发散思维在数学中的应用 论文

2022年安徽中小学论文评选发散思维在数学中的应用摘要：发散思维与收敛思维相对，它是一种求异思维。关键词：发散思维；数学概念；数学定理；数学例题引言：思维在人类学习中占了举足轻重的地位，孔子曾经说过：“学而不思则罔，思而不学则殆”。也就是说，不能只学习不思考，也不能只思考不学习。思维可以更好地理解知识、巩固知识、运用知识，发散思维是按思维的指向分类的一种。随着时代的发展，创新思维越来越重要，而发散思维又是创新思维重要的部分，因此研究发散思维在数学中的应用是紧跟时代，紧随潮流的。一、发散思维1.发散思维的概念发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思维等。发散思维与收敛思维相对，它是一个对已知的信息、已知的条件、已知的事实进行一个多方面、多角度的思考、理解，产生出多种结果。这种思维是并不局限于确定的答案或者是固定的理解，它是向外发散的。通过这种思维我们可能会发现新的问题，探索出一些如果按照常规思维得不出的结果【1】。 2.发散思维的特点

(1)流畅性

发散思维的流畅性主要是说一个人面对问题的时候在规定的时间内能够想到答案数量的多少，或者是想出问题答案的快慢，它反映的是思维的敏捷度和反应的快慢。也就是对同一个问题答案想的越多，反应越快的话，流畅性就越高。比如说很多人都会举一反三，聪明的人做题就只会做一类题，这就是发散思维的流畅性所在。其实，发散思维的流畅性在数学问题上也有体现。例如，前几天就看到这样一个小学数学题目：一个正方形的面积是10㎡，那么边长是这个正方形4倍的正方形的面积是多少？一般的学生可能就开始求小正方形的边长，可是在背遍乘法口诀都不知道到底是哪两个相同的数相乘得10。这在小学水平中是求不到的，但是思维敏捷的同学们利用观察分析找到了方法。12022年安徽中小学论文评选假设小正方形的边长是am，那么大正方形的边长就是4am，由题意可知：a210则可得（4a）216a2160，因此就可以求出大正方形的面积是160m2。这道题只要仅仅抓住a210就可以了，体现了发散思维流畅性在数学中应用的优越性。 (2)变通性

发散思维的变通性主要是说一个人面对问题的时候回答问题的灵活性，它反映的是思维的灵活性和随机应变的能力。比如说一加一等于几这个问题，大部分人一听到这个数学问题马上就会说二。的确，二是正确的，但是我们再开动脑经想一想，一加一并不一定等于二的。一只鞋加一只鞋等于一双鞋，在这里，一加一还是等于一的。再比如，篮球运动员在投篮后加罚一次就是一加一等于三，这就是发散思维所谓的变通性。发散思维的变通性其实就是思维的灵活性，培养思维的灵活性还是有必要的。例如在解题“管老师跟同学们一样大时，同学们才3岁，同学们要长到管老师那么大时，那么管老师已经45岁了，所以管老师和同学们现在多大？”大多数的同学们是这样做的【2】：设同学们的现在的年龄是x岁。管老师现在的年龄是y岁。那么师生的年龄差就是yx岁，由题意可得：x(yx)3y(yx)45解得x17，y31。则管老师和同学们现在的年龄分别是31岁和17岁。上面的解法是传统的、规范的，有些人做得快也只是因为计算的比较快，那么能不能找到一种解法可以使得这道题的解法更简洁，答案是肯定的。有的同学们通过画图分析问题，找到了更加简洁的方法。3岁？？45岁 同学们年龄管老师年龄通过图可以看出管老师和同学们的年龄差是145-3）=143岁。所以。管老师现在22022年安徽中小学论文评选的年龄是45-1431岁，同学们现在的年龄是31417岁。 通过这道题的演示，值得注意的是要鼓励引导学生用发散的思维思考数学问题，跳出课本的框框，在解答问题时另辟蹊径。 (3)独特性

发散思维的独特性主要说一个人面对问题的时候会有自己独特的见解，它反映的一个人的创新能力和对问题见解的独特性、新颖性。对待同一个问题，提出的想法越奇特、新奇，那么他的独特性就是越高的。比如说，面对同一个数学题目，大多数人都会按照传统的方法，照着一个套路去思考问题，而有些人就会思考着有没有适合这道题目的更简洁的方法，具体问题具体分析。往往有些时候，传统思考问题的方法可能并不适合有些问题，这时候就能体现出发散思维独特性的优势所在了。发散思维的独创性就是要求人类可以突破一些陈旧的套路，可以有自己独特的理解方法。例如，我们来看看这样一道数学课堂练习：有一个水池，水池里面有一号、二号、三号、四号四根水管，一号、二号、三号三个水管同时打开的话，10分钟就可以注满水池，二号、三号、四号三个水管同时打开的话，12分钟就可以注满水池，一号、四号两个水管同时打开的话，15分钟就可以注满水池。那么如果四个水管同时打开的话，多长时间可以注满水池？大概所有的同学们都会习惯地设出未知数，然后列出方程来解题。然而具有独创性的同学就会换种解题思路，他的思路是这样的：两个一号管，两个二号管，两个三号管，两个四号管，一起打开1分钟，就可以注满水池的1+1+1=1,则一号管、二号管、三号管、1012154四号管一起打开1分钟的话，就可以注满水池1，所以，注满水池就一共需要88分钟的时间。这样的解法跳出了常规的设未知数x列方程求解的套路。根据题目的意思，找出隐含的条件，此方法的过程就很简洁明了，能够被看作发散思维独创性的结果。 3、发散思维的形式

(1)逆向思维

逆向思维与正向思维相对，也就是说逆向思维是指在面对数学问题时，不是按照正常的思维方向从正面进行推理，而是采用逆推的方式。在学习数学的过程32022年安徽中小学论文评选中，大多数人都是擅长用正向思维，很少用逆向思维来思考问题，有时候甚至会忽略掉，其实，应该加强面对问题用逆向思维思考问题的能力，有时候会更方便我们解题【4】。就好比在做数学选择题时，有的题目我们不必一步一步计算出来的，我们可以直接将答案带入题目直接计算，这样更加节约时间，也不失为做选择题的一个技巧。例如关于x的方程x2-5x+=3的解是（）x-3 （A）-4（B）-2（C）2（D）4

这道题直接去解方程是可以求出来的，但是我们可以采用逆推的方法求解，将答案分别代进去算，这样更加节约时间。运用代入法，可以很快就能选出的（D）是正确答案。由此可以看出，逆向思维可以帮助我们更好地，更快地解决数学问题。(2)侧向思维

侧向思维是从别的问题上联想，然后得到启示，最终解决问题的一种思维的方法。更浅显的讲，就是避开问题的主要方面，从问题的次要方面，或者说是最不起眼的方面去思考问题，往往可能会得到意想不到的结果，让人大吃一惊。下面通过一道具体的数学题目来看看侧向思维在数学中的应用【3】。已知：A1A2A3kkZ.（1）求证：tanA1tanA2tanA3tanA1tanA2tanA3.（2）

分析一下题目，要证明（2）式成立，直接分别求出每个角是不可能的，因为只有一个已知条件（1）式，根据这一个式子并不能求出每个角的具体度数。不妨从侧面来思考问题，将被证的那个等式变一下，变成:tanA1tanA2tanA3tanA2tanA3那么就等于要证明：tanA=-tanA2+tanA311tanA2×tanA342022年安徽中小学论文评选再用侧向思维联想，可以得到：tan(A2+A3)tanA2+tanA3=-tanA2×tanA3联系题目给出的条件（1）式得：-tanA2+tanA3=-tan(A+A)=-tan(kp-A)=tanA1-tanA2×tanA32311所以等式就可以得到证明。由此可以了解到侧向思维也是很重要的，它在解决问题的过程中会帮我们更加简化问题的难度。二.发散思维在数学中的应用发散思维在数学中的应用还是很普遍的，正如在本文的前半部分阐述发散思维的特点及其重要形式的时候，就列举了发散思维在数学中的应用的有些实例。数学学习的本身就是要求学生们有一定的思维基础，学生在学习数学的时候，特别在研究方法的时候，基本上是随着我们的思维来的，所以探究发散思维在数学中的应用是很有必要的。通过研究发散思维在数学中的应用，可以找到一些方法帮助学生们更好地学习数学，更好地掌握数学基本解题方法。 1.发散思维在数学概念中的应用

发散思维在数学概念中的应用大多表现为联想、思维的迁移，在学习数学概念的过程中，发生思维的迁移的现象是很常见的。比如说，在学习了全等三角形的相关知识后，就会迁移到相似三角形的学习，大多数人都会将这两个进行类比。的确，这两个知识有很多的相像之处，在学习过程中，可以利用发散思维将其联系在一起，这将更有利于学习知识。所以应该利用发散思维在数学概念中的应用，然后归纳总结，类比推理，建立数学概念中的联系，解决数学问题。也就是说在学习数学概念时，最好将相类似的概念联系在一起学习，这样就更有利于学习数学概念，例如，在学习分式的概念时，可以类比于分数的学习，两者之间是相类似的，只不过一个是数，一个是式子。另外，在学习多项式的乘除时，将其与自然数的乘除相结合来考虑，两者也是有类似地方的，不同的地方还是一个是数，一个是式子。这样的学习很容易就从一个对象迁移到另一个对象上去了，学习起来更方便快捷。52022年安徽中小学论文评选 2.发散思维在数学定理中的应用

发散思维在数学定理中的应用跟发散思维在数学概念中的应用相类似，只不过将数学概念换成了数学定理，原理还是相类似的，用到的也是知识的迁移。也就是说在学习有些数学定理的时候可以联系一下相类的数学定理的学习，这样会使记忆更深刻，记得更加牢固。在这里就不一一列举相对应的定理了，因为实在是太多了，就算写完这篇文章都列举不完，毕竟数学中的知识大多都是可以相互联想，互相迁移的。在数学定理中应用发散思维，应该注意到数学定理具有很多共性，相同的地方越多就越容易应用发散思维，所以，在学习数学定理的这个过程中，应该认真地分析定理，仔细回忆学过的知识中是不是拥有很多类似的地方的。要善于分析并总结以前学过的数学定理，这样的总结是有利于在数学定理中应用发散思维的，总结的越认真仔细，就越容易在数学定理中应用发散思维。要深入的理解之前学习过的数学定理知识，找到该数学定理的本质，才能保证更好地对数学定理运用发散思维。 3.发散思维在数学例题中的应用

发散思维在部分数学例题中的应用在本文的前半部分有所展示，不妨再看些其他的有发散思维在其中应用的数学例题。例求一个一元二次方程x2x300的解。看到这道题，映入脑海的解法就是利用公式：x=-b±b2-4ac2a（6）

来求解，这就是一个套路，接下来就是看大家的运算能力了。由公式（6）得：x5，x6上面的解法是大家都会的，很大众化的，大多数人都可以想到的。可是，再拓宽一下思维，可以想到学习过的数学知识——因式分解法。可以将原方程分解一下得到：x5x6062022年安徽中小学论文评选解得x5，x6其实在解题的过程中运用了发散思维让解方程和因式分解这两个数学知识之间发生了迁移，也就是发散思维在数学概念中的应用，然后得到了发散思维在数学例题中的应用。使得解题更加方便，减少了繁琐的计算过程。 说完一元二次方程的解法，再来看看二元一次方程的解法。有这样一道题目：求解方程组：1012x12y68（7）（8）x10y64看到这个题目，有的同学选择的加减法，是先将（7）、（8）式相减，会得到：xy2（9）然后将（9）式代入（7）式可以得到：x2，y4还有的同学就会想到消去法，用（7）式的12倍减去（8）式的10倍，则可以得到y4，相继也可以得到x2。其实这两种方法都是正确的，可以选用任何一种算法，只是思维的方式不一样，思考的角度不同，但是得到的结果是一样的。这就是发散思维在数学例题中的应用，它是无处不在的，它也给我们提供了一个较好的思路，我们应该习惯且擅长于在数学例题上应用发散思维。三.发散思维在数学中应用的意义发散思维在当今这个时代是不可或缺的，它是一种紧随世界潮流的一种思维方法，它与创新紧密相连，创新又是当今时代缺少的，因此，发散思维的重要性是极高的，应该充分的重视它【5】。从小学到大学我们一直都有学习数学这门学科，一开始的数、算法，到现在的概念、定理，深刻的明白在数学学习中思维很重要。无论是在做应用题、解答题还是证明题，在做题之前，我们都应该有一个清晰地思路。然而决定思路的重要因素又是思维，所以，要提高思维能力，要想利用发散思维思考问题。首先，72022年安徽中小学论文评选需要丰富的数学知识，如果数学相关知识匮乏的话，就算可以运用发散思维思考问题也是没有用的。其次，要乐于批判性地学习，要敢于思考，针对问题，提出自己的想法，不要随波逐流，要有主见，机械的学习会阻碍创新性思维的。最后，不要受传统观念的束缚，要敢于提出疑问，要相信没有什么是绝对正确的，真理往往会被有心人发现的，不要总是习惯性的思维去思考问题，只沿着同一个思考方向思考问题，需要的是多角度思考问题。 总之，发散思维在数学中的应用很重要，它能帮助我们更好、更轻易地理