力学工力第十一章

第十一章动量矩定理一个对称的圆轮绕不动的质心转动问题，能否用动量定理来研究？为什么？质点系的动量定不能描述质点系相对于质心的运动状态。动量定理不能描述质点系相对于质心的运动的规律。动量矩定理是描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质心的运动状态的理论。11.1质点的动量矩定理1.质点的动量矩对点的动量矩质点的动量对某一点的矩，定义为质点对该点的动量矩。对轴的动量矩质点的动量对某一轴的矩，定义为质点对该轴的动量矩。对点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系质点M对于O点的动量矩xyZmvrmo(mv)OMAmO(mv)=rmv|mO(mv)|

=mv·rsin=2OMAxyzmvrmo(mv)OMAMAmz(mv)=±2OMA质点M对于z轴的动量矩对O点的动量矩与对z轴的动量矩的关系[mO(mv)]z=mz(mv)2.质点的动量矩定理质点对某定点的动量矩对时间的一次导数等于作用力对同一点的矩。

取质点动量矩定理在直角坐标轴上的投影形式，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得：

质点对某轴的动量矩对时间的一次导数，等于作用力对同一轴的矩。[例]求单摆的运动规律解：取通过O点垂直于质点动量矩在该轴的投影形式为图面的轴。质点动量矩在该轴的投影形式为OTPl代入后得当单摆作微小摆动时，sin≈，于是解得角振幅0和初始相位可由初始条件来确定。3.质点动量守恒定律如果作用于质点的力对于某定点O的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变，即mO(mv)=恒量如果作用于质点的力对于某定轴z的矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即mz(mv)=恒量11.2质点系的动量矩定理1.质点系的动量矩质点系对O点的动量矩:质点系对z轴的动量矩:质点系对O点的动量矩与对z轴的动量矩之间的关系:xyzOLxLyLzLO2.质点系的动量矩定理质点对于某点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对于O点的主矩）。质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生改变。质点系动量矩定理的投影形式：质点系对于某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。质点系动量矩守恒定律当外力对某定点的主矩（或对某定轴的力矩代数和）等于零时，质点系对该点（或该轴）的动量矩保持不变。绕定轴转动的刚体对于转轴的动量矩计算z11.3刚体绕定轴的转动微分方程称为刚体对于轴的转动惯量。由质点系动量矩定理可推导出刚体绕定轴z的转动微分方程：或与质点的运动微分方程比较：刚体绕定轴转动的两类动力学问题：（1）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的主动力；（2）已知作用于刚体的主动力，求刚体的转动规律。 刚体的转动微分方程可解决刚体绕定轴转动的两类动力学问题。[例]已知滑轮半径为R，转动惯量为I，带动滑轮的皮带拉力为T1和T2，求滑轮的角加速度。解：根据刚体绕定轴转动微分方程有ORT1T2于是得[例]飞轮重P，转动惯量为IO，以角速度O绕水平的O轴转动。制动时，闸块给轮以正压力Q。已知闸块与轮之间的摩擦系数为f，轮的半径为R，轴承的摩擦力忽略不计。求制动所需的时间t。解：以轮为研究对象。作用于轮上的力有正压力Q，摩擦力F，重力和轴承的约束反力。但除摩擦力之外，其它力对O轴的矩都为零。可列出刚体的转动方程为OFQ将上式积分，根据已知条件确定积分上下限，得解得11.4刚体对轴的转动惯量刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量。刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和，即刚体的转动惯量不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。刚体转动惯量的计算方法1.直接按公式计算转动惯量（1）均质细长杆对z轴的转动惯量xxldx（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量

将圆环沿圆周分成许多微段，设每段的质量为mi，每个微段到中心轴的距离都等于半径R，所以圆环对于中心轴的转动惯量为ORmi（3）均质薄圆板对于中心轴的转动惯量

将圆板分成无数个微小圆环，任一圆环的质量为Rridri式中为均质圆板的单位面积的质量。圆板对于中心轴的转动惯量为或2.已知惯性半径（或回转半径）计算转动惯量细长杆均质圆环均质圆板

可以看出，该比值只与几何形状有关，而与材料无关。令则转动惯量可表示为这就相当于把物体的全部质量集中于一质点，该质点倒转轴的距离为z

。因此称z为惯性半径（或回转半径）。惯性半径只与物体的几何形状有关。

考察前面已计算出的几种形状物体的转动惯量与其质量的比值：

已知惯性半径z，和质量M，就可以计算出转动惯量。

工程上常用的几何形状的惯性半径可在有关手册中查到。3.应用平行轴定理计算转动惯量

平行轴定理：设IzC为刚体对于通过质心的轴的转动惯量，则刚体对于与该轴平行的另一轴的转动惯量为式中l为两轴之间的距离。证明过程从略。CzCzl由平行轴定理可知，刚体对于那一个轴的转动惯量最小？[例]均质细直杆如图所示。求此杆对于垂直于杆轴且通过质心C的轴zC的转动惯量。ACzzCl解：前面已经求出对于通过端点A且与杆垂直的z轴的转动惯量为应用平行轴定理，得4.计算转动惯量的组合法

当物体由几个简单形状的物体组成时，计算整体的转动惯量可先分别计算每一部分的转动惯量，然后合起来。如果有空心部分，可将空心部分质量视为负值处理，也就是先当作实心来计算转动惯量，然后去掉空心部分的转动惯量。zz（1）什么是刚体的平面运动？

既不是平动，又不是转动。在运动中，刚体上任意一点与某一固定平面（参考面）的距离保持相等。

在以下曲柄滑块机构中，哪一个构件是作平面运动？11.5刚体的平面运动微分方程刚体平面运动学回顾Oxyv在沿直线轨道运行的车厢上，哪一个构件是作平面运动？（2）刚体平面运动的分解车轮的运动分解为哪两种运动？OxyvO'y'x'哪一个为牵连运动？哪一个为相对运动？刚体作平面运动时，其上任意一与参考面平行的截面的运动规律都完全相同，因此可研究其中一个截面的运动。每个截面都在自身所在的平面内运动。（3）刚体的平面运动简化为平面图形的运动因此，可将刚体的平面运动，简化为平面图形在其本身所在的平面内的运动来加以研究。（4）平面图形的运动方程xOO'My如果点O'固定不动，则平面图形的运动为刚体绕定轴转动；如果线段O'M的方位不变（即不变），则平面图形的运动为刚体的平动。（5）平面图形的基点平面图形的运动分解为随O'点的平动和绕O'点的转动，O'称为基点。O'O'O'O'（6）牵连运动和相对运动以基点为原点，建立一个动坐标系，动坐标系随同基点作平动。平面图形的绝对运动分解为随同基点的平动即牵连运动，和绕基点的转动即相对运动。xOO'Myy'x'（7）平面图形的角速度与角加速度xOyA'B'AB'平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关，因此可直接称为平面图形的角速度和角加速度。

求平面图形内各点速度的基点法将平面图形的运动分解为两个运动：牵连运动，为随同基点的平动；相对运动，为绕基点的转动。平面图形上任一点的运动也是牵连运动与相对运动的合成应用速度合成定理，可求任一点的速度。牵连运动为平动，点M的牵连速度等于基点的速度vO'。O'MvO'vO'vMO'相对运动为转动，点M的相对速度度就是平面图形绕转动时M点的速度vMO'，大小为vMO'=O'M点的绝对速度为vM=vO'+vMO'vM结论平面图形内任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动的速度的矢量和。平面图形内任意两点A和B的速度之间满足如下关系：vB=vA+vBAvAB为B相对A转动的速度，其大小为vBA=ABvB=vA+vBA涉及六个速度要素，已知其中四个要素，可求出其它两个要素。速度投影定理同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。ABvO'vO'vMO'vM

求平面图形内各点速度的瞬心法（1）速度瞬心

平面图形内瞬时速度等于零的点。问：平面运动时，在不同的瞬时，速度瞬心是否是同一点？（2）瞬心存在定理

一般情况下，在每一瞬时，平面图形内都唯一地存在一个速度为零的点。瞬心存在定理证明： 过点A作一条直线AN，垂直于A点的速度矢量vA。AvAvACNM当时，有AN上任一点M的速度的大小为速度瞬心在任意点的速度矢量的垂直线上！vMAvA（3）速度瞬心的位置的确定方法当平面图形沿一固定平面作无滑动的滚动（纯滚动）时，图形与固定面的接触点C就是速度瞬心。vC

当已知图形内任意两点的速度方向不相互平行时：ABCvBvA你好！我是速度瞬心！我的速度是零！

已知图形内任意两点的速度方向相互平行ABvBvA速度方向不与连线AB垂直情况：我藏到无穷远处，还是被你找到了！ABvBvA速度方向与连线AB垂直，两点的速度方向相同，大小不等情况：C你好！我是速度瞬心！ABvBvA速度方向与连线AB垂直，两点的速度方向相同，大小相等情况：我已经去远方，请你不要来找我！ABvBvA速度方向与连线AB垂直，两点的速度方向相反情况：C我是速度瞬心，你能找到我么？ABCvBvAABvBvAABvBvACABvBvAABvBvAC（4）已知速度瞬心求各点的速度平面图形的运动绕速度瞬心的瞬时转动，因此求各点的速度与刚体绕定轴转动情况完全相同。CMvMvM=CM用基点法求平面图形内各点的加速度如前所述,平面图形的运动可分解为两部分：（1）牵连运动，即随同基点的平动；（2）相对运动，即绕基点的转动。平面图形内任一点B的运动也有牵连运动和相对运动两个运动合成。由于牵连运动为平动，点B的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。在上述加速度矢量方程中，可以求出两个未知要素。AaAaABaBaBAanBAaBA如果取质心为基点，则刚体的平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动。质心的平动可由质心运动定理来描述。刚体绕质心的转动可由相对于质心的动量矩定理来描述。11.5刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程或刚体的平面运动微分方程投影形式或[例]半径为r重为P的均质圆轮沿水平