河南省周口市正宏中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试题含解析

河南省周口市正宏中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用反证法证明命题：“若实数a，b满足，则a，b全为0”，其反设正确的是

（

）A.a，b至少有一个为0 B.a，b至少有一个不为0C.a，b全不为0 D.a，b全为0参考答案：B【分析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立即可.【详解】因为命题“若实数，满足，则，全为0”的否定为“若实数，满足，则，至少有一个不为0”；因此，用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设为“，至少有一个不为0”.故选B【点睛】本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型.2.曲线在点（0,1）处的切线方程为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.命题，则为（ ）A．

B．C．

D．参考答案：C4.（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则AB的长为（）A. B. C.2 D.8参考答案：B【分析】依题意由的面积为，解得，所以，，根据勾股定理即可求．【详解】依题意，因为的面积为，所以，解得，所以，，又因为，由勾股定理得：．故选：B．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x轴平行线段仍然与轴平行且相等；二是与y轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.6.对实数a与b，定义新运算“?”：a?b=．设函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞） B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．[﹣2，﹣1]参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣1）=，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．7.抛物线的焦点坐标是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A8.过点且垂直于直线的直线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.欧拉公式：为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，（

）A.1 B.－1 C.i D.－i参考答案：B【分析】由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案．【详解】由得故选B．【点睛】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题．10.三角形ABC周长等于20，面积等于，则为

（

）A．5

B．7

C．6

D．8

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的焦点坐标是____________参考答案：12.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（x，y）的概率是

.参考答案：

13.已知x，y满足约束条件，若y﹣x的最大值是a，则二项式（ax﹣）6的展开式中的常数项为

.（用数字作答）参考答案：﹣540【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合y﹣x的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项．【解答】解：已知得到可行域如图：设z=y﹣x变形为y=x+z，当此直线经过图中B（0，3）时，直线在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为3，所以a=3，二项式（3x﹣）6的通项为，所以r=3时，展开式中的常数项为=﹣540；故答案为：﹣540【点评】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出a，然后由二项展开式通项求常数项．14.已知函数f（x）=x2+3，则f（x）在（2，f（2））处的切线方程为

．参考答案：4x﹣y﹣1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导函数，得到f′（2），再求出f（2），代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x2+3，得f′（x）=2x，∴f′（2）=4，又f（2）=7，∴f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=4（x﹣2），即4x﹣y﹣1=0．故答案为：4x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．15.若函数，则

．参考答案：

16.已知圆x2+y2－2x+4y+1=0和直线2x+y+c=0，若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则c=

.参考答案：17.在中，已知，则＝

.参考答案：30°三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（﹣3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4）又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）?=0，所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0．所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0．解得m=﹣，即因为k＞，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．19.已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．专题： 综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （Ⅰ）由直线l的方程为x+2y﹣1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．解答： 解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y﹣1=0，所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点．…（1分）则线段CD的中点，，…（3分）即△OCD外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则，D（0，m），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，…（7分）所以△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）

…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）点评： 本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．20.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。参考答案：设抛物线的方程为，则消去得，则21.（14分）设椭圆：的离心率为，点（，0），（0，）原点到直线的距离为。(1)求椭圆的方程；(2)设点为（，0），点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．

参考答案：略22.由圆x2+y2=9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．参考答案：【考点】直