注册电气工程师考试数学

●向量及其线型运算：交换律ab＝ba，结合律：(ab)c＝a（bc），b－a＝b（－a），|ab||a||b|，|a-b||a||b|，|λa||λ||a|，定理：设向量a0，那么，向量b和向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，是b＝λa。a＝=(－)i＋(－)j＋(－)k或a＝。＝|a|Cosa，＝|a|Cosb，＝|a|Cosc，|a|＝，Coa＋Cob＋Coc＝1。●数量积：设向量a与向量b的夹角为θ（1θ），向量a和向量b的数量积是一个数量记做a.b，其大小为|a||b|Cosθ即：ab＝|a||b|Cosθ＝＋＋。向量a在轴u上的投影（Prb）等于向量a的模乘以轴和向量a的夹角φ的余弦，即（Prb）＝|a|Cosφ。。数量积等于：ab＝|a|（Prb）＝|b|（Pra），交换：ab＝ba安排：(ab)c＝abac结合：(λa)b＝λ（ab），λ为实数。●向量积：ab即C=ab|c|＝|ab|＝|a||b|Sinθ＝|(－)i+(－)j+(－)|，c的方向垂直a与b所确定的平面。●a＝，b＝。ab＝＋＋。ab＝｛－，－，－｝。向量a和向量b平行的充分必要条件是ab＝0。ba＝－ab。●●●●平面●平面点法式方程：设平面过点（，，），它的法向量n＝｛A,B,C｝,则平面的方程为A(x－)＋B(y－)＋c(z－)＝0●平面的一般方程Ax+By+Cz+D＝0，n＝是该平面的法向量。●截距式方程：＋＋＝1，a、b、c依次称为平面在x、y、z轴上的截距。●两平面的夹角（锐角）：平面方程分别为Ax+By+Cz+D＝0，Ax+By+Cz+D＝0，则夹角Cosθ==,平面1垂直平面条件2：＋+=0。平面1平行平面2条件：＝＝。●空间1点（，，）到平面Ax+By+Cz+D＝0距离：d＝●●●●直线●空间直线的一般方程：空间直线是平面1：x＋y+z＋=0.和平面2x＋y+z＋=0的交线，则直线L的方程为：x＋y+z＋=0和2x＋y+z＋=0●直线的对称式方程：设直线L过点（，，）,它的一个方向向量为s＝，则直线L的方程：＝＝。●直线参数方程：＝＝＝t，则1：x＝＋mt2：y＝＋nt3：z＝＋pt。●两直线夹角（锐角）：L1方程：＝＝，L2方程：＝＝，则L1、L2的夹角Cosθ＝。L1垂直L2：＋+=0。L1平行L2：＝＝。●直线和平面夹角：直线方程＝＝，平面方程Ax+By+Cz+D＝0则直线和平面的夹角Sinθ＝，直线垂直平面＝＝，直线平行平面：Am＋Bn+Cp=0。●柱面：已知旋转曲面的母线C的方程为f(y，z)＝0，x＝0。旋转轴为z轴，只要将母线的方程f(y，z)＝0中的y换成，便得曲线C绕Z轴旋转所成的旋转曲面方程即：f(，z)＝0。椭圆柱面+＝1。双曲柱面：－＝1。抛物柱面：x＝ay。●二次曲面.球面：(x-x)+(y-y)+(z-z)＝R。圆锥面：+＝z。椭圆锥面：+＝z（ab）。椭球面：++＝1。椭球抛物面：+＝z，+＝－z。双曲抛物面：－＝z。单叶双曲面：+－＝1。双叶双曲面：－－＝1。●●●微分学函数左右极限：当函数f（x）当x－时的极限存在的充分必要条件时函数的左右极限均存在且相等，即f（）＝f（）●极限＝1，，e＝2.71828●无穷小比较：＝0则是比高阶无穷小（是比低阶无穷小），＝c则是比同阶无穷小，＝1则是比等阶无穷小●等阶无穷小性质：x－0，x～sinx～tanx，1－cosx～/2,ln（1＋x）～x，e－1～x，－1～x/n。●第一类间断点：X是f（x）的间断点，但f（）及f（）均存在。不是第一类间断点的就是其次类间断点。第一类间断电分为跳动间断点和可去间断点，当f（x），f（x）都存在但不相等，为跳动间断点。当f（）及f（）均存在且相等，为可去间断点。●●●●导数：可导必连续，连续不肯定可导。y－y＝－f（x－x），求导法则：①（uv）＝uv②(Cu)=Cu③(uv)＝uv+uv④(u/v)=(uv-uv)/v。●反函数的求导法则：原函数导数f（x）＝●复合函数的求导法则：y＝f（u），u＝（x）。则dy/dx＝.或者y（x）＝f（u）（x）。●隐函数y＝F（x）求导法则，dy/dx＝－F(x)/F(y)。●参数方程求导法则。参数方程为｛x＝（t），y＝（t）｝，dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝（t）/（t）。●常见n阶导数公式：＝，＝Sin（x+n），＝Cos（x+n），＝（－1）…(-n+1),=(-1)。高阶导数求导法则：（uv）＝uv。●微分f（x）＝dy/dx。●罗必塔法则：1：对于和：①条件当xa（或x）时，f(x)0且F(x)0。②条件f(x)及F(x)都存在，且F(x)0。③存在（或为无穷大），则＝。其他尚有0、－、0、1、的未定式，均可以通过变形化为和的形势。●函数性态判定.定理1：函数f(x)在点x可导，且在x处取得极值，那么f(x)＝0。函数的导数等于0的点为函数的驻点，函数的极值点是驻点,反之不成立。定理2：设函数f(x)在x处连续且可导，则①f(x)在x左侧时f(x)<0，f(x)在x右侧时f(x)>0,则函数在x处取最小值。②f(x)在x左侧时f(x)>0，f(x)在x右侧时f(x)<0,则函数在x处取最大值。③若f(x)在x点左右邻域内正负号不发生改变，则在x没有极值。定理3：设函数f(x)在x处f(x)＝0，f(x)0，那么①当f(x)<0，函数在x处取最大值，图形呈凸形。②当f(x)>0，函数在x处取最小值，图形呈凹形。●拐点：连续函数y＝f(x)凹弧和凸弧的分界点。假如f(x)＝0或f(x)不存在，而f(x)在x的左右两侧邻近异号，则点（x，f(x)）就是曲线的一个拐点。●偏导数，1：多元复合函数的求导法则，设u＝（x，y）、v＝（x、y）均具有偏导数，而z＝f（u，v），则复合函数z＝f（（x，y），（x、y））的偏导数存在，且＝+，＝+。2：隐函数求导法则：设方程F(x、y、z)＝0确定一个隐函数z＝f（x，y），函数F(x、y、z)具有连续偏导数且F0，则有＝－，＝－。●函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。●偏导数的应用.①:空间曲线的切线和法平面：空间曲线｛x＝（t），y＝（t），z＝(t)｝,在对应参数t＝t的点(x，y，z）处的切线方程＝＝，法平面方程++＝0。②:曲面的切平面与法线：曲面1方程F(x、y、z)＝0在其上一点M（x、y、z）处的切平面方程为F（x,y,z）+F（x,y,z）+F（x,y,z）＝0，法线方程为＝＝。③：方向导数与梯度：方向导数|＝f（x,y）Cos+f（x,y）Cos。Cos、Cos为方向l的方向余弦。函数f（x，y）在点P（x,y）的梯度向量gradf（x,y）=f（x,y）i+f（x,y）j。●偏导数求多元函数的极值。1：定理1必要条件：设z＝f（x，y）在点（x,y）具有偏导数，则它在点（x,y）取得极值的必要条件f（x,y）＝f（x,y）＝0。2：定理2充分条件：设z＝f（x，y）在点（x,y）某邻域内具有二阶连续偏导数，且f（x,y）＝f（x,y）＝0，f（x,y）＝A,f（x,y）＝B,f（x,y）＝C,则有①当AC-B>0时,具有极值,且当A<0时f（x,y）为极大值,当A<0时f（x,y）为微小值②当AC-B<0时,不是极值。●定积分：f(x)dx=F(x),定积分性质：①［f(x)+g（x）］dx②kf(x)dx＝kf(x)dx③f(x)dx＝f(x)dx+f(x)dx④dx＝b－a⑤若在区间［a，b］上f(x)g(x)，则f(x)dxg(x)dx⑥|f(x)dx|│f(x)│dx，（a<b）⑦设M,m分别是f(x)在区间［a，b］上的最大最小值，则m(b－a)f(x)dxM(b－a)⑧设在f(x)的闭区间［a，b］上连续，则存在［a，b］,使f(x)dx＝f()(b-a)。●f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)●换元积分法1：第一类换元法设函数f(u)有原函数，u＝（x）可导，则有f［（x）］（x）dx［f（u）du］。常用凑微分公式①f(ax+b)dx＝f(ax+b)d(ax+b)②f(x)xdx＝f(x)d(x),f()＝2f()d()③f(lnx)dx/x＝f(lnx)dlnx④f(e)dx＝f(e)de⑤f(Sinx)Cosxdx＝f(Sinx)dSinx⑥f(Cosx)Sinxdx＝－f(Cosx)dCosx⑦f(tanx)＝f(tanx)dtanx⑧f(Cotx)＝－f(Cotx)d(Cotx)⑨f(arcSinx)＝f(arcSinx)d(arcSinx)⑩f(arcSin)＝f(arcSin)d(arcSin)。●定积分几何应用★平面图形的面积：①直角坐标情形：设平面图形由曲线y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)g(x)和直线x＝a，x＝b所围成，则其面积A=dx。②极坐标情形：设平面图形由曲线＝()及射线＝，＝所围成，其面积A=d。★体积：①旋转体的体积，设旋转体由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成，则V=dx。②平行截面面积为已知的立体的体积，设立体由曲面及平面x＝a，x＝b所围成，过点x且垂直与x轴的截面面积为A(x)，其体积V＝dx。★平面曲线的弧长：①直角坐标情形：设曲线的方程为y＝f(x)(axb),f(x)在［a，b］上具有一阶连续导数，则弧长s＝dx，②参数方程情形：设曲线的参数方程为x＝(t)，y＝(t)，(t)，(t)、(t)在［，］上具有连续导数，则其弧长s＝dt。③极坐标情形，设曲线的极坐标方程＝()，()，()在［，］上具有连续导数，则其弧长s＝d。●定积分物理应用★变力沿直线所作功，设物体受变力F(x)的作用，沿x轴由点a运行倒点b，力F的方向同x轴方向的正向，则力所作功W=dx●二重积分计算(直角坐标)★积分区域D=｛(x，y)│(x)y(x)，x［a，b］｝，则＝＝★积分区域D=｛(x，y)│(y)x(y)，y［c，d］｝，则=●二重积分计算(极坐标)：D=｛(，)│()x()，［，］｝，则＝＝。●重积分的应用：曲面的面积：设曲面的方程为z＝f(x,y)，在xOy面上的投影区域D，f(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则曲面面积A=●平面曲线积分的计算法★对弧长的曲线积分的计算法，设f(x，y)在曲线弧L上连续，L的参数方程为｛x=,y=,(t)｝,其中,具有一阶连续导数，且+0，则＝，。★对坐标的曲线积分的计算方法：设P（x，y）在有向曲线弧L上连续，L的参数方程为｛x＝(t)，y＝(t)｝，+0，则＝。●格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x，y)及Q(x，y)在D具有一阶连续偏导，则＝，L为D的取正向的边界曲线。●●●●幂级数概念：。另t＝，则●阿贝尔定理：若级数当x＝x时收敛，则对符合<的一切x，级数肯定收敛；若级数当x＝x时发散，则对符合>的一切x，级数发散。●对幂函数，若＝或＝。则它的收敛半径R:①当0时，R=1/.②当=0时，R=+。③当+时，R＝0。●泰勒级数概念：若f(x)在点x处具有各阶导数，则幂级数称为f(x)在点x处的泰勒级数，当x＝0时，级数称为函数f(x)的麦克劳林级数。●常用函数绽开成幂级数★将绽开为x的幂级数：＝1－x+x+…+(－1)(x)+…（－1<x<1）★将绽开为x的幂级数：＝1+x+x+…+(x)+…（－1<x<1）★将ln(1+x)绽开为x的幂级数：x－+－(－1)★Sinx＝x－+－…+(－1)+★Cosx＝x－+－…+(－1)+…★e＝1+x++…++…★(1+x)＝1+x++…+★1/=1－x+－+…●傅里叶级数，收敛特性1：在一个周期内连续，或只有有限各第一类间断点。2：在一个周期内至多只有有限各极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，且当x是f(x)的连续点时，级数收敛域f(x)；当x是f(x)间断点时，级数收敛与［f(x)f(x)］。●●●●微分方程：凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。●可分别变量的方程：＝g(x)dy＝f(x)dx，设g(y)、f(x)的原函数依次是G(y)、F(x)，则＝的通解G(y)＝F(x)+C。●一阶线性方程：y+P(x)y＝Q(x)的通解y＝e。Q(x)＝0为线性齐次方程、Q(x)0为线性非齐次方程。●二阶常系数线性微分方程y+py+qy＝0特征方程：r+pr+q＝0。①特征方程有两个不等实根：rr，通解y＝Ce+Ce。②特征方程有两个相等实根：r＝r，y＝(C+xC)e③特征方程有一对共轭复根：y＝e(CCos+CSin)●●●●随机事务与概率：P＝n(n－1)(n－2)…(n－m+1)、C=P/P。●事务A的概率为0P(A)1，必定事务的概率P()=1，不行能事务的概率P()=0。●随机事务的运算①对立事务:A的对立事务。②和事务：A和B事务至少一个发生(A发生或B发生)，A+B或AB。③积事务：A发生并且B发生，AB或AB。④差事务：A发生并且B不发生，A－B或A-AB或A。●随机事务的关系：①包含：事务B包含事务A表示“A发生时B必定发生”，BA或AB。②相等：BA并且BA，A=B。③互不相容：AB=。④对立：＝B或=A。⑤完备事务组：和A构成。⑥相互独立：A和B是否发生相互不影响。P(AB)=P(A)P(B)。●摩根法则：=,=+●条件概率：在事务A发生的前提下事务B发生的概率。P(B│A)＝P(AB)/P(A)。当A与B相互独立时：P(B│A)＝P(B)、P(A│B)＝P(A)。●概率计算公式：①P()=1－P(A)②P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)③P(AB)=P(B)P(A│B)=P(A)P(B│A)，当AB相互独立时：P(AB)=P(A)P(B)。④P(A－B)＝P(A)－P(AB)，当AB时，P(A)P(B)，且P(A－B)＝P(A)－P(B)。●古典概率：P(A)＝m/n。●超几何概