吉林省2020年高二数学上学期期中考试卷（四）

吉林省2020年高二数学上学期期中考试卷（四）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1.已知adR,贝是"a2>2a”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若a,bGR,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（）

A.a2+b2>2abB.a+b>2幅C一七送D.々琮>2

2

3.设OVaVl,m=loga（a+l）,n=loga（a+1）,p=loga（2a）,则m,n,p的大小关系

是（）

A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n

4.已知等差数列｛a"与等比数列｛、｝,满足a3=b3,2b3-b2b4=0,则｛a"前5项的和S5

为（）

A.5B.20C.10D.40

n+1*

5.己知数列｛an｝的通项公式为an=log2而立（nGN）,设｛aQ的前n项和为S.则使

Sn<-4成立的自然数n（）

A.有最大值15B.有最小值15C.有最大值31D.有最小值31

6.各项均为正数的等比数列｛a"的前n项和为Sn,若Sn=3,S3n=39,则S4n等于（）

A.80B.90C.120D.130

'x+《8

2v-4

7.若变量x,y满足约束条件；f且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a

x>0

-b的值是（）

A.48B.30C.24D.16

8.在AABC中，已知a2-b2-c2=/，bc,则角B+C等于（）

A.—B.=C.牝D.工或把

44444

9.若｛a。｝是等差数列,首项a[>0,22016+22017>°，a20i6・a2017V°，则使前n项和Sn

>0成立的最大自然数n是()

A.4031B.4033C.4034D.4032

10.已知a,b,m,n,x,y都是正实数，且aVb,又知a,m,b,x成等差数列，a,

n,b,y成等比数列，则有()

A.m>n,x>yB.m>n,x<yC.m<n,x>yD.m<n,x<y

11.已知二次函数f(x)=cx2-4x+a+l的值域是[1,+8),则工J的最小值是()

ac

A.1B.2C.3D.4

12.若a>l,设函数f(x)=a*+x-4的零点为m,函数g(x)=logaX+x-4的零点为n,

则上」的最小值为()

mn

A.1B.2C.4D.8

二、填空题(包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上)

13.不等式-乂2+冈+2<0的解集是.

14.已知正数组成等差数列｛a"的前20项和为100,那么a7・ai4的最大值

为.

15.若等差数列但口｝各项均为正，月.a3a5+a3a8+a5aio+a8ai()=64,则S12=.

16.已知数列｛a"是各项均不为()的等差数列，Sn为其前n项和，且满足2/二列”1(n

£N+).若不等式工-<"8・(-1)1rH对任意的neN+恒成立,则实数人的最大值

an+ln

为.

三、解答题(包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题20

分，共76分，请写必要的解答过程)

17.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长，a=^,l+2cos

(B+C)=0,求：

(1)角A的大小；

(2)边BC上的高.

18.已知函数f(x)=|x+3|,g(x)=m-2|x-11|,若2f(x)2g(x+4)恒成立，实数

m的最大值为t.

(1)求实数m.

(2)已知实数x、y、z满足2x?+3y2+6z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是古，求a的

值.

19.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-J圣inA)

cosB=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=l,求b的取值范围.

20.已知等差数列伯口｝中,公差d>0,其前n项和为Sn，且满足：a2*a3=45,ai+a4=14.

(1)求数列｛a。｝的通项公式；

2Sb

(2)令b=T—v，f(n)=7J—(nGN*)，求f(n)的最大值・

n2n-1(n+25)-bn+1

21.数列｛a"的前n项和为Sn，若a1=3,Sn和Sn+］满足等式5"1若勾""1，

(I)求S2的值；

(ID求证：数列g｝是等差数列；

(III)若数列｛、｝满足bn=an・2%，求数列｛、｝的前n项和Tn；

(W)设Cn春，求证：C1+C2+-+Cn>f.

［附加题］(共1小题，满分20分)

11

22.已知数列｛aj和｛%｝满足：a)=A,an+i=-1an+n-4,bn=(-1)(an-3n+21),其中

人为实数，n为正整数.

(I)证明：当入x-18时，数列｛、｝是等比数歹(I；

(II)设Sn为数列｛、｝的前n项和，是否存在实数入，使得对任意正整数n,都有Sn

>-12?若存在，求人的取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.A2.D3.D4.C5.D.6.C.7.C.8.A.9.D.10.B.

11.C.12.A.

二、填空题

13.解：x20时：-X2+X+2<0,解得：x>2或x<-l(舍)；

xVO时：-x2-x+2<0,解得：x>l(舍)或x<-2；

故答案为：｛x|xV-2或x>2｝.

14.解：•.•正数组成等差数列归身的前20项和为100,

.X100

•,ai+a2o^o-=10

:.a7+a]4=10

,2

(5=25

故答案为：25

15.解：a3a5+a3a8+a5a]()+a8aio=(a3a5+a3a8)+(a5a10+a8a10)

=a3(a5+a8)+aio(a5+a8)=(a5+a8)(a3+a10)=64，

同｝为等差数列，故a3+aio=a5+a8，

故(a5+a8)2=64，又'.飞门〉。，

故a5+ag=8,

AS]2=(a]+ai2)+(a2+an)+...+(35+37)=6(as+ag)=48.

故答案为：48.

16.解：・・,数列｛a"是各项均不为0的等差数列，

2

.*.an=S2n-1=(2n-1)an,

an=2n-1,

..X/n+8・(-1)n+l

,----'---------------，

an+ln

a(_[)n+1

/.A<(1+13_U___)(2n+l)恒成立,

a(_1)n+1

易知n取2,4,6时，(1+丝_U___)(2n+l)<0,

n

Of_1>n+1

当n=2时，(_L-：——)(2n+l)=-15,

n

Of_1\n+1

当n=4时，(1+2J：__£2____)(2n+l)=-9,

n

当n=6时，(1+8(-I)"1)(2什1)=-4

n3

故入4-15,

故答案为：-15.

三、解答题

17.解：(1)由l+2cos(B+C)=0,和A+B+C=rt

所以COSA/,sinA=^^,

223

(2)由正弦定理得：

.口bsinAV2

sinB=-----——

a2

由bVa知BVA,所以B不是最大角，B<-y.从而cosB1]-sin2

由上述结果知B=4,CT，

412

JTJT

sinC=sin(A+B)=sin(—+—),

46

设边BC上的高为h则有

h=bsinC=V^sin勺塔)=如噂X空等X*)=^i

18.解：(1)由题意可得g(x+4)=m-2|x+4-ll|=m-2|x-7|,若2f(x)>g(x+4)

恒成立，

.,.2|x+3|>m-2|x-7|,即m<2(|x+3|+|x-7|).

而由绝对值三角不等式可得2(|x+3|+|x-7|)>2|(x+3)-(x-7)|=20,

m<20,故m的最大值t=20.

(2)•••实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0),由柯西不等式可得

22

[（«x）2+（75y）2+（7gz）2]”（志）+（志）

+（木）及（限*71吨川^^）.

Aaxl>（x+y+z）2,/.x+y+z<*7^.

再根据x+y+z的最大值是"^=1,.・・F=1,・・.a=l.

19.解:（1）由已知得：-cos（A+B）+cosAcosB-J5sinAcosBR,

即sinAsinB-J^inAcosBu。，

VsinA^O,AsinB-<\/3cosB=0,即tanB=^/3>

又B为三角形的内角，

JT

贝IJB=—；

o

（2）*.*a+c=1,即c=l-a,cosB=],

由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac»cosB,即b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=l-3a（1-a）

=3（a-i2+4，

24

V0<a<l,.\^<b2<l,

4

贝仔bVL

20.解：（I）•.•数列aj是等差数列，

/.a2•@3=45,ai+34=32+33=14,

a2二9

a3=5

•••公差d>0,

%2=3

•Y,解得d=4,apl.

"9

.".an=l+4（n-1）=4n-3.

x„n（n-1）d„

zn2-

（II）•Sn=na,H-----5----=2nn，

b________2n_________n_]

*■，f(n)="而后产・b+「"+25)2(n+1)=八+26m5-2+26

n+1n

41—____

26+2序?6+10-36.

当且仅当门=■生，即n=5时，f(n)取得最大值高.

n36

21.解：(I),・・59]号&+"1，

当n=l时，S2=2S]+2=2a]+2=8

故S2=8

证明：(ID「Sn+i呼S/n+1

.•.三吐1=三｝+1,即品±1-+B=1

n+1nn+1n

§

又由T=ai=3,

S

故酒｝是以3为首项，以1为公差的等差数列

n

S

(III)由(II)可知，"=n+2

n

2

,Sn=n+2n(n€N*)

・••当n=I时，aj=3

当n>2时,an=Sn-Sn_i=2n+l

经检验，当n=l时也成立

/.an=2n+l(n£N*)

a

bi"a

2n+1

二.bn=(2n+l)-2.

Tn=bj+b2+-+bn_i+bn

35

/.Tn=3»2+5«2+-+(2n-1)•那一。(2n+l)•^n+l

,5,,2nl2n+12n+3

•*-4Tn=32+,+(2n~3)•2+(2n-1)•2+(2n+l)•2

解得：T『("j制).22n+3

⑺)F;募咚W•中n

2n(n+1)

Ci+C2+-+Cn-3,2~

4

22.解：(I)证明：假设存在一个实数，使｛a"是等比数列，则有a22=aia2,即

(iX-3)2=X(-1X-4)入2-4入+汨入2-4入=9=0,矛盾.

所以｛an｝不是等比数列.

(II)证明：

(-1)n+1n+1

W[aa+r3(n+l｝+21]=(-1)(|a-2n+14)

T(・D,(--Sn+21)=-^bn.

0o

人工-18,.\bi=-(入+18)H0.

由上式知帐声0,...为里=-[(n€Nn)，

bn3

故当入H-18,时，数列｛1｝是以-(入+18)为首项，为公比的等比数列.

(IID当入X-18时，由(II)得b；-(入+18)•(