关于高等数学常见中值定理证明及应用-2023修改整理

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中值定理

首先我们来看看几大定理：

1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上延续，且在该区间的端点取不同的函数值

f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的随意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a0)上具有二阶延续导数，f(0)=0

(1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式

(2)、证实在[-a,a]上至少存在一点η使得?-=a

adxxffa)(3)``(3η第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础

（1）、22!

2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(xfxfxfxffxfξξ+?=++=(2)、其次问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来

??--?=aaaadxxfdxxf22

)``()(ξ，)``(ξf此处不能直接拿到积分号外面，由于他不是与x无关的数。做到这儿，我们想方法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样主意就得寻求方法。题目中说道f(x)有二阶延续导数，为何要这样说呢，我们知道延续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有：

由于f(x)有二阶延续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m则对于区间[-a,a]，

222)``(,)``(MxxfmxMxfm≤?≤≤≤ξ

所以由介值定理有结论成立。

Ps：本题是以前的一道真题，详细哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。题目中说的很明了的，有二阶延续导数，往往当题目中提及到什么延续啊，特殊是对于导函数延续的，我们总得注重下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。

5、设f(x)在],0[π上延续，且0cos)(,0)(00=?=??π

πxdxxfdxxf.证实：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξff使得、

本题看似很简洁，但做起来去不简单。

结论是证实等式成立且为0，很简单让我们想到罗尔定理，我们假如能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。

令：],0[,)()(0π∈=?xdttfxFx

，0)()0(==πFF似乎只需在找出一点F(c)=0即可。，假如一切如我们所想，证实也就完成了。

0)(sin)(cos)(coscos)(0000=?+?==????π

πππdxxFxxFxxxdFxdxxf似乎已经找到这个点了。但是积分中值定理中，是取闭区间，假如要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证实其在开区间内成立。构造函数],0[,)(sin)(0π∈?=?xdttFtxGx

详细的证实步骤和上面涉及到的一样，自己去证。证完后就得到

所以有：),0(,0)()()0(ππ∈===cFcFF

接下来的证实就和第一题中其次小问一样了，详细就不去证实了，自己证，关键把握办法，思路。

Ps：本题是02年左右的数一一道证实题，看看题目很简洁，但详细来做，假如对定理的运用不娴熟，还是不好弄出来。本题中涉及到积分，而且又要证实等式成立且为0，简单想到积分中值定理，以及罗尔定理。但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，只能自己构造函数来证实其在开区间内成立，假如在实际做题的时候你不证实直接用，估量一半的分都没了。本题关键的就是寻觅这个点C，找出来了其他的都不是问题，既然是关键点，那得分点也绝对最多了，你不证实这个点，直接套用课本中定理（假如用的话，得分类研究了），硬是说C点就成立，那估量一半的分都没了。

对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体味下，多做些题，多思量。

下面来讲讲对于证实题中的，函数如何来构造：基本上都是从结论动身，运用求导或是积分，或是求微分方程，解出来也可。本人自己总结了一些东西，与大家沟通下：

首先我们来看看一些构造函数基本办法：

一、要证实的等式是一阶导数与原函数之间的关系：

普通都会构造出为随意常数或者或者nxeeXXXxgnxx,)(-?=

1、假如只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有xxee-或者

)()`(xfxf=可以构造xexfxg-?=)()(

0)()`(=+xfxf可构造xexfxg?=)()(

λ=+)()`(xfxf可构造xxeexfxg?-?=λ)()(

)()(xfdttfx

a=?这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数??=-x

axdttfexg)()(先将其变形下：xxfxfλλ-=-1)()`(左边是导函数与原函数关系可构造：xexfλ-?)(

右边可以看成是xxλ-`也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：xexλ-?从而要构造的函数就是：xexxfxgλ--=))(()(

2、假如还涉及到变量X，想想构造nx

0)()`(=+xfxxf可构造xxfxg?=)()(

x

xfxf)(2)(-=可构造2)()(xxfxg?=0)()`(=+xnfxxf可构造nxxfxg?=)()(

3、另外还可以解微分方程来构造函数：

如0)`()(=+xfxxf

二、二阶导数与原函数之间关系

构造带有xxee-或者

如何构造如下：

)()`()`()``(xfxfxfxf+=+对于此式子，你会不会有所主意呢，在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造办法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是)`(xf）之间关系，从而等式左边可以构造xexf?)`(等式右边可以构造xexf?)(总的构造出来函数为：

xexfxfxg?-=))()`(()(

另：假如这样变形：

构造函数如下：xexfxfxg-?+=))()`(()(，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的。从而对于此函数构造有两种办法，详细用哪一种构造得看题目给的条件了。假如题目给了)()`(xfxf-为什么值可以考虑第一中构造函数，假如题目给了)()`(xfxf+，则可以考虑其次种构造办法。

先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系

这个函数的确不好构造，假如用微分方程来求会碰到复数根。

实际做的时候还得看题目是否给了)`(xf的一些条件，假如在某个开区间内不为0，而构造出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证实。

详细来看看题目：

1、设)(xf在[0,1]上延续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1证实：

（2）、存在1)()`(),,0(+-=∈ηηηξηff使得

（1）、对一问直接构造函数用零点定理：xxfxF-=)()(详细具体步骤就不写了。

（2）、该问主要问题是如何构造函数：假如娴熟的话用上面所讲办法来构造：

1)()`(+-=ηηηff先变形另：用微分方程求解法来求出要构造的函数

把常数退换掉之后就是要构造的函数

函数构造出来了，详细步骤自己去做。

2、设)`(xf在[a,b]上延续，f(x)在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,0)(=?b

adxxf证实：（1）存在)`()(),`()(),(,221121ξξξξξξffff

ba==∈使得

（2）存在)()``(,),,(21ηηξξηηffba=≠∈使得

（1）、第一问中的函数构造：

（2）、其次问中函数构造有两种构造办法，上面讲解中说道了

我们在这用第一种

缘由在于第一问中)()`(xfxf-=0符合此题构造。

详细具体步骤自己去写写。

3、设奇函数]1,1[)(-在xf上具有二阶导数，且f(1)=1,证实：

(1)

存在1)`(),1,0(=∈ξξf使得(2)存在1)`()``(),1,1(=+-∈ηηηff使得

第一问中证实等式，要么用罗尔定理，要么介值定理，要么零点

本题很简单想到用罗尔定理构造函数来求，由于涉及到了导函数

（1）、xxfxF-=)()(，题目中提到奇函数，f(0)=0

有F(0)=F(1)=0从而用罗尔定理就出来了。

（2）、其次问中的结论动身来构造函数，从上面讲的办法来看，直接就可以写出要构造的函数

先变形下：xx

xexfxGeexfff?-==?=+)1)`(()()`(1

)`()``(ηη

函数构造出来，并且可以用到第一问的结论，我们只需要在（-1,0）之间在找一个点也满足1的结论即可。也即1)`(),0,1(=-∈ζζf

从而可以对)1,1(),(-?∈ξζη运用罗尔定理即可。

Ps：本题为13年数一真题，第一问基础题，但要看清题目为