微积分b1期中考试整合版

第一部数、极限、[选择题容易题1—4748—113，难题114—154设f(x)的定义域是[0,4]，则f(x2)的定义域是

[- y

fx的定义域为[0,2a0y

f(xa)f(x A.[a,2a][a,2a] 当a1时，定义域ax2a；当a1时D.[a,2a][a,2y若Z f(3x1)，且已知当y1时，zx.则f(x) y(x1)3 B.xC.(t1)3 D.t fg在(,上都为单调增（减）

g,

g,fg,g

(g0fg在(,上都为单调增（减）

gmaxfgminfgfxgx),xgx)x)fx，又设ggx)],[x)],ffx则必有gg(x)][(x)]

f[f(fx在(-,+)上为奇函数，且在[0,+)上是严格单调增加的，则fx)在(-,+)上一定是严格单调增加的。设f(x)的定义域为(-,+)，则g(x)f(x)f(x)是 B.g(x)C.非奇非偶函 奇函 奇偶C.周期 有界设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则 )为奇函数（f[g( B.g[f(C.f[f D.g[g(ysinx在[,3]上的反函数是 A.xarcsin B.xarcsin C.xarcsin D.xarcsinycosx在[,0]上的反函数是 xarccos

xarccos

x2arccos

x2arccos

xnA的定义“,NN,nN,恒有xnA”中,N是 唯一 B.任意C.不唯一，但与有 D.是的函

xnA的定义“,NN,nN,恒有xnA”中是 一个很小很小的正 设f(x)在(a,a)上单调,则f(a0)与f(a0)（ 设函数f(x)为定义在(,)的任何不恒等于零的函数，则 ）必是偶函数F(x)f(x)f(x)BF(x)f(x)f(x)F(x)f(x)f(x)Fx)f(xf(x)设f(x),(x)都是偶函数，且它们的定义域、值域均为(,)，则 fxf[xfxf[xfxf[xfx)]f[x若数列xn在(a,a)邻域内有无穷多个数列的点，则（ （其中为数列xn必有极限，但不一定等于a数列xn极限存在且一定等于a数列xn的极限不一定存在数列xn

设limf(x)存在，limg(x)不存在，则 limf(x)g(x)]limg(x)一定都不存在

x

flim[f

limg(x)一定都存在

x

flim[f

limg(x)

x

flim[f

limg(x)x2sin

x

flim x的值为 sin B. D.0当x0时，与sinx2等价的无穷小量是 )ln(1x Btanx C.2(1cosx D.ex1f(x在(0a0b0

f单调减少，则 xf(ab)

f(a)

f(ab)

f(a)f(b)f(ab)ab

ABC均不成立x0f(x

2f(x)f(1)

(a为常数

f(x)为 ABCD 0，最多只有有限个a(A,A)是limaA的 (

0，有无穷多个a(A,A)是limaA (

n设limn

a,则 (

数列{an}收敛

(B)limaann

limaann

数列{an}不一定收敛若limxna，lim(ynxn)0，则数列 收敛于a

0lim(ynxn)limynlimxn

limyna

x0xSinxx2 答 1当x0时，y ，当x满x

y104（A）0〈x

1041

104

x0；（C）0〈x

，104（D）0〈x〈1042答 lim

) x（A）不存在；（B）0； （D）。答（B y

f(xx

f1y互为反函数，则关系式（）x

f1(f

y

f1(f

x

f(f(

nf(x)xnxn是（DA偶函数B既是奇函数又是偶函数C奇函数D1y

在定义域内是 xA单调函 B周期函 C函 D有界函n已知数列{x}{(1(1)n)n}，则 nnAlimx n

limx= nn

limx∞，但D发散，但有nn

lim(242822n2)22

= 42 42

C D

f(x)a（常数，则函数f(x)在点x0 f(x0

有定义，但f(x0)可以为任意数 D可以有定义也可以没有定limxnlimyn (A)xn(C)N,使当nN时,xn1

(B)n,xn(D)xn与ynx0是f(x)

x(A)连续 (B)跳跃间断(C)可去间断 (D)无穷间断lim

xx (A)

(B)e(C)e (D)e若f(x)ax2bx和g(x)axb,其中ab0,其图形只能是 yyyx0x0y 0x0x 关 数 命 正 若序列{xn收敛,{yn发散,则{xnyn和{xnyn若序列{xn与{yn发散,则{xnyn和{xnyn若limxnyn0,则必有limxn0或limyn0

x0时,f(x)xsinx是 )(A)无穷大量 (B)有界的,但无极限(C)的,但有收敛于零的子列 (D)除上述三种以外之情况设非空实数集合S有界，则S (A)（B）不一定有最小值（C）没有下确界（D）f是定义在,

f(2x)2f

则f(x)等于 2

f(x)

当x为无理

x (B)是偶函 (C)是周期函 (D)A,B,C均不正答案C

f(x)

,

(x)

11xn

xnxn

x

asinx

（A） 设有（

f(xL.（II）:x0的点列xn

f(xn)L.则命题II是命题I的 nn若a0，且 r1， nnliman0 liman1；

rn

不存在n n fgR

gg

fg

x

x

x设函数y2x

0x

y

2

1x f为周期函数，则

若fffxfx)

f(2ax),f(x)

f(2bx),(bfxx(,),若函数f满足f(f(x))x,则满足上述条件的f A.只有一个B.一个都没 设f(x)x,g(x)x2x,f(g(x))g(f(x))成立的范围是 1x1x

x,

fn(x)

[1,)则fn(x) 11

1111nx1xfx)

x1x1x则f(x25)f(sinx)5f(4xx26) A.5sin B.sinx5(4xx2 C.sinx D.sinx设xnayn,且lim(ynxn)0,则{xn}与{yn} nA.都收敛于 B.都收敛但不一定收敛于 xnzn

如limxnlimynA,则limzn

如limxnAlimynB,则limznCAC

如limynxn)0则limzn 如limynxn)0limxnlimynlim

设limf(x)存在， M0,x(,),f(x)M0及X0,xX时,f(x)M0及X0,当xX时,f(x)M0及0当0

x

时,f(x)

f(x)A，则下列结论中正确的是 A0，则M0xMfx)A0，则M0xMfx)若M0xMfx)0A若M0xMfx)0A 0,只有有限个x(a,a)是limxa的 A.充分条件，但不是必要条 C.充分必要条 0,有无穷多个x(a,a)是limxa的 设f(x),g(x)为定义在(,)的单调增加函数则下列函数中在(,)内必 f(x)g(x)f(x)g(x)fx)。gxfx)/gxfx)x2

x11x4

的反函数是 (A).y

2xx

4xx11x4

x(B y x

x11xln

4x

16x

y x2log2

x11x44x2x02x

(D).y x2log2

x1x 16xf

4

1x

2,则f(x)在x5处 32 x5 32 2x

x2(D).若limf(x)存在，则下列极限一定存在的是 limfx)]为实数xlimf(x)limlnf(x)

x3x

x1x23x

3x22x

limx1

3

(x1)(x2x(x1)(x

x2xx

4

1试确定当x0时下列哪一个无穷小量是对于x的三阶无穷小

x2 xaxaxax30.0001x23tanxf(x)

n1(,)1x n(,0)(0,)1x0及x 处nfx)是定义在[aa](a0g(x)则g(x)是[a,a]上的

f(x)f(x)xl

(la)设fx)是定义在[aa](a0)g(x)

f(x)f(x)xl

(lax

0x设函数f(x)

x

在闭区间[0,2]上 x

1xfx)

atanxb(1cos

其中a2b20则 x0cln(12x)d(1ex2(A).b4d (B).b4d (C).a

(D).a4cfx)(1

4

，则它在(0,2)内间断点的个数是 (B). (C). (D)4, x0,x, 1ex设f(x)

xx

，则f(x)的间断点及其类型是 (A).x0,第一型 (B).x2,第一型(C)x0,第一型,x2,第二型 (D).x0和x2，第一型 g(72．设fx)

x0x

0，又gxhx)均存 h(

x0xx0g(x0)h(x0),g(x0)h(x0)是f(x)在x0点可导的（ (B).充分必要条件；(C).必要但非充分条件；(D).fx0)0fxxx0连续，则fxxx0可导是fx)xx0 (B).充分必要条件(C).必要但非充分条件；(D).

(x)2x1,对于n＝1，2，3，x

(x)

f1(

(x,若f35(x)f5(x),则f28(x) ) x1 A

1cos设数列{xn 2}，且limxnA，当n最小取（）时，nxnA0.001

当x0时，变量

lnsin

x

x

e设f(x)在xa的某邻域内有定义，f(x)在xa可导的充分必要条件是 (A).limh(f(a)

1)f(a)存在 (B).

f(a2h)f(ah)

(C).

f(a)f(ah)

f(ah)f(ah)

fx)为奇函数，且在(0,)f(x)0,fx)0fx)在(,0) (A).f(x)0

f(x)0 (B).f(x)0,f(x)(C).f(x)0,fx)0 (Df(x)0,fx)0f(x)(x2x2)x3x不可导点的个数是 )(A).3 (B).2 (C).1 (D).0fxx0gxx0Fx)

fxgx)x0处 )(A).一定有导数 (C).导数可能存在；(D).一定连设f(x)SinxSin(t2)dt,g(x)x3x4.则当x0时,f(x)是g(x)的 0（Ａ）等价无穷小 （Ｂ）低阶无穷（Ｃ）同阶但非等价的无穷小 （Ｄ）高阶无穷小答设

atgxb(1cos

2,其中a2c20,则必有 x0cln(12x)d(1ex2 （B）b=

(D)a答(

f[(x)]和f[lim(x)], 答 设(x)(xn),(x)(xm)，则(x)/(x) （A）1 （B）X) （C） （D）答 Df(x是(上的严格增函数，且x(fff(x

f(x满足上述条件的f (

有唯一一个

f(x的定义域为[04f(xaf(xa)(其中a0 (

[a,4a][a,4a]

[a4a][a4a 当a2时,为当a2时,为[a4a]如果x(,)，恒有f(f(x))x，则满足上述条件的 (

有无穷多个

设f(x)在区间I上，且f(x)0。

f

在该区间上 (

有上界或有下界

可能有界也可能若存在自然数N，对任给的0，当nN时，恒有anA成立， (

当nN时,anA；

(A),(B),(C)均不成立设xnayn，且lim(ynxn)0，则数列{xn}与 n(

都收敛于a

n若limxA0, nN,使当nN时,xn

N,使当nN时,xnN,使当nN时,xn (D)xn与“实变量x0”等价题是

(n1,2,

x

0,x0,x

x若limf(x)存在, M0及x0N*x0,xN*时,f(x)M0及x0N*x0,xN*时,f(x)M0及x0Nx0,xN时,f(x)M f(x)若limf(x)A0,则0,使 x(A)当xx0时,f(x) (B)f(x0)(C)当0

x

时,f(x) (D)f(x)在x0处没定1极限limx1 (A)为 (B)为e(C)为 (D)为x0limn2n1xn(A)不存 (B)为ln1

(C)为ln (D)x设f(x),g(x)定义在(1,1),且都在x0处连续, f(x)g(x)/ x2 x2则(A)limg(x)0

g(0) (B)limg(x)0

g(0)limg(x)1

g(0) (D)limg(x)0

g(0)设当x0时ex(ax2bx1)是比x2高阶的无穷小量,

a ,b111a ,b112

a1,ba1,b设x0时,etanxex与xn为同阶无穷小量,则n (A) (B) (C) (D)y

f(x)为(,f(1)ax有f(x2)f(x)f(2),则f(2)(A) (B)(C) (D)函数f(x)

x2n

的间断点 nx2n(A)0和 (B)1和(C) (D)1xa若 9,则常数a xxa1(A) 3

(D)lnf(x)ex2f(g(x))1x

g(x)0,则的定义域是

x

(,)

x0

x0若函数f(x)loga

x21x

a0,a1,则该函数的图形 (A)对称于x轴 (B)对称于y轴 (C)对称于原点 (D)不是以上三f(x)

xx

g(x)

f(f(x)),则函数g(x)是 (A)连续的非初等函数 (B)基本初等函数(C)仍是分段线性函数 (D)是初等函数，但不是基本初等函数

f(x)2x3x2x

的反函数f1(x)是 )2x

3x3x2x

3x22x3x

xa常数a和b的关系为 )时，则有 2xxb

a2b eaeb2

2abeaeb

limx=nn

limy=,则以下论断中只有 nnn(A)n

);

lim(1

)x

enln(|xy y

lim 0;

limn x2y

n 每一个定义在

上的函数一定能表示为 (C)一个奇函数与一个偶函数之和

yarccoslg(3

的定义域为 283x283xx

(-7,

(-7,案为

f(x)

是

f(x)

答案 22

lim 11

等于 nn 答案

lim

2

22cos (A)等于 (B)等于 (C)等于 不存答案lim

n2n2(A) (B)(C)不存 (D)设baf(x)以xa及xbfx(A)偶函 (B)奇函(C)周期函数且周期为(b (D)周期函数且周期为2(b设a0,

0,

1xa,则x的极限(n2 2

na(A) aa

2

设an0,且{an

xn

ak k (A)limnan (B)limnan (C)limnan不存在,亦不为 (D)limnanc（c 设在(,f(x)和(xfxfx0x(A)[f(x)]必有间断 (B)[(x)]2必有间断(C)f[(x)]必有间断 (D)(x)必有间断f( xx

sinx C.sin

D.x3x3f(x)

x0，g(x)x2x1，则f{g[f(x)]} xA.

x2x

xx

B.

x2x

x;x x x0C.0

x

D.

xg(x)1ex(0x1),f(x)2且在[0,1)上有：f(x)g(x)，在[-2,2)上，f(x)的表达式为 1e(x2)

2x

1e(x2)

2xf(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x

f(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x1e(x2)

2x

1e(x2)

2xf(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x

f(x)

(1ex),1ex,(1ex2)

1x0x1x设f在[a,b] ，且f(x)0,则f(

在[a,b]上 B.有界 f在[a,bfx)0,则f(

在[a,b]上 B.有界 124．数列{xn}以A为极限的等价定义为( 若NN,使nNxnANN,使nNxnA对于无穷多个n0n1,2,3NNnNxnA(0,1NNnNxnA下列说法中与数列{xn}以A为极限不等价的定义为 若KNNkN,使nNkxnAKNNnNxnAmNNnNxnANNnNxnAn

m数列{xn}不以A为极限的等价定义为 A.若NNnNxnA 若,在{xn中存在子列{xn}xnA 若NNnNxnANNnNxnA若,在点A的邻域内,总有{xn}的无穷多个点,则数列{xn}具有性质 以A为极 B.不以A为极C.{xn}必有 D.A是数列{xn}的一个聚 A,

总x,满足

x

f(x)AB.,C.,

.总x,满足,.总x,满足

xxx

f(x)Af(x)AD.

xn

f(xn)A证明limxn不存在的下列方法中,不正确的是 A.AR子列{xnxnA 子列{xn}及{xn},limxnlim k N,当nNpNxnxnNnNpNxnxn

数列{xn}极限存在的柯西充要条件,下列叙述中正确的是 NNnN,及p

,有xnpxn ,及pN

N

,n

,有xnpxn NN,及pN

nN,有xnpxn pNlim(xnpxn)

nnlnnln(nnn ln()ln(

(n

n N

n,

ln()

n

nnnn

nnn

nn1

n

n ,只

n1,Nn2

n2

n2

[

xxxxxxxxxxx(x只 ,xxx(x

xxxxxxxx,即xx6

,x2

已知limxA，用极限定义证明limxA,下列证明中正确的是 n nlimxANN,nN有xAnxn

A

A

令A为任给的无穷小，也为任给的无穷小，limxlimxANN,nN有

A

xnAxA(xA)(

A)

A,limx n要证xA,可有nn

A

nnxAnn即证xn

A,即

AAAn而由limxA,可知NN,nN有xnAAAnn nlimxnA,NNnN,{xn有界,即M,n

Mn又xn

A

A

xnA(Mlim

A,,NN,当nN,有xnA n

MNmax(NN),当nNxA (M

A)

limx M

n设limf(x)l,则limf(x)

B.不存C.存 lim(f(x)g(x))0limf(x)lim limf(x)Alimf(x)A limf(x)A

f(x)Alimf(x)Alimf2(x)A2 E 1 1 1 1设 ,,,E2 ,,则 2 n 2 nsupE1supE2 infE1infE2supE1supE2 infE1infinfE2E1，E2最大值为1，最小值为设E{xx(0,1)中无理数}，则 supE1,infE0,E的聚点是 B.supE1,infE0,E的聚点是supE1infE0E的聚点是

设数列{xn}收敛于a，则 asup{xn B.ainf{xnC.a是{xn}的聚 设数列{xn}严格增且有上界，则 sup{xn}{xn},inf{xn}{xnC.sup{xn}{xn},inf{xn}{xn

sup{xn}{xn},inf{xn}{xnD.sup{xn}{xn},inf{xn}{xn设数列{xn}收敛于a,则sup{xn}与inf{xn} 都存在，且都属于{xn B.都存在，但都不属于{xn都存在，且至少有一个属于{xn

数列{xn}的任一子列xnk都收敛是数列{xn}收敛的 141．设数列{xn}是数列，则{xn}（ 发散于 B.发散于C.发散于 D.存在一个发散于的子 给定数列{xn，若nk2k1k1,2,则xnk是{xn的子给定数列{xn}，若

1k2k1,2,则x是{x 数列{xn收敛{x2n1},{x2n 设数列{xn}收敛且{nk是任一自然数列，则数列xnk收k若单调数列{an}的某个子列{an}收敛于A，则数列 k(

A

(A),(B),(C)均不成立

limann

kNNkN,nNk,有ana〈1/k0,有无限多个an，有ana（C）有无限多个0对每个，NN，nN,有anaKK

a答 f(x)1x00,x

g(x)x1,x1，则g(f(x)) )1f

1f

f(x)

flim

n2n2(A) (B)(C)不存 (D)设baf(x)以xa及xbfx(A)偶函 (B)奇函周期函数且周期为(b (D)周期函数且周期为2(b设a0,

0,

1xa,则x的极限(n2 2

na(A) aa

2

设an0,且{an

xn

ak k (A)limnan (B)limnan (C)limnan不存在,亦不为 (D)limnanc（c 设在(,f(x)和(xfxfx0x(A)[f(x)]必有间断 (B)[(x)]2必有间断(C)f[(x)]必有间断 (D)(x)必有间断f(

f(x)

ln(exxn

n,则则其定义域有 n

[1,

(,)

limf(x)a的充要条件是 )

1

lim(f(x))2a2xf

(C)对任何趋于无穷的子列{x},limf(x

T,0

N0

xN

f(xf(xT)f(x是(,中的单调增函数,又

x,g(x)

f(x),则以下结论中 )

x

f(f(x))g(g(x))

x,f(f(1x))

f(g(1x))

x,f(f(x))g(f(x))

xff(x1gf(xf(x)

x2n1ax2bxx2n1

连续，则 a1,b0 (B).a1,b (C).a0,b1;(D).a0,b0第二部元函数微分[选择题容易题1—3940—106，难题107—135y

f(xx0处可导，y

f(x0h)f(x0)，则当h0时，必有 dy是h的同价无穷小量y-dy是h的同阶无穷小量dy是比h高阶的无穷小量y-dy是比h高阶的无穷小量f(x是定义在(,x0f(x)

f(x)0则在(0,内有）（A）f(x)0,f(x)0（B）f(x)0,f(x)0（C）f(x)0,f(x)0（D）f(x)0,f(x)0已知f(x)在[a,b]上可导，则f(x)0是f(x)在[a,b]上单减的 (B)充分条件 答B设ny

x2x2

arctanx的渐近线的条数，则n f(x在(1,1

f(x)x2

x(1,1x0f(x)的 （C）可导的点，且f(0)0。 （D）可导的点，但f(0)0。答C A设可微函数f(x)定义在[a，b]上，x0[a,b]点的导数的几何意义是 x0点的切向x0点的法向x0点的切线的斜C设可微函数f(x)定义在[a，b]上，x0[a,b]点的函数微分的几何意义是 x0点的自向量的增x0点的函数值的增x0点上割线值与函数值的差的极xf(x)x（A）x（B）x（C）x（D）x

，其定义域是x0，其导数的定义域是 设函数f(x)在点x0不可导，则 fxx0fxx0fxx0fx0

f(x0)0,f(x0)0,则 x0fxx0fxx0fxx0,fx0fx（命题I）:f在[a,b]上连续.（II）f在[a,b]上可积.III的 （ 可积但不一定可 （D）A,B,C均不正（ 命题I）:函数f在[a,b]（II）|f|在[a,b]上可积.I是 II的 （

yeu(x)

y''

等于

eu(x

eu(x)u''(x)（C）eu(x)[u'(x)u''(x)] （D）eu(x)[(u'(x))2u''(x)]（ f在

f'(x00

f''(x)

f'(x00

f''(x0)

f'(x00

f''(x0)

f'(x00（ f'(a)

f(x)f；x

f(a)f(a；f(as)f(as(C).

f(ta)f；t

(D).S

s答 陆 在某点可微的含义是 yaxay与xy(a)x,a与x无关，0(x0yax,a是常数，是x的高阶无穷小量(x答（C关于ydy，哪种说法是正确的 （A）当y是x的一次函数时ydy （B）当x0时，y（C）这是不可能严格相等的. 答（A） （B） （C）

答（D函数f(x)(x2x2x3x不可导点的个数(A) (B) (C) (D)f(xx处可导，则

f(x0h)f(x0) （A）f(x0)；（B）f(x0) （C）f(x0)；（D）f(x0)答案f(x)在(a,b)内连续，且x0(a,b)，则在x0处 （A）f(x)极限存在，且可导 （B）f(x)极限存在且左右导数存在（C）f(x)极限存在，不一定可导 （D）f(x)极限存在，不可导答案若f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处 （B）（C） 答案设f(x)(xx0)|(x)|，已知(x)在x0连续，但不可导，则f(x)在x0处 （B）（C）连续，但不可导；

f(x)g(abxg(abxg(x在(,xaf(0) （A）2a；（B）2g(a)；（C）2ag(a) （D）2bg(a)答案y

f(cosx)cos(f(x))，且f可导 则y f(cosx)sinxsin(f(x))f(x)f(cosx)cos(f(x))f(cosx)[sin(f(x))]f(cosx)sinxcos(f(x))f(cosx)sin(f(x))f(x)f(cosx)cos(f(x))f(cosx)sin(f(x))f(x)答案 （B）

答（D设f(x)x(x1)(x2)(x99)(x100)，则f'(0) （ （B）100！（C）- 答案f(xn

f(n1)(x)x

f

(a

(a) （A） （ 答案： （A

f(x)xx2,x

f(x)sin x ,x （C

f(x)

x

（D

f(x)

xx （A）单调 （B）有界 （C）连续 （D）可导答案f(xy

f(x在其上任意一点(x,y和点(x,y处的切 （A）彼此相 （B）互为相反 （D）以上都不答案y

f(xx0x0x0xyf(xdyf(xydy

（当x0时（A） （ （C （D）答案设f(x)loglogx，则f'(x) logxloglog

1loglog（A

x(logxloglogxx(logx)2

（B（

x(log1loglogxx(logx)2f

x2

x

x1处可导，则a

)ax

x(A).a1,b (B).a2,b1 (C).a1,b2 a2,b1。若抛物线yax2与ylnx相切，则a )(A).1;

e2 (D).2e若f(x)为(l,l)内的可导奇函数，则f(x) )(A).必为(l,l)内的奇函数 （B).必为(l,l)内的偶函数(C).必为(ll内的非奇非偶函数；(D).可能为奇函数，也可能为偶函数。设f(x)xx,则f(0) )(A). (B).1 (C).1 (D).已知f(x)在(,)上可导，则 f(xf(xf(xf(xf(xf(xf(xf(x一定为奇函数.C设f(x)在(,)内可导，则

f(x)f(x)f(x)f(x)

f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)在(,)内可导，周期为3，又

f(1xf(1)1线在点(4,f(4))处的切线斜率为

1 （D）2xf(xf(1x

f(x)1，则 f(1f(xf(1f(xx1f(x设f(x)(x2x

，则f(x)不可导点的个数是 （B）1。 答Bf

，则其导数为 f(x)xxf(x) f(x)xxf(x)设ysin4xcos4x，则 y(n)4n1 y(n)4n1cos(4x),ny(n)4n1 y(n)4cos(4xn),n2f(x)（A）f(0)（B）f(0)（C）f(0)

，则 （D）f

fx)x

，则 （B）f(1)（C）f(1)4（D）f(1不存在C下列何者正确 (cscx)cscxcot(secx)tanxsec(tanx)(cotx)g(x)ef(x)

,g

g(0)1fx)x0连续,但不可导,(B)f(0)fxx0

f(0)fxx0处连续,

f(x)在x0fx可导,且满足条件limf(1f(1x)1y

fx (1f(11(A) (B)- (D)-2若f(x)为 的奇数,在(,0)内f(x)0,且f(x)0,则

f(x)f(x)f(x)f(x)

f(x)0f(x)0f(x)0f(x)fx可导,且满足条件limf(1f(1

y

fx(1,f(1))处的切线斜率为 (A) (B)-

(D)-g(x)ef(x)

,g

g(0)1fxx0f(0)fxx0(B)f(0)fxx0(C)

f(x)在x0fx)

F(x)

f(x)(1sinxF(x)

f(0)

f(0)

f(0)f(0)

f(0)f(0)f(x)

g

是有界函数,则f(x)在x0处 设

yxlnx

y

等于

x

x 8!x －8!x(答fx)

x

处连续，但不可导，则p（ 答（B判断f(x)x

x

处是否可导的最简单的办法是 A）f(1)3f1)30，故可导（（B）f(10)f(10)fx（C）

f(x)f(1)x

f(x)fx（D）x处x2(2x2答（B若ylnx，则dy 1（A）不存 （Bx

x（Cx

（D）x答（B若f(x)是可导的，以C为周期的周期函数，则f'(x) （A（B（C（D答（Dx

ftytftf(t

x'

dx,x''

d2

,y'

dy,y''

d2d2 d（A）

y')2

t

（B

y'x'

t

f''f'''x'y''x''（C （D答（D

x'y''x''y'x3在计 时，有缺陷的方法是 d原式

3d(x3)3

d(x3)

3332d(x)2

3(x2)

3

22

dx33x2dx,dx2

3x2dx(

2xdx

x x答（B2ab取何值时fx2

在x3处f(x)可微f(x)连续lim 存limf

存在

f(30)

f(30)3abx3fx可微

f'(30)

f'(3答（Df(xg(x)

x0(x)

f(xg(x

(x)

f(x)g(x)在x0处 （C）（D）答案

e2x

xf(x)

x

，在x00可导，则a,b取值为 （A）a2,b1； （B）a1,b（C）a2,b1 （D）a2,b1答案设函数yy(x由方程xy2y2

确定，则dy y（A）2(xy2y2xlnx) 2x答案若f(x)max{x,x2}，则f(x)

0x

0x（A）f(x)

2 （B）f(x) 2

x2

x2（C）f(x) 0 （D）f(x) 0 答案f(x)5x42x3|x|f

存在的最大n值是 70y

f(xxgy)y0

，已知f(x0)1，f 则g( （C）1 （D）12答案设函数f(x)(xa)(x),其中(x)在a点连续，则必 f(x)(x) (B)f(a)(a)(C)f(a)(a) (D)f(x)(x)(xa)(x)答 y

f(x)在点x0处可导是f(x)在点x0处连续的 既非充分条件 答（Bf(x)

sinx在x处的sinxf()

左导数f(0) (D)右导数f(答（Dx2 设函数f(x)

ab

(2)存在则必 )

a2,b

a1,b

a4,b

a3,b答 Cy1yx2在它们交点处两切线的夹角为，则tan

答（Df(x)

，x(,)， 仅在x0时 (B)仅在x0时(C)x

时 (D)x为任何实数时，f(x)存在答（f(xxa

f(ax)f(a

2f

f

f

答（Af(xx0F(x)f

。F(x)在x时极限必存在，且有limF(x)

f(A)F(xx0

x0F(xF(xx0F(0)

f(0答 A设a是实数，函

cos1

xf(x)(x

x

xf(xxa

处可导时，必有 1

0

a答（A 设函数f(x)xsinx x0,则f(x)在x0 x (B)连续，但不可导 答（B）

f(x是可导函数，xx

f2(xx)f (B)2f

(C)2f

2f(x)f答（Df(xxaf(a)

klimf(a3t)f(a5t)

k

答 Bxxf(x)

x

f(0)设

x

(B) (C (D)答 Cf(x)在(abf(x在(a

答（Dy

x1Py

P

2xy1

2xy1

2xy3

2xy3答（D

f

1,则在x0

x02Sin22(A)不可导；（B）可导；（C）取得极大值；（D）答（Dx33xa0有三个实根

则

a

a (C)a (D)a无 设f(x)定义于(,),x00是f(x)的极大值点,则 x0必是f(x)的驻点 (B)-x0必是-f(-x)的极小值点(C)-x0必是-f(x)极小值点 (D)对一切x都有f(x)f(x0B （Ａ）a=0,b=2 (B)a=1,b= a= ,b (D)a=1,b=1.答（D设两个函数f(x)和g(x)都在xa处取得极大值,则函数F(x

f(x)g(x)在xa （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）答（D）

nenn

1limen1limxsinxlim1cosxx0xsinx2sinlim

x01cos2xsin1coslim x

sin

cosxx

x 答（Bf'(x)g'(x)是f(x)g(x)的 充分条 答（D）f(xf

的表达式是

f(xh)f(xh)

f(xh)f(xh)

f(xh)f(xh)

Df为可导函数

ysin{f[sinf(x)]}，则dy f'(x)f'[sinf(x)]cos{f[sinff'(x)cosf(x)cosf'(x)f'[sinff'(x)cosf(x)f'[sinf(x)]cos{f[sinf答一直线与两条曲线yx33和yx31都相切，其切点分别为 (1,2)和 (1,4)和 (1,2和

和答当参数a

)yax2ylogx 答设a0b0则

axbx)x 2

ln

ylog

a(a0),则dy 1log 2C logax

xlog

logax 答99x

fy)的反函数y

f

及ff1x)],"

都存在，且f'[f1

d2f1， d

f"[f1{f'[f1 f"[f1{f'[f1

f"[f1{ff"[f1{f'[f1答 100．设f(x)xlog2x在x处可导，且f'(x)2，则f(x) 答g(101fx)

x0x

，

，又g(xh

均存在，则h(

x0xx0g(x0)h(x0),g(x0)h(x0)是f(x)在x0点可导的（ (B).充分必要条件；(C).必要但非充分条件；(D).fx00fxxx0

fxxx0

fx)xx0的 (B).充分必要条件(C).必要但非充分条件；(D).既不充分也不必要条件。A

f(x)在xa的某邻域内有定义，f(x)在xa可导的充分必要条件是 (A).limh(f(a)1)f(a)存在 (B).limf(a2h)f

(C).limf(a)f(ah)存在 (D).limf(ah)f(ah)存在 答fx)为奇函数，且在

f(x)0,fx)0fx在

(A).f(x)0

f(x)0 (B).f(x)0,f(x)(C).f(x)0,fx)0 (Df(x)0,fx)0f(x)(x2x2)x3x不可导点的个数是 )3 2 1 0106

f(

在点

有导数，而g

处连续但导数不存在，则F(x)

f(x)g(x)在点x0处（ 答f(x在[abf(x2f(xf(x)

x[a,若f(a)f(b)0，则f(x)在[a,b]上 答D设f(x)在(0,1)内n阶可导，则x,x0(0,1)，有 （A）f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x

)n(B)f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x

)n

,x

f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x f(x)

f(x0)f

)(x 1f(n)(x

)(x

0)no[(x0

)n1]设f(x)在x0点可导，则 f(xx0f(x0)0f(xx0f(xx0f(x0)limf(xf(xx0

f(x存在时，有f(x0limf(x设f(x)、g(x)在x0附近可导，且g(x)0，则 limf(x)A

f(x)Axx0

xx0limf(x)A

f(x)Axx0

xx0limf(x)A

f(x)Axx0

xx0Df(x)

x2cos1x

x x)(ex2cos3x x)(ex2cos3xxxfx)

,x，则 xfxfxfxf(0)sin2x,x设函数fxfxfx

xR\

，则fxf(k)0,kxsinfx)

x

点连续但不可导， （A）（B）1（C）（D）xsinfx)

x

点可导， （A）（B）1（C）（D）arcsin 设f(x)

，则函数 x0xx

x0fx)在[a,bf(a)

f(b)0

fx)0,则在(a,b)(A)fx)0 (B)至少存在一点f()0(C)至少存在一点,使f()0 (D)f(x)fx)在

x1x2当x1x2f(x1

fx2对任意 f(x)对任意 f(x)f(x)f(xfxC[,],0f(0)0

limf f(0fx)f(0fx)(0,f(0fx的拐

x0fx

(0,f(0也不是fx的拐设0,fx)在区间(,x(,

f(x)x2x0fx (B)连续而不可导的(C)可导的点,且f(0)0 (D)可导的点,且f(0)fx

f(x)f(x)f(x)f(x)

f(x)ff(x)f(x)方程x1/4x

在 (A)无实根 (B)恰有一实根 (C)恰有二个实根 (D)有无穷多个实fx0

fx00,fx00x0fxx0fx)x0fx)x0fx0fx)设在[0,1]fx)0f(0),f(1),f(1f(0)或f(0f(1

f(1)

f(0)

f(1)f

f(1)

f(1)f(0)

f

f(1)f(0)

f(1)

f

f(1)

f(0)f(1)

f设f(x)在xa的某领域内连续,且f(a)为其极大值,则存在 ,x(aa时必(xa)[f(x)f(a)](xa)[f(x)f(a)]

limf(t)f(x)

(xt (t

limf(t)f(x)

(xt (t126．以下哪个条件可保证对开区间X上的任意两点ab必存在常数L>0，使f(a)f

成立 fxXf（x）X上连f（x）f（x）答（C

x2sin

x

f(x)

x

，g(x)

，(x)

f(x)g(x(0) 设f(x)在x0可导，g(x)在x0不可导，则fg与fg在x0处

f(u在u0不可导，g(xx0可导，(u0g(x0fg(xgf 答案xf(xx0

f(x) 0x0

f(x （D）当f(x)在x0不连续时，不成立.f在(a,b)f’在（a,b）连 (B)没有第一类间断 没有第二类间断 (D)A,B,C均不正（

limsin2

n2n

（ x,y> a>b>

(xaya)(xaya)

（B）(xaya)（D）A,B,C（ 134．设函数f在［a,b］上有定义 且对任

x2[a 均|f(x1)f

f

常 （D）A,B,C均不正（ 135．设函数f(x),(x),g(x)

f1hkf(xh1hk

则k 第七部穷级[填空题 数项级数(2n1)(2n1)的和 数项级数

1an0,p1(2,

，若级数an收敛，则p的取值范围是 分析因为在n时，(en1与是等价无穷小量，所以由lim(np(ennn

)n时，a p2

an

np1幂级数

(x1)2nx

[0,2]分析：根据收敛半径的定义，x 是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。由因为x0时，级数

n(x1)2nn

条件收敛，因此应填[0,2]3 3x幂级数2n

的收敛半径 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算。因33

nn3x3

x

收敛半径的定义，应

1

幂级数nln

2n

的收敛域 分析：根据收敛半径的计 ，幂级数 xn收敛半径为1，收敛域为[1,1)1xn

n2nln

[12幂级 收敛域 。因此原级数 收敛，2

）有根据阿贝尔定理，原级数在(,2[2,)也一定发散。故应填[1,1)已知f(x)

xn,x,xF(x)

f(xF(x

F(0)

an1xnx,n分析：f(x)

xn,x,，F(x)F(0)xf(t)dtx ，F(0)f(x)

an1xnx,nx

1(x1)n函 处的幂级数展开式

n1(n

分析：已知ex

1xn

(x(,))n0xexe[(x1)ex1ex1]e(x

1(x1)n

1(x1)n

n01

n0 ne1(n

(x1)

9

f(xx1,x[0,1]S(x)

f(x)的周期为1的三角级数的和函数，则

的值分别 ， 10．f(x)

0x121

x2nS(x)a0n

cosnx,x(,)其中

21f(x)cosnxdx(n0,1,2,)，则S( 30[解答题lnn 求级 n1

解：因nlnk3ln31

lnn

n 1k2 kk2

1

ln3,

kk1)1n1lnn n1

n

lnk 1

1

1

1ln2

n。2n已知级数n

u

5，求级数un

解：

u

5

10。又因

nn

2n故nun

1lnn1nn判断级数nn

的敛散性 解：

1lnn10nn nn lnn1 lim 1lnn1 nn所 nn

n

n时是等价无穷小。又因为级数

1lnn1nn根据比阶判敛法知级数nn

收敛 另解：因

lnn1ln111nnn nnn 1lnn1 nnn nnn

1lnn1已知

收敛，所以由比较判敛法知级数nn

收敛nn nnan

解：

un

nn

，则un0

an1(n1)!(n1)n1

nn

n所以根据比值判敛法，当ae时级数收敛，当ae当aelim

n

1，(因为数列(1

单调递增趋于en所以limu0aenn讨论级数nn

p0解：因

apapnna1时，级数nn

a

an时，由于an

，所以级数nnn

a

时，级数为1p级数的敛散性，当0p1p1n1n

n当a1时，级数为 n

，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当0p1p1yy(xyxyy(0)1 1解：因

yxy

y1yy(0)1y(0)1,y(0)21n 1ny()1n

在n时 等价，且级数2收敛，因此级nn 1yy本题也可先解定解问

得到y(x)2exx1后再用泰勒讨论yy

(1)n

(nx)n

1xnnn

n1解2n2n

，因

2

R1，21

(112 又因为当x

时，级数(1)n 条件收；当nn

x

，级数(1)n

1(1)nnnnn

n故级数(1)nn

的收敛域为(11a

1

(1)nnn,lim

lim(n

,得收敛半径为 nR0,所以幂级数(nxnx0a1记an

由

,R,1xn的收敛域为 ,n1求幂级数1x2n1的收敛域n1解：此时不能套用收敛半径的计算，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径31 x313k3

x2k

3k3x2所以， ,即|2

时，级数

x2n1绝对收敛；当

1,即| 时级数

1x2n1

n1 3n13根据收敛半径的定义知级数

1x2n1的收敛半径为R x

时,1

n1133)2n113

,x

时,一般项为131x2n1的收敛域为3

,3n11注：还可以将级数变形

1x2n，再令ux2，研究幂级数

1unxn1 n1和收敛域，最后得到1x2n1的收敛域n1102n(2x解：因为102n(2x3)2n1

102n2(2xlim

3232

un 202x

x

10.05x3232

102n(2x

的收敛区间为(1.45,1.5532x32

0.05时，原级数的一般项分别是un

和

10102n(2x

的收敛域为(1.45,1.55设a0a

a00

解a0a

d

ana0nd

1R1x1

(1)nnn

0(1)n

n

将函数

11

x0解：因为ln(1x

n

xn

1ln1

ln(1

n1(x5n

n

n

xxn1

(1x1f(x)

1x

x0解：因

f(x)

(1)nx2n

，f(0)01x

f(x) xf(t)dt2

(x f(x)x

0在x1点展成幂级数,并求f 0 解：fx视为x

,因此只需 展成

x1nn4n

,且11

1xx2xn

x，f(x)

x11(x

|x1|334 3

f(n)fx的幂级数an

的系数an

f(n1 求幂级数(1n1n(n1xn在收敛区间(11)S

, n1n(n

解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分 S(x)dxx(1)n1 n1 (1)n1nxn1

x2(1)n1xnx2 x

x 1xx求导

x1,2

S(x)

(1x)3

|x|1(1)n1n(n1)S1

2 27 求幂级数nxnS(x)令SS(x) 1S

的定义域为(1,1S(x

xt)( n1

1，

S(x)xS1(x)

x

求幂级数

n

令xnxnS1(x) nS

的定义域为[1,1S(x

xn

S1(x) n1n

xn1

1

SxSx

1dtln(1xx1,1)x x

01

S(xxS1x)xln(1x),x1,1S(xC[1,1S(1)

S(x)

limxln(1xln2求数项级数

考虑幂级数2n

，则其收敛域为[1,1S(x

S(xC[1,1S(1limS(x) 故2 2n n求级数n