湖南省常德市南坪学校中学部2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

湖南省常德市南坪学校中学部2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则A∪B=（

）A.[0,+∞) B.[1,+∞) C. D.参考答案：B【分析】一元不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【详解】=，则故选：B【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则⊥

D．若，则参考答案：CC中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。3.若双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．1或13 D．15参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义真假求解即可．【解答】解：双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，a=3，b=4，c=5．点P在双曲线E左支上．则|PF2|=2a+|PF1|=6+7=13．故选：B．4.下列命题中的假命题是()A． B．C． D．参考答案：B5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C6.复数等于

A． B． C． D． 参考答案：A7.若非零向量，的夹角为锐角θ，且，则称被“同余”。已知被“同余”，则－在上的投影是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A8.设

（

）

A．-1

B．1

C．-2

D．2

参考答案：B略9.将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（

）

参考答案：D点在左侧面的投影为正方形，在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D.

10.若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（

）A．甲同学：均值为2，中位数为2

B．乙同学：均值为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2

D．丁同学：众数为2，方差大于1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC.若SA＝4，三棱锥S－ABC外接球的表面积为116，则的最大值为

参考答案：12.若函数，则

．参考答案：13.已知定义在R的奇函数满足，且时，，下面四种说法①；②函数在［-6，-2］上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号

.参考答案：①④由得，所以函数的周期是8.又函数为奇函数，所以由，所以函数关于对称。同时，即，函数也关于对称，所以③不正确。又，函数单调递增，所以当函数递增，又函数关于直线对称，所以函数在［-6，-2］上是减函数，所以②不正确。，所以，故①正确。若，则关于的方程在［-8，8］上有4个根，其中两个根关于对称，另外两个关于对称，所以关于对称的两根之和为，关于对称的两根之和为，所以所有根之后为，所以④正确。所以正确的序号为①④。14.已知等腰梯形中//，，双曲线以为焦点，且与线段(包括端点、)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是

．参考答案：双曲线过点时，，开口越大，离心率越大，故答案为．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=

．参考答案：

【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16.若圆C过点（0，﹣1），（0，5），且圆心到直线x﹣y﹣2=0的距离为2，则圆C的标准方程为．参考答案：x2+（y﹣2）2=9或（x﹣8）2+（y﹣2）2=73【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由题意，设圆心为（a，2）则=2，求出a，可得圆心与半径，即可得出圆C的标准方程．【解答】解：由题意，设圆心为（a，2）则=2，∴a=0或8，∴r=3或=，∴圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2=9或（x﹣8）2+（y﹣2）2=73，故答案为：x2+（y﹣2）2=9或（x﹣8）2+（y﹣2）2=73．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．17.在中，，则__________．参考答案：【知识点】解三角形C8【答案解析】解析：解：由题意可知代入可知【思路点拨】根据三角函数，结合三角形内角的关系可直接求出结果.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前项和，数列满足

．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的通项；（Ⅲ）若，求数列的前项和．参考答案：（Ⅱ）∵∴，，，………

略19.、已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．参考答案：20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F1，F2为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A为椭圆C上的左顶点，直线∫过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k1，k2满足k1+k2=﹣，求直线MN的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设P（x0，y0），I（x1，y1），则G（），由已知条件推导出a=2c，b==由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l为y=k（x﹣1），直线l和椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理能求出直线MN的方程．解答： 解：（Ⅰ）设P（x0，y0），I（x1，y1），则G（）．…又IG∥F1F2，，|F1F2|=2c，∴=?|F1F2|?|y0|=．…∴2c=，故a=2c．又直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，∴b==，…，∴a=2，c=1．∴．…（Ⅱ）若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意；…则直线l的斜率存在．设直线l为y=k（x﹣1），直线l和椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，依题意：△=9k2+9＞0，…由韦达定理知：，又kAM+kAN==k（）=k，===，从而kAM+kAN=k（2﹣3?）=﹣，…解得k=2，符合△＞0．故所求直线MN的方程为：y=2（x﹣1）．…点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知圆C：；（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．参考答案：解：（1）∵切线在x轴，y轴上的截距相等，∴第一种情况：切线的斜率是±1．

----------------------1分分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x＋y－3=0,x＋y＋1=0,

----------------------2分∴第二种情况：切线经过原点（0,0）．

----------------------3分设此时切线斜率为k，直线为kx-y=0，用点到直线的距离公式可求得，解得切线方程

----------------------5分综上，此圆截距相等的切线方程为x＋y－3=0,x＋y＋1=0,.

------------6分(2)将圆的方程化成标准式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圆心C（－1，2），半径r=，圆心C（－1，2）关于直线的对称点Q（5，－4），圆Q半径r=------------9分所以圆Q得方程为（x－5)2＋(y+4)2=2

-----------10分(3)∵切线PM与CM垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x1－4y1＋3=0．

----------------------12分|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即．----------13分从而解方程组，

----------------------15分得满足条件的点P坐标为（－，）．

22.(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车