湖南省长沙市西湖中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析

湖南省长沙市西湖中学2021年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等于()

A.

-3iB．－i

C．i

D．－i参考答案：A2.若随机变量，且，则的值是()A． B．

C． D．参考答案：C3.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（）A．1 B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线焦点坐标及准线方程，则焦点到准线的距离d=﹣（）=．【解答】解：抛物线的标准方程：x2=y，则抛物线x2=y的焦点F（0，），准线方程y=﹣，则焦点到准线的距离d=﹣（）=，抛物线x2=y的焦点到准线的距离，故选C．4.不等式的解集是

（

）

A．

B

C．

D．参考答案：D5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π B．8π C．π D．π参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，几何体的体积为=，故选D．6.设函数f(x)=xex，则（

）A．x=1为f(x)的极大值点

B．x=1为f(x)的极小值点C．x=－1为f(x)的极大值点

D．x=－1为f(x)的极小值点参考答案：D

，，恒成立，令，则，当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，则为的极小值点，故选D．7.定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设，，，则大小关系是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D8.设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2asinA，则A=（）A． B． C． D．不确定参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A．【解答】解：∵bcosC+ccosB=2asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=2sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=，∴由于A为锐角，可得A=．故选：A．9.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为

(

)

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

参考答案：A直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直.大前提错误.10.设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是(

)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆C:

(θ为参数)的圆心坐标为________,和圆C关于直线x-y=0对称的圆C′的普通方程是________.参考答案：

12.（圆）以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________________．参考答案：略13.若取地球的半径为米，球面上两点位于东经，北纬，位于东经，北纬，则、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．参考答案：14.有下列命题：①函数y＝cos（x+）是奇函数；②函数f(x)＝4sin的表达式可改写为f(x)=4cos；③若α、β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④函数y＝sin（2x+）的图象关于直线x=成轴对称图形.其中正确的是__________（把你认为正确的命题序号都填上）参考答案：15.命题“任意，都有”的否定是_____

________．参考答案：存在实数x，使得x<2,16.已知函数在处可导，且，则

参考答案：略17.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P在圆外的概率是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程； （2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质． 【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由椭圆，可得焦点，设双曲线的标准方程为：=1（a，b＞0），则a2+b2=4，=1，解出即可得出． （2）设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，解得p，把点M（﹣3，m）代入抛物线即可得出． 【解答】解：（1）椭圆的焦点为（2，0），（﹣2，0）， 设双曲线的标准方程为：=1（a，b＞0），则a2+b2=4，=1， 解得a2=3，b2=1， ∴所求双曲线的标准方程为． （2）设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0），则焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是点M到准线的距离为5，则，∴p=4， 因此，抛物线方程为y2=﹣8x， 又点M（﹣3，m）在抛物线上，于是m2=24，∴． 【点评】本题考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.设计算法求：＋＋＋…＋的值，要求画出程序框图．参考答案：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法；程序框图如下图所示．20.（12分）已知函数的图象过点，且点在函数的图象上。（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求证：。参考答案：解：（1）∵图象过，∴，，又点在的图象上，从而，∴。（2）

①

②①－②得：化简得∴21.（12分）在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；参考答案：（Ⅰ）证明：由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．22.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出茎叶图如图所示．

(1)从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪名运动员合适？(2)若将频率视为概率，对甲运动员在今后的3次比赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．参考答案：解：根据茎叶图，可得甲、乙两名运动员的6次预赛成绩如下：甲：