例谈高中数学单元学习活动的设计策略 论文

例谈高中数学单元学习活动的设计策略 摘要：单元学习活动，是单元教学的重要组成部分，是新课标、新教材实施的关键所在。笔者从“圆锥曲线”单元出发，对单元学习活动中的知识建构活动和问题探究活动进行整体建构与系统开发，旨在使学生的数学核心素养得到培养，数学学科的育人价值得以彰显。 关键词：单元学习活动，圆锥曲线，设计策略

引言：单元学习活动设计是新课标，新课程教学设计的重要组成部分，特别是在大单元的教学的实施过程中，开展构建、探究、实践等活动将数学核心素养渗透到日常的教学中，显得尤为重要。笔者就单元学习活动的设计对两所省示范高中近90位一线教师开展问卷调查。结果显示：只有32位老师在单元学习活动设计上进行了尝试。在进一步的了解中发现，部分教师对学习活动的理解还比较片面。单元学习活动分知识建构活动、问题探究活动、专题实践活动三种类型。调查显示对上述三种单元学习活动的研究明显不均衡，尤其知识建构活动被忽视。 下面笔者以“圆锥曲线”单元为例对知识建构活动与问题探究活动的设计进行阐述。一、知识建构活动知识建构活动是在课内实施的，旨在体验数学知识发生发展过程，促进学生知识建构，思维发展与数学理解的教学活动。从“圆锥曲线”单元来看，知识建构包括圆锥曲线的现实背景、定义，利用坐标法对圆锥曲线的性质进行研究等。下面以“圆锥曲线”单元中的“椭圆及其标准方程”的为例对知识构建活动的设计进行说明。（一）问题引导，构建“四基”培养“四能”1在构建椭圆知识体系的过程中，系列化数学活动的形成，可以根据知识的发生发展的需要提出层层递进的问题,在构建“四基”的基础上培养“四能”，可设置如下问题串：椭圆具有怎样的几何特征？宏观上提出问题，给出研究目标。如何利用这些特征建立椭圆

的方程？ 引导学生探究椭圆的几何特征，为移动的笔尖（动点）满足的几 抽象椭圆概念、展开后续内容做好何条件是什么？ 必要准备。观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？引导学生思考如何利用椭圆的几何特征合理建立坐标系。观察图形，你能从中找出表示 引导学生思考ac,, a2-c2的几何ac,, a2-c2的线段吗？ 意义，使学生理解引人b2的合理性。如果焦点FF1 2在y轴上，那 引导学生通过类比，自主推导焦点在么椭圆的方程是什么？ y轴上时的椭圆的标准方程。(问题串)(基于问题串的构建意图)（二）基于问题串的引导设置知识构建过程的方案以上述系列化情境与问题为载体，构建“分析背景-探索几何特征-选择坐标系，建立标准方程-探索不同形式的标准方程”等系列数学活动。下面提出活动设计方案；活动1：了解圆锥曲线的现实背景，构建先行组织者历史背景课堂导入：圆锥的截口曲线圆锥曲线现实背景提出问题1：类比直线和圆的方程的研究过程，你认为我们应按怎样的路径2研究圆锥曲线？构建研究路径：现实背景（研究的必要）曲线的概念（建立曲线方程的依据）性）曲线的方程（运用坐标法）曲线的性质实际应用活动2：动手操作，抽象椭圆定义表1问题2：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点FF1 2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么曲线？追问1：笔尖（动点）移动过程中满足的几何条件是什么？由此你能抽象出确定椭圆的几何要素吗？追问2：你能根据确定椭圆的几何要素给出椭圆的精确定义吗？在学生操作、观察、讨论的过程中，通过问题加追问，引导学生以确定（动点）轨迹的几何要素为基础，让学生经历从不严谨到严谨的过程，逐步完善对几何特征的理解，抽象出椭圆的概念，使学生从中体验精确定义一个数学对象的方式，培养学生思维的严谨性和数学抽象素养。活动3：合理建系，推导方程表2问题3：有了椭圆的追问1：据直线与圆的方程的学习经验，建立了直角坐标系后，接下来我们要怎样的步骤得出椭圆的方程？3定义，下面就要建系推导椭圆的方程了。那么怎样建系才能使其方程更简单？追问2：观察方程(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a的结构，你认为怎样变形有利于化简方程？追问3：(a2-c2)x2+ay22=(a2-c2)a2已经是整式了方程了，还能继续化简吗？追问4：观察右图，你能从中找出表示ac,,a2-c2的线段吗？追问5：回顾推导过程，方程x2+y2=1a>>0)与方程a2b2(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a等价吗？追问6：回顾推导过程，你能说说用2,2c而不是,ac表示椭圆定义中的定长与焦距的好处吗？追问7：你能说说x2+y2=1的解和椭圆上的点的坐标之间的关系a2b2吗？也就是说，方程的解为坐标的点是否一定在椭圆上？反之，椭圆上的点的坐标是否一定满足方程?追问8：如果焦点FF1 2在y轴上，你能不做具体推导就得出结论吗？通过层层递进的系列化问题，使学生在实施代数变形之前先思考变形的方向；通过问题提示学生思考每一步代数变形蕴藏的数学意义，从而提高推导过程的理性水平，在有效得出椭圆的标准方程的同时，为理解椭圆的性质打下基础，并使数学运算能力得到培养。 （三）知识建构活动的反思

知识建构活动是通过问题或问题系列，引发学生主动思考，知识的发生发展在问题解决活动中得到体验，从而实现知识的建构。建构活动的实施要能激发学生的思维，促进数学理解。在椭圆知识的建构中，从圆锥的截口曲线出发，逐步完成对三种圆锥曲线的整体建构，再从研究解析几何的一般步骤入手对椭圆方程进行建构。整个过程对基础知识的要求比较高，对后进生而言效果不太好，需要教师在问题的设置，例题的选择上给予更多的思考空间。二、问题探究活动4问题探究活动是旨在将知识的生成、有思维价值的例题或习题设置为探究的问题，发展学生思维能力与创新能力，让学生体验问题解决与研究方法的教学活动，下面笔者以课本例题及课后习题为背景阐述问题探究活动的设计策略。（一）问题探究活动的设计

问题探究活动的设计如表3

表3活动目标、名称的设定单元名称圆锥曲线教材版本人教版A版（2019）活动内容探究“有心圆锥曲线”相关弦的斜率之间的关系活动目标1.通过活动，了解椭圆定义的另一种呈现方式，建立椭圆与其相关弦的内在联系2.在活动中，营造合作学习的良好氛围，在问题解决过程中逐步探索椭圆与圆的联系，进而加深对圆锥曲线相关知识、方法、思想的理解与运用.3.通过小组合作探究和研究报告的撰写，发现问题的本质，完善问题求解的方法与思想，提高数学表达能力，促进学习水平与能力的提高.活动名称“有心圆锥曲线”相关弦的斜率之间的关系活动意义解析几何是用代数方法研究几何图形性质的一门学科。在学习中需关注几何图形的特征,发现其内在规律，并加强锤炼运算能力。教学中。学生对圆锥曲线中一些问题的求解感到困难较大.主要集中反映在以下几方面:

(1)对所涉及问题没有清晰的思路，不能准确的找到等量关系，忽略了分类讨论思想的运用；

(2)有了解题思路后，但由于运算量较大不能完成求解或完成了问题的求解,但求解方法比较烦琐；

(3)不能就教材中已有例题或练习的解题方法和结论进行发散和应用.为了帮助学生克服圆锥曲线学习中遇到的以上三方面的困难,我们从教学实际出发,对教材例题进行拓展发散，设计了这个数学“问题探究活动”。以研究“有心圆锥曲线中相关弦的斜率之间的关系”为抓手,通过课前、课中、课后的学习、交流、反思,来拓宽思维视野,不断优化解题思路,在促进数学理解的过程中,提高问题解决的能力.表4活动方案设计5问题设计已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积为m(m0)，求顶点C的轨迹.活动类型知识建构活动问题探究活动专题实践活动核心能力运算求解推理论证空间想象数学表达数据处理数学建模活动年级高一高二高三活动形式课内活动课外活动课内外兼顾活动方式自主学习小组合作班级研讨交流活动资源工具学具文本资料媒体资源活动水平理解与运用综合运用探究与发现所需课时2课时（课内）评价方式自我评价小组评价教师评价活动品质评估主体性整体性合作性适切性激励性

ABCABCABCABCABC注：A表示“很好”，B表示“良好或较好”，C表示“一般或较差（二）问题探究活动的实施

1.问题背景：（1）选择性必修一第108页例3

如图，设A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是4，9求点M的轨迹方程。（2）选择性必修一第121页探究直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹 9 ， 如图，点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）， 4的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？2.提出问题

问题：选择性必修一第146页复习参考题第11题：6已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积为m(m0)，求顶点C的轨迹。3.问题探究过程报告[问题分析]根据例3的启示，可设出C的坐标，从而进行直接运算，但由于m的取值具有不确定性，需要对其进行讨论。[问题解决]设点C的坐标为C(x,y)，依题意有：kACxy，kBCy55x故kACkBCyy5xy225m（m0）故得x2y2（y0）。x5x22525m当m0时轨迹是椭圆(m)1或圆(m)1，并除去两点A（-5，0），B（5，0）,当m0时轨迹是双曲线，并除去两点A（-5，0），B（5，0）。上述问题及其背景的一般情形可归纳为下面的结论：探究1：与两个定点Aa0,),B(a0,)连线的斜率之积为定值（0）的点的轨迹为有心圆锥曲线（除A，B两点，其方程为）x2y2（xa）a2a2（1）若0且1,则动点P的轨迹方程为椭圆（除去A，B两点）；（2）若0,则动点P的轨迹方程为双曲线（除去A，B两点）；（3）若1,则动点P的轨迹方程为圆（除去A，B两点）。其证明过程与问题的解答类似，同时只需要令a,54，即可得到课本9第108页例3的结果x2y2（x5），令a,54，即可得到课本第1212510099页“探究栏目”的结果x2y2（x5）.令a,5mm0)，即为“问题”25100(9中的形式。（点评：从问题中易发现点A，B是关于原点对称的两个特殊点，恰是椭圆或双曲线的顶点，具体是哪类曲线，由m的范围来确定.）7100通过进一步观察发现在例3中kAM×=-4=-9=-b2探究栏目中的BM925a2k×=4=b2，对于一般的“有心圆锥曲线”上述这个定值依然是成立的。AMBM9a2探究2：若点A,B是椭圆x2y2（ab0）上关于原点对称的两点，点Ma2b2是该椭圆上异于点A,B的任意一点，则直线AM,BM的斜率之积为定值，即有：kAMkb2e21（其中e为椭圆的离心率）。BMa2证明：设点A(x1,y1),B(x1,y1),M(x,y)，则y2b21(x2)，y12b21(x12)，a2a2kAMBMyy1 yxy1y2y1b21(x2)b21(x12)2e212a2a2bxx1x1x2x12x2x12a21（点评：在椭圆中离心率是用来刻画其扁平程度的，当时，e 0 AMkBM 椭圆趋于圆，此时AB成为了圆的直径）

圆作为一类特殊的有心曲线，上面的探索可以看成是圆周角定理在有心圆锥曲线中的一个推广，那么在椭圆中是否也有类似于圆中一样的垂径定理呢？ 探究3：若点M是“有心圆锥曲线”的弦AB的中点，其中AB不平行于对称轴且不过曲线的中心O，则.kABkOMe21证明：下面以椭圆为例进行证明，（双曲线的证明类似）设椭圆的方程为直线与椭圆的两个交点分别为a

x22b

y2

2 ab0A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB的中点为M，x12 2 y1

b21，x22 2 y2

b21两式相减得：a2a2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，(y1y2)2yMb2a2b2(x1x2)2xMa2即：.kABkOMb2e21ABkOMe21的，其本质就是圆锥曲线a2k(点评：上面的证明是利用点差法得到的中点弦问题的变式与深化.)8从“问题”中的A,B为左右顶点，到关于原点对称，再到任意的不平行于轴且不过原点的弦，都涉及到定值e21.那反过来，当椭圆上任意非顶点的两a2点与原点连线斜率为e21时，又会有怎样的结论呢？探究4：已知点M,N是椭圆x2 y+b2=1a>>0)上非顶点的两点，a22b2且kOMkONe21,求的面积。OMNx2 y2得：从而

解：设直线MN：将其代入椭圆中，并整理(a bm)y 2b

xmty

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tt ab 0

a2y1

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2

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mt

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0）y1y2

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2t2

2b2m所以：kky1y2y1y2b2t2a2b2b2OMONx1x2m2y1x2mt(y1y2)t2a2t2a2b2m2a2，得到：2t2a2b2m2，所以：S1tytaba2t2b2m2tab2t2t21abOMN212a2b2m2t22 （点评：上面解法中将直线表示成在x轴截距的形式，避免了讨论斜率不存在的情况，同时在面积公式的选择上更加优化，简化了运算）

此时若分别过左右顶点做OM,ON的平行线，此时两条平行线的交点P是否在椭圆上呢？x2 y2探究5：已知点M，N是椭圆上非顶点的两点，则a2b2 OMN1的面积为的充要条件为。2

abOMON 2证明：充分性探究4已经给出了证明，下面证明必要性：x2 y2设直线MN：将其代入椭圆中，并整理得xmyt a b

（ab0）(a2b2m)y22b2mtyb2t2a2b209yy2b2mtyyb2t2a2b212a2b2m，12a2b2m所以：SOMN1ty1y2taba2t2b2m2tab2t2t21ab2a2b2m2t2y1y22化简后得到4t24t2(a2b2m2)(a2b2m2)20m