江苏省江阴市普通高中2023学年高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生和名女生用，层中

1.34，4,43B2,

各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则4和与两人组成一队参加比赛的概率为

()

1214

A・-B.-C.-D.一

9939

2.已知命题2：“m=1”是“直线无-〃少=0和直线x+/y=0互相垂直”的充要条件；命题4：对任意

aeH,/(x)=d+a都有零点；则下列命题为真命题的是()

A.B.pA(-K7)C.P^qD.PM

3,已知公差不为0的等差数列｛a,,｝的前〃项的和为S“，q=2,且％,%，%成等比数列，则58=()

A.56B.72C.88D.40

4.已知双曲线］=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,F,以OF(。为坐标原点)为直径的圆。交

ab2

双曲线于A8两点，若直线4E与圆C相切，则该双曲线的离心率为()

入夜+3指„272+76Q3&+2«,3V2+V6

A.-------------B.---------------C.-----------------D.--------------

2222

5.给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是()

A.()B.1C.2D.3

x>0

y>0

6.已知X,y满足不等式,且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22],贝!|f的取值范围（）

x+2y<t

2x+y<4

A.[2,4]B.[4,6]C.[5,8]D.[6,7]

7.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）

8.用电脑每次可以从区间（0,3）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个

实数，则这3个实数都小于1的概率为（）

411）

A.—B.-C.—D.一

273279

9.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

D.

10.设片，£分别是双线二—y2=］（a>0）的左、右焦点，。为坐标原点，以耳尺为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a

线分别交于A5两点（4,3位于y轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

x±y=OB.>/3x±y=0C.x±V3y=OD.3x±y=O

i7

11.已知正项等比数列｛4,｝的前〃项和为5“,52=§,53=药，则。/个-4,的最小值为（）

A.（±）2B.（±）3C.（1）4D.（金）5

27272727

12.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABC。，将平行四边形ABCQ沿对角线8D折起，使平

面平面BCD,则直线AC与所成角余弦值为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13."sina+cosa=0"是"cos2a=0”的条件.（填写“充分必要"、”充分不必要”、”必要不充分"、"既

不充分也不必要”之一）

14.某公园划船收费标准如表：

两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小时）

某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为元,

租船的总费用共有种可能.

15.在数列｛q｝中，q=l,%力0,曲线y=d在点（。”片）处的切线经过点（。,川,0）,下列四个结论：①的=|；

1465

②/=3；③£6=不7；④数列｛&｝是等比数列；其中所有正确结论的编号是_____•

3/=127

16.在平面直角坐标系xQ中，已知.4（0,a）,8（3,a+4）,若圆/+了=§上有且仅有四个不同的点c,使得AABC的面积

为5,则实数a的取值范围是—.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知｛an｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45,a2+a6=L

（I）求｛a。｝的通项公式；

bbb

(U)若数列｛bn｝满足：号+才+…+6=a”+l(〃eN*),求｛bj的前n项和.

18.(12分)如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AO=2,四边形EDCF为矩形,

CF=5平面£06,平面ABCD.

⑴求证：。尸||平面ABE；

⑵求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.

⑶在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为电，若存在，求出线段BP的长，若不

4

存在，请说明理由.

v--、/3cowci

19.（12分）在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为《一,（。为参数），以坐标原点为极点，以x轴正

y=sina

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C,的极坐标方程为夕sin（6+P）=2&.

4

（1）写出G的普通方程和G的直角坐标方程；

（2）设点P在G上，点。在上，求|尸。|的最小值以及此时。的直角坐标.

20.（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付

的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2*2列联表如下：

35岁以下（含35岁）35岁以上合计

使用移动支付4050

不使用移动支付40

合计100

（1）将上2x2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？

（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参

与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X,求X的分布列及期望.

P(K2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910,828

(参考公式：k2=-——厂"*~~—(其中〃=a+Z?+c+d)

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(〃+d)

x=l+cosZ,

21.(12分)在平面直角坐标系xQy中，曲线。的参数方程为।.(/为参数)，以坐标原点0为极点，/轴

y=1+sin/

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=a(0<a<|^,直线/交曲线C于A3两点，p为A8中

点.

(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的轨迹的极坐标方程；

(2)若|48||。P|=6,求a的值.

22.(10分)如图，四棱锥第中，底面A3co是菱形，对角线AC与50交于点O,V0_L平面ABC。，E是

棱VC的中点.

(1)求证：E4〃平面BOE；

(2)求证：平面3CJ_平面DDE.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为三强■，然后计算和用分在一组的数目为

最后简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：

分别从3名男生、3名女生中选2人：C©

rlCl

将选中2名女生平均分为两组：当

将选中2名男生平均分为两组：第

则选出的4人分成两队混合双打的总数为:

a5j_yy5j

3，A；~^=18

Ai和B,分在一组的数目为C\C\=4

42

所以所求的概率为二二八

189

故选：B

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成〃?组，则要除以A3即初!，审清题

意，细心计算，考验分析能力，属中档题.

2.A

【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.

【详解】

当机=1时，直线x—冲=0和直线x+my=0,即直线为x—y=0和直线x+y=0互相垂直，

所以“租=1”是直线x—冲=0和直线x+my=0互相垂直”的充分条件,

当直线x—阳=0和直线x+机y=0互相垂直时，相2=1,解得加=±[.

所以“m=1”是直线x-冲=0和直线x+和，=0互相垂直”的不必要条件.

P：=是直线％一冲=0和直线x+,殁=0互相垂直"的充分不必要条件，故。是假命题.

当。=1时，f(x)=3+i没有零点,

所以命题《是假命题.

所以(r7)人(「q)是真命题，l4)是假命题，是假命题，，Aq是假命题.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3.B

【解析】

6=口/。(％+2d)2=q(q+8d),将4=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.

【详解】

由已知，。；=的9，6=2,故(q+2")2=%(q+84),解得d=2或4=0(舍)，

故4=2+(〃-1)x2=2〃，S8=8©；"J=4(2+2X8)=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前"项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.

4.D

【解析】

连接C4,AF,可得出。=与，在AAC尸中，由余弦定理得4下，结合双曲线的定义，即得解.

【详解】

连接C4,AF,

所以但C吾，|FC|=|

在心△E4C中，|AE|=J5C,COSZACE=^9

故cosZACF=-cos/ACE=--

3

在△Ab中，由余弦定理

AF2=C42+CF2-2CACFCOSZACF

可得AF=Y&C.

3

根据双曲线的定义，得向—显c=2a，

3

=c_26_3A/2+V6

所以双曲线的离心率e="=「逅=372-76=—2—

-T

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

5.B

【解析】

用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对

④进行判断.

【详解】

①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.

③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么

这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.

故选：B

【点睛】

本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能

力，考查数形结合思想，化归与转化思想.

6.B

【解析】

作出可行域，对，进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.

【详解】

'x>0

画出不等式组1y>0所表示的可行域如图△A06

2x+y-4

当栏2时，可行域即为如图中的△此时目标函数z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合题意

x+2y=t8T2r-4

f>2时可知目标函数Z=9x+6y在<'，的交点(二「，一7一)处取得最大值，此时Z=f+16

2x+y=433

由题意可得，20<<+16<22解可得4<r<6

故选：B.

【点睛】

此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于

熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.

7.B

【解析】

由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图:

1112

直三棱柱的体积为-x2x2x2=4,消去的三棱锥的体积为-x-x2xlx2=-,

2323

210

•••几何体的体积V=4—；=一,故选B.

33

点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关

键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何

体的体积.

8.C

【解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为:，结合独立事件发生的概率计算即可.

【详解】

1/1A31

•••每次生成一个实数小于1的概率为-•.这3个实数都小于1的概率为士.

3⑶27

故选：C.

【点睛】

本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.

9.D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

10.B

【解析】

由于四边形。人鸟8为菱形，且=所以儿4。工为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形0A为菱形，闾=|。4|=|0却，所以^A。&为等边三角形，ZAOF2=60°,两渐近线的斜

率分别为百和-6.

故选：B

【点睛】

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

11.D

【解析】

177"_]

由§2=5,$3=力，可求出等比数列的通项公式%=与-，进而可知当1<〃<5时，4<1；当〃26时，/>1,

从而可知…4的最小值为，求解即可.

【详解】

设等比数列｛&“｝的公比为夕，则4>0,

[2_4

a、q=—

127f

-41ci,=—

由题意得，。3=$3-$2=不,得《4+%夕=弓，解得,27,

q=2

q>0ni

r\n-\

得%=行・

当1<〃<5时，。〃<1;当〃26时，。〃>1，

4

55

则“臼…的最小值为4a2a3a4a5=(«3)=(—)-

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

12.C

【解析】

利用建系，假设长度，表示向量恁与丽，利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面平面BCD,ABA.BD

平面ABDc平面3CD=BD,AB\平面AB£>

所以AB_L平面BCD,又DCu平面BCD

所以ABJ.OC,又O3LOC

所以作z轴〃AB，建立空间直角坐标系B-xyz

如图

设AB=1,所以BD=l,DC=l,BC=g

则A(O,1,1),B(O,1,O),C(1,O,O),0(0,0,0)

所以前=（1,—而（0,—1,0）

ACBD1_y/3

所以cos(AC,BD)二

|狗师「耳=1"

故选：C

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.充分不必要

【解析】

由余弦的二倍角公式可得cos2a=cos?a-sin2a=（cosa-sina）（cosa+sina）=0,即sina-cosa=0或

sincr+cosa=0,即可判断命题的关系.

【详解】

由cos2a=cos?a-sin2a=(cosa-sina)(cosa+sina)=0,所以sina-cosa=0或sina+cosc=0,所以

“sina+cosa=0"是"cos2a=0”的充分不必要条件.

故答案为:充分不必要

【点睛】

本题考查命题的充分条件与必要条件的判断，考查余弦的二倍角公式的应用.

14.36010

【解析】

列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.

【详解】

当租两人船时，租金为：3x9()=72()元,

2

当租四人船时，租金为：—x100=400元，

4

当租1条四人船6条两人船时,租金为：100+6x90=640元，

当租2条四人船4条两人船时,租金为：2x100+4x90=560%

当租3条四人船2条两人船时,租金为：3x100+2x90=480元

当租1条六人船5条2人船时,租金为：130+5x90=580元，

当租2条六人船2条2人船时,租金为：2x130+2x90=440元

当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：130+100+3x90=500元,

当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：130+2x100+90=420元,

当租2条六人船1条四人船时，租金为：2x130+100=360元，

综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.

故答案为：360,10.

【点睛】

本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.

15.(D@④

【解析】

先利用导数求得曲线y=在点(a“，d)处的切线方程，由此求得%+1与4的递推关系式，进而证得数列｛为｝是等比

数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.

【详解】

•••y'=3x2,.•.曲线y=%3在点（a”q：）处的切线方程为丁―q：=3q：（

则=3q；（%+「4）.

2

4产°，,J=针“，

2

则｛«„｝是首项为1,公比为§的等比数列，

4寸Nt65

从而出=g，%=

孕=L=药

3

故所有正确结论的编号是①③④.

故答案为：①③④

【点睛】

本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前〃项和公式,

属于基础题.

16.（-）

33

【解析】

求出A8的长度，直线方程，结合AA5C的面积为5,转化为圆心到直线的距离进行求解即可.

【详解】

a+4.441------------------------

解：的斜率A=-；——=-，\AB\=^（3.Of+（a+4-af

3-03

=+/=5,

设4ABC的高为/?,

则•••△A5C的面积为5,

11_

S=—\AB\h=_x5，Z=5,

22

即h=2,

4..

直线AB的方程为y-a=-x,即4x-3y+3a=0

若圆^+/=9上有且仅有四个不同的点C,

\3a\\3a\

则圆心O到直线4x-3y+3a=0的距离d=））,=一1，

#+（-3/3

则应该满足d<R-h=3-2=1,

即网<1,

5

得|3a|V5

加55

得一一«,

33

本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和48的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

,,+2

17.(I)an=2n-\-(II)2-4

【解析】

(I)设等差数列｛.｝的公差为4,则依题设4=2.

由4+4=14,可得%=2.

由咏=45,得(7-0(7+</)=45,可得4=2.

所以'=7-"=1.

可得,=为1-1.

(II)设曝=匕，则6…+Ca=%+1.

即q+q+…=2n,

可得c.=2,且q+cj+…+%+Cx=2(〃+D-

所以CN=2,可知Ca=2(〃eN*).

所以4=2川，

所以数列卜]是首项为4,公比为2的等比数列.

所以前"项和S=竺二22=2*2-4.

1-2

考点：等差数列通项公式、用数列前〃项和求数列通项公式.

18.(I)见解析(II)等I(III)|而|=2

【解析】

试题分析：

(I)取。为原点，D4所在直线为x轴，。后所在直线为二轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE的法向量

n=(73,0,1),且力？=(—1,2,6),据此有赤.“=0,则DF//平面ABE.

(n)由题意可得平面BEF的法向量rn=(2V3,73,4),结合(I)的结论可得|cos^|=商3=4厂，即平面ABE

与平面EEB所成锐二面角的余弦值为上叵.

31

(山)设价=%/=(—九24,G/l),AG[0,1],则丽=(—%—1,24—2,伍)，而平面ABE的法向量

万=(6,0,1),据此可得sin。=gs丽，万卜手，解方程有义=(或丸=：.据此计算可得|而|=2.

试题解析:

(I)取。为原点，D4所在直线为x轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(l,0,0),8(1,2,0),

E(0,0,^),F(-l,2,73),ABE=(-1-2,73),AB=(0,2,0),

一"一,二^二口不妨设旌便,。』)，又加=(-1,2,司,

设平面ABE的法向量”=(x,〉,z),,

•••丽•”=一百+G=0，；•赤_L万，又「。/仁平面ABE，,。/7//平面

(II)•.•南=卜1,-2,6),/=(-2,0,6),设平面8EE的法向量比=(x,y,z),

--x—2y+>/3z=0,m-n105而

不妨设玩=(2百,6,4),

—2x+—0,网,同2.而—31

••・平面ABE与平面EEB所成锐二面角的余弦值为三叵.

31

(IH)设D?=4DF=4(—1,2,8)=(-2,22,732),2G[0,1],AP(-2,22,^2),

ABP=(-2-l,2A-2,V3A),又1•平面ABE的法向量万=(百,0,1),

।__।|-\/32-\/3+6

，或九=’.

sin6=cosBP,万=/।,J==—,8^2—64+1=04='

2^(/1+1)'+(2/1-2)-+322424

当日时，加+|,T¥),.・.麻=2；当％]时，而+：|曰，.・.冏=2.

综上，|丽|=2.

2o1

19.(1)C,：—+/=1,C：x+y-4=0；(2)\Pd.=叵,此时P(士,一).

।3J-2।imin22

【解析】

2

试题分析：(1)G的普通方程为r二+9=1,C的直角坐标方程为x+y-4=0；(2)由题意，可设点p的直角坐

3

标为(Gcosa,sina)nP到C的距离"(a)=।岛。sa/na-4|=近(S皿。+2E)_2|

A/23

jr3]

=当且仅当a=2%r+」(ZeZ)时，d(a)取得最小值，最小值为0,此时P的直角坐标为(=q).

622

试题解析：(I)G的普通方程为二+y2=l,C的直角坐标方程为x+y—4=o.

3

⑵由题意，可设点P的直角坐标为(百cosa,sina),因为G是直线，所以IPQI的最小值即为P到G的距离或。)

的最小值，d（a）」＞cos”sinc-4|=向巴.

V23

当且仅当。=2也+£7T（左wZ）时，d（a）取得最小值，最小值为夜，此时P的直角坐标为号3片1）.

考点：坐标系与参数方程.

【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，

常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等.把曲线C的普通

方程尸（x,y）=O化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变

化范围.

20.（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望

为二.

【解析】

（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率

不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.

（2）首先确定X的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.

【详解】

（1）根据题意及2x2列联表可得完整的2x2列联表如下：

35岁以下（含35岁）35岁以上合计

使用移动支付401050

不使用移动支付104050

合计5050100

根据公式可得入幽3也＜=36＞6.635，

50x50x50x50

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.

（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人,

所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X,

则X的可能为1,2,3,且

“X=］）=C；。；=8=56=31=。=56

（一）一Gi_120'（一）一G；