叶图如图所示,图中有数据缺失,但已知“第一类”和“其次类”网民打分的平均数相等,则“第一类”网民打分的方差为 ()A.159 B.179 C.189 D.209【解题指南】依据分层抽样比,可得“第一类”抽取4人,“其次类”抽取6人.由茎叶图可知“第一类”缺失一个数据,设为m,依据平均数相等可求得m,由方差公式即可求得“第一类”的方差.【解析】选B.抽取的网民中,“第一类”抽取4人,缺失一个数据,设缺失的数据为m,“其次类”抽取6人,则QUOTE=QUOTE,解得m=56,其两组数的平均数都是65,则“第一类”网民打分的方差为:s2=QUOTE[2(56-65)2+(60-65)2+(88-65)2]=179.5.胡萝卜中含有大量的β-胡萝卜素,进入人体消化器官后,可以转化为维生素A,现由a,b两个品种的胡萝卜所含的β-胡萝卜素含量(单位:mg)得到的茎叶图如图所示,则下列说法不正确的是()A.QUOTE<QUOTE B.a的方差大于b的方差C.b品种的众数为3.31 D.a品种的中位数为3.27【解析】选C.由茎叶图得:b品种所含β-胡萝卜素普遍高于a品种,所以QUOTE<QUOTE,故A正确;a品种的数据波动比b品种的数据波动大,所以a的方差大于b的方差,故B正确;b品种的众数为3.31与3.41,故C错误;a品种的数据的中位数为QUOTE=3.27,故D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示),由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参与一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.

【解析】因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由频率分布直方图可知在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为100×10×0.010=10,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为QUOTE×10=3.答案:0.03037.设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为________.

【解析】样本数据x1,x2,…,x10的均值QUOTE′=QUOTE(x1+x2+…+x10)=1,方差s′2=QUOTE[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的均值QUOTE=QUOTE(x1+a+x2+a+…+x10+a)=QUOTE(x1+x2+…+x10)+a=1+a,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的方差s2=QUOTE[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]=QUOTE[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.答案:1+a,48.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是2,则xy=________.

【解析】由平均数公式得QUOTE=10,即x+y=20,QUOTE=2,即QUOTE+QUOTE=8,即x2+y2-20QUOTE+200=8,可得x2+y2=20QUOTE+8-200=208,因为202=QUOTE=x2+y2+2xy=208+2xy,解得xy=96.答案:96三、解答题(每小题10分,共20分)9.某校高一学生共有500人,为了了解学生的历史学习状况,随机抽取了50名学生,对他们一年来4次考试的历史平均成果进行统计,得到不完整的频率分布直方图如图所示,后三组频数成等比数列.(1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图;(2)若每组数据用该组区间中点值(例如区间[70,80)的中点值是75)作为代表,试估计该校高一学生历史成果的平均分.(3)估计该校高一学生历史成果在70～100分范围内的人数.【解析】(1)设第五、六组的频数分别为x,y.由题设得,第四组的频数是0.024×10×50=12.则x2=12y.又x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)×10×50,即x+y=9,所以x=6,y=3.补全频率分布直方图如图.(2)该校高一学生历史成果的平均分QUOTE=(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006)×10=67.6.(3)该校高一学生历史成果在70～100分范围内的人数为500×(0.024+0.012+0.006)×10=210.10.某校高三文科500名学生参与了3月份的高考模拟考试,学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习状况,从500名学生中抽取100名学生的成果进行统计分析,抽出的100名学生的地理、历史成果如下表:地理历史[80,100][60,80)[40,60)[80,100]8m9[60,80)9n9[40,60)8157若历史成果在[80,100]区间的占30%,(1)求m,n的值;(2)请依据上面抽出的100名学生地理、历史成果,填写地理、历史成果的频数分布表:[80,100][60,80)[40,60)地理历史依据频数分布表中的数据估计历史和