文档：《曲线与方程》疑难探讨微课

《曲线与方程》疑难探讨这部分的主要内容是曲线与方程的概念，求曲线方程的方法及由方程研究曲线的性质．一、要点点击1．要点一.曲线与方程的概念①一般地，一条曲线可以看作动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程。②在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x,y)=0之间有如下关系：（1）曲线上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。那么，曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线，方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程。要点二.轨迹曲线的求解①解析几何所研究的基本问题：由曲线求它的方程;利用方程研究曲线的性质②求轨迹方程的步骤：建立直角坐标系;设动点坐标;把几何关系转化为坐标表示;证明.二、疑难探究问题1.如何应用集合的观点来理解曲线的方程定义中关系（1)与（2)？探讨：在曲线方程的定义中，曲线上的点与方程解之间关系(1)、(2)缺一不可．而且两者是对曲线上的任一点以及方程任意一个实数解而言的．从集合角度来看，设A是曲线C上所有点构成的集合,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系(1)知AB,由关系(2)知BA；同时具备关系（1)与(2)，则有A=B,于是建立了曲线与方程之间的等价关系.问题2.在求曲线方程时经常出现的问题是多解或漏解，应注意什么问题？探讨：在求曲线方程时，为避免出现多解或漏解的情况，应注意以下几点：①注意动点满足的稳含条件，如三角形顶点、圆内弦的中点等．②在化简方程中要保持恒等变形．③注意图形可能的位置不同或含字母参数取值不同时的讨论．④充分利用图形的几何性质，将几何条件转化为坐标关系．问题3.两曲线的方程是f1(x,y)=0和f2(x,y)=0，则方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ∈R)是经过两曲线的交点的曲线系方程吗？为什么？探讨：由曲线方程的定义，设P（x0,y0）是两曲线的交点，则有f1(x0,y0)=0和f2(x0,y0)=0，所以f1(x0,y0)+λf2(x0,y0)=0，说明两曲线交点符合方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0;反之，若坐标(xo，yo）符合方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0,则由λ∈R得f1(x0,y0)=0，f2(x0,y0)=0,说明(x0,y0)是两曲线的交点.由此可见,两曲线f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交点的曲线系方程可用f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示，但应注意上面的方程不能表示曲线f2(x,y)=0.问题4.已知曲线方程如何画曲线？已知曲线方程画曲线，是解析几何研究的一方面内容，应根据已知曲线方程的特点，综合考虑曲线的性质，如曲线的范围、对称性、与坐标轴交点、曲线的类型等，这部分知识常与函数、集合、不等式有密切联系，对于较为熟悉的曲线方程，可直接根据曲线类型、性质、特征作出曲线；而对于较复杂的方程形式，一般先考虑化简再描点作图，且在化简过程中尽量保持同解变形，以保证轨迹曲线的纯粹性．三、典例剖析题型一求曲线方程例1.设点B在以O(0,0),A(1,0)为直径端点的上半圆上，求ΔAOB内切圆圆心的轨迹方程解：设圆心O(x,y),由内切圆的性质可知：|OB|=x+y,|AB|=y+1─x,又OBA=90,∴|AB|2+|OB|2=|OA|2,即(x+y)2+(y+1─x)2=1,整理得：x2+y2─x+y=0,即(y>0)点评：使用直接法，要注意挖掘图形的几何性质;注意轨迹和轨迹方程的区别题型二曲线交点问题例2．若a(0,1],则曲线y=x2与x2+(y─a)2=1的交点个数是解：将y=x2代入x2+(y─a)2=1得：y2+(1─2a)y+a2─1=0,(1)若a=1,则y2─y=0,y=1或y=0,x有三个解,两曲线有三个交点;(2)若0<a<1,则a2─1<0,方程仅有一正根，两曲线有两个交点例3.过原点的直线与曲线y=x2─2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹分析：AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A,B的运动是由于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数解：设AB的中点M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为k(依题意，k必须存在),且过原点，∴直线的方程为：y=kx,将此式代入y=x2─2x+2并整理得：x2─(2+k)x+2=0(1)∴x1+x2=2+k,∴x==(2),又y=kx(3)由(2),(3)消去k得：y=2x2─2x又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式Δ>0,∴(2+k)2─8>0,解得k+2>2或k+2<─2∵x=,∴x>或x<─∴所求的轨迹是抛物线y=2x2─2x的部分(x>或x<─)点评：①在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数,即“k参数”，此时要考虑直线的斜率不存在这一特殊情况②处理涉及直线和二次曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把x1+x2或x1x2看作一个整体），即所谓“设而不求”③处理涉及直线和二次曲线交点问题时，要注意相交条件(Δ>0)题型三课标创新题例4.求方程|x2-1|=x十b的根的个数．分析:本题求方程根的个数,不需要通过求解方程而确定.可以考虑求曲线y=|x2-1|与y=x十b交点的个数,当然,对b的范围讨论是必须要做的.解：方程|x2-1|=x十b的根的个数就是曲线y=|x2-1|与y=x十b交点的个数,作出曲线y=|x2-1|如图所示,方程y=x十b表示斜率是1,在y轴上截距为b的直线将y=x+b代人y＝1-x2，令△=0得b=.由图可知：b<-1时，原方程无解；b=-1时，原方程只有一解；-1<b<1时，原方程有两解；b=1时，原方程有三解；1<b<时