向量题型分析难题集

2ab222..2ab222向量题型分析，难题集一、向量法证明几何、三角函数中定理、公式例1向法证明两角差的余弦式

ccos

析：教科书上的探究有利用单位圆上的三角函数线和向量的知识，运用向量工具进行探索，过十分简洁！例2证：对于任意的

c

，恒有不等式证明：设

u

uuac

a

c

即

例3向法证明勾股定理。证明：如图，bca,c2即

2

c

2

2

BA利用向量还可以证明平面几何的许多命题，例如菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、方形的对角线垂直平分以及关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质。例4．在△ABC内一点P，使

2BPCP2

的值最小。解：如图，设CA=，=，=，AP=—，=x—。∴

AP

222=

(

—

a)

2+(x—b)

+

2

A=3—2+）x++b=3[

x

22()]++()3

。

根据向量运算的意义，知rr当x()时，AP2有小值。rr设M为AB的中，易知=，rr即当x(a)时，CP，时为三形的重心。3二、向量法解决代数中的最值问题

B

C例5

x

2y2a2

4.(xa,b求的最值解：构造向量

m因为所以

mm

x22;.

ABAB..ABAB评：向量是解决数学问题的重要工具，根据函数的形式，结构特征，巧妙构造向量可化难为易获得新颖、快捷的解法。例2：求数

y2x

的最大值。解：因为

2x5

；所以

x5x设

3q

x

则

19,qp.当且仅当

与

平行且方向相同时不等式取等号即，

25

x解之得，当

x

8819

时，

133三．向量的线性运算，面积结论，三角形几个心问题1.

已知O是ABC所平面内的一点，内角A所应的边长分别为

r,，OA

，则O是ABC

的外

内

C.重心

垂2

已知是

所在平面内的一点，A,B,C是面上共线点，动点满足OPAC

则点P的迹一定通过

外

内

C.重心

垂3已是ABC所在平面内的一点是面上不共线的三点，动点P满足OP通ABCAB外

内

C.重心

垂4

已知是

ABC

所在平面内的一点，A,B,C是面上共线点，动点满足OP

BAC

则点P轨迹一定通过

ABC外

内

C.重心

垂;.

2a•aa•b2..2a•aa•b25

的外接园的园心为

O

，P

是

所在平面上的一点，若-lOA+-l++lOC=

R，P必过三角形的()(A)

外心

(B)

内心

()

重心

()

垂心6

若定点O满

+=+CA=+

，则是

ABC

（）(A)

外心

(B)

内心

()

重心

()

垂心7

O,BP,

AB

OP,A

12

B

22C222814

如图,设PQ内两点,且AB,＝AC,则的面积与ABQ的积之比为()

＋

QA.

15

B.

4C.54

D.

13

A

P

B9

如图，已知为上一点，P为AB外一点，满足

=2，||5

，

PB

，I为上点，且有

BA

ACAC|

APAP

0)

，则

BIBA

的值为（）AB．2．+1D．–110

若向量与不线，a•0，

)b，向量与的角为（）（

）

0

（

）

（C）（D611

在直角三角形

ABC

中，点

是斜边

AB

的中点，点

为线段

的中点，则

PAPC

=;.

222..222AB．4．5．1012

如图所示直线x与曲线:

x2

的渐近线交于

E,E2

两点记,12

任双曲线上点P若

,(、R)2

则a

满足的一个等式是____13

已知O为角ABC

的外心，

AB

16,2

，若AOABy，

x25

，则

AO14

,B,P是线l上同的三点，点直l，若AP

PBPA

15

.各棱长都等于2的面体ABCDG为BC的点E为内动点

GE//面

若

12

，则

3216

平面上O,A,B三不共线，设

A=a,

，则△的积等于

）(A)

|2b|

(B)

|2b|a

2(C)17

2|a|2|b||a|b|(D)设A，A，，A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若2

A12

(λ，

AAA11

(μ，且

1

,则，A调和分割，已知点C(c，O)(c∈R)调和分割点A(0，0)，0)1则下面说法正确的是可是线段AB的点可是线段AB的点(C)C，D可能同时在线段AB上(D)C，D不可能同时在线段AB的延线上;.

23y..23y18

已知

C

不共线，且有

BC

则请比较

,,

的大小19

设

是

内的一点，求

OAOBOC

2

的最小值20

设向量

rrrrrrb|=1,a=

12

，

rrrrr60，c的最大值等于(A)2(B)

(c)

(D)121

在△中分为中点P为EF上一实数x满足PA+PBPC=0

D

设△ABC，PCA的积分别为S，，，1x+的值为-11C.

SS则SS

取最大值时，22

定义域为[a,b]函数f(x)像的两个端点为A、B，M（x,）是f()图上任意一点，其中x(1[a,]已知向量OB，若不等式|MN恒立，则函数f)[,b]

上k阶性近似。函数

x

在[1上k阶性近似，实数的取值范围为A[0,

B[

13,．[2,．[1223

给定两个长度均为2的面向量向量OA,OB，们的夹角为1在为心的圆弧上运.若OCxOA，的最大值是324

在平面直角坐标系中点

A

对于某个正实数k

，存在函数

f

OAOQOA

其中点的标别为;.

的取值范围是

ABC1233..ABC123325

如图1：OM∥，点射线OM、线段OB及AB的长围成的阴影域内（不含边界）.且OPxOA

，则实数对（x,）可以是A

3(,)4

(

)C.

3(,4

()526

SS设是△ABC内意一点，S表△的积，λ＝，λ＝，＝PAB，义fλSABC1

111λ若是ABC的重心，(Q)（，，2

（）A点Q在GAB内

B点Q在△GBC内

C．Q在GCA内

D．点与G重27设D是正PPP及内部的点成的集合，点是PP的中心，若集合1203P|DPP|,i1,2,3}，则集合表的平面区域是()0iA三角区域B四边形区域

C．五边形区域

D．六边形区域28

对任意两个非零的平面向量

和

，定义

o

若个非零的平面向量

a

，

b

满足

a

与

b

的夹角,

，且

ao

和

oa

都在集合

o

31C.D.29

点O是角形ABC所在平面内的一点，满足

OBOCOC，则点O是ABC（）（A）三个内角的角分线的交点

(B）三条边的垂直平分线的交点）条中线的交点（D）三条的交点30

已知两点

(

且点P使

,PMPN,NM

成公差小于零的等