(浙江专用)2020高考数学立体几何第3讲空间向量与立体几何专题强化训练

→→→→5·5||→→→→→5·5||→第3空向与体何专题强化训练1在正方体ABCDAB中,分为和的点则直线AE与F所角的余弦值为()1A.33C.5

2B.53D.7解析：选B.以D为原,别以DA、DD所直线为轴y轴z轴建空间直角坐标系(图略)．若棱长为2,则(2,0,0)(0,1,0)(0,0,2)F(0,2,1)．所以＝(2,－1,0),DF＝(0,2,－1),→→·－2cos〈,〉＝＝＝→→5||2则直线AE与F所角的余弦值为.52正体ABCDABD中,点E为中点则面与平面所的锐二面角的余弦值为)1A.2

2B.3C.

33

D.

22解析选B.以A为点建立如图所示的空间直角坐标系A,设棱长1为1,则A(0,0,1),2D(0,1,0),所以＝(0,1,－1),→1A＝－2

,设平面A的个法向量为n＝(1,y,),

y，2→→→·PQ→→→y，2→→→·PQ→→→|·|PQ|→→2＝0，则1所1－z，所以n＝(1,2,2)．因为平面的一个法向量为＝(0,0,1),22所以〈,n〉＝3×132即所成的锐二面角的余弦值为.33．(2019·浙江省十校联合体期联在三棱锥O中已知OA,,两两垂直且相11等点分别是线段BC和上动点,且满足≤BC,AQ≥则PQ和所角的余弦22的取值范围()2A.，132C.，5

3B.，122D.，5解析选B.根据题意以O为点建如图所示的空间直角坐标不妨设＝OBOC＝2,OB＝(2,0,0),设11P(,,0),(0,0,),为BP,AQ≥AO,所以≤≤2,0≤≤122且＋＝2,0≤1,PQ＝(－,－2,OB＝→→－＝2x－4＋4＋z

,→→3当＝1,＝1时|cos〈,PQ〉|＝；3→→25当＝2,＝1时|cos〈,PQ〉|＝；5当＝2,＝0时|cos〈,PQ〉|→→2当x＝1,＝0时OB,PQ〉|＝,结合四个选项可知PQ和OB所成角的余弦的取值23范围是

.π4．(2019·宁波市镇海中学高考)在直三棱柱B中,∠BAC＝,＝＝AA

255255＝1,知G和E别为和的点与F分别为线段AC和AB的动(不包括端)若GD⊥,则线段的长度的取值范围()5A.，15C.5

5B.，15D.，15解析：选A.建立如图所示的空直坐标系则11AE，1

,(x,0,0),D(0,,0),由于GDEF所以x＋2－1DF＝x＋＝

5

25

1＋,51由＝1－2y>0,得<,221所以当y时,线段长度的最小值是,5当＝0时,段DF长的大值是1而包括端故＝0能故选A.5．已知直三棱柱ABC中,∠ABC＝120°,＝2,＝则面直线与BC所成角的余弦值()A.

32

B.

15510C.D.5

33解析：选C.如图所示将直三棱柱ABCA成直四棱柱ABCDABC,连接AD,,∥所以∠B其补角为异面直线与BC所的角．因为＝120°,＝2,BC＝＝1,以＝5,＝2.在中∠D＝60°,B＝1,C＝2,所以D＝1＋2－2×1×2×cos60°＝3,5＋210所以∠AD＝＝,择C.2×5×26.(2019·杭州市学军中学高考学模拟)如图,在二角中⊥＝＝2,点A直线AD上,满足AD⊥,AB＝3.现将平面沿CD进行翻折在翻折的过程,段长取值范围是．

→→→→→→→＝＋,所以平方得→→→→→→→＝＋,所以平方得B＝＋DC＋AD·DC＋2CB·AD＋2·CB,→→→解析：由题意得DC,⊥,设平面沿着进行翻折过程中,二面角AB夹角为θ,DA,CB因为AB→→→→→→→→→→→→→设AD因为BC＝2,＝3,所以9＝＋4－4cosθx－1即－4xcosθ－1＝0,即cos＝.4x－1因为－≤cosθ≤1,以－1≤≤1,4x即,即5≤≤2＋5，则＋5x≤－2－5.因为>0,以5－2x≤5＋2,即AD的值范围[5－2,5＋2]．答案：55＋2]7台市考模拟)如在棱长为2的正四面体A,、F分别直线AB、CD上的点且EF3.若记EF中P的迹为,则等于________注|表L的测度在题L为曲面形、空间几何体,L|分别对应长度、面积、体)解析：如图当EAB中点,分在,D处满|EF|＝3,此时EF的中点P在,ED中点P,P的置上；当F为中分别在,处满|EF|＝3,时的点在,的点,的位置上,连接PP,P相交点O则四点P,P,,P共,圆为O圆的半11径为,则EF中P轨迹为以O为心以为径的圆其测度L|221＝2＝2答案：π8.(2019·金丽衢十二校联考)如,三棱锥D中,已知AB＝→→2,·＝设ADaBCb,＝,则的最小值为_______．ab＋1解析：设A＝aCBbDC＝,为AB＝2,所ab＋|＝4a＋

→→ab＋1ab＋1ab＋1→→ab＋1ab＋1ab＋1b＋＋2(·＋·c·)＝4,因BD＝所(c－b－)＝－3a·b＋bc＋·＋

＝3,a＋＋22＋2所以a＋＋2(3－)＝4＝＋＋2,以≥＝2,当且仅当＝时等成,即

c

的最小值是答案：9．(2019·宁波诺丁汉大学附中三期中考试)如形中＝1,＝3,将△对角线BD向上翻折,若翻折过程中AC10长度在，．

内变化,则点A所成的运动轨的长度为解析：过A作⊥,垂足为,连接CEA′因为矩形中,＝1,BC＝3,37所以AE,＝.22所以A点轨迹为以E为圆心,

32

为半径的圆弧′为面A′的平面角．以E原点以EB,′所在直线为x轴,y轴立如图所示空间直角坐标系E,设∠′＝,则

0，

33cos，sinθ22

3，，02

,所以AC

331＋（cosθ）＋sin44

θ＝

5,2所以

102

≤

5＋3cosθ13≤,221解得0≤cos≤2所以60°≤≤90°,所以A点迹的圆心角为30°,π33π所以点迹的长度为·＝.6212答案：

312

π10．(2019·宁波十校联考模)图,四棱锥PABCD中∠＝120°,＝＝2,△是边三角形,E是的点AC与BD交于点O,且⊥面.(1)求证：∥面ACE

→→→22||·|PA→→→→22||·|PA→(2)当OP＝1求直线与平面所成角的正弦值．解：(1)证明：因为在四棱锥ABCD中∠BAD＝120°,AB＝＝2,BCD等边三角形所以△≌ACD,因为E是BP中点AC与BD交点O所O是中点连接,则OEPD因为平,OE平面ACE,所以PD∥平面ACE(2)因为BD⊥,PO⊥平面ABCD以为,,,所直线为坐标轴建立空间直角坐标则(0,0,1),A(0,－1,0),(3,0,0),(0,3,0),，02

,→EA＝

－

3131，－1，－，3－＝(0,－1,－1),2222设平面的一个法向量n,,z＝＋2＋＝0则,取x得n－3),＝3－6＋＝0设直线PA与平面ACE所角为,|·|36则sin＝＝＝,→4所以直线PA与平面所成角的正弦值为

64

.11.(2019·浙江暨阳4月联)在四棱锥P－ABCD,PC平面,∥,⊥PB＝AD＝2,AB＝BC＝1,E为棱PD上点．1(1)若PE＝,求证：∥平面；3(2)若是PD的点,求直线与平面ACE所成角的正弦值．解：(1)证明：过A作Az⊥平面,A为点如图建立直角坐标,由题意解得,PC＝

3,所以

B(1,0,0),(1,1,

3),所以＝(0,1,3),C(0,2,0),

→→2423333→→→133222→2→→2423333→→→133222→210||||6→1→2423设(,y,z),P＝PD得(,),3333设平面的法向量为n＝(,,z),nAC＝＋＝0则取z＝1,n＝(＝x＋y＋z＝0所以·＝0,因为平ACE,所以PB∥平面ACE.

3,－3,1),(2)过作Az⊥面以为点如图建立直角坐标系,由题意解得＝3,所以B(1,0,0),(1,1,3),(0,0,0),→3所以＝(0,1,3),(1,1,0),D所(,),222→→133AC＝(1,1,0),AE＝(,222

),设平面的法向量为n＝(,,z),nAC＝＋＝0则,＝x＋y＋＝0取＝2,n＝(3,－3,2),所以直线PB与平面所成角的正弦值：|·|330sinθ＝＝＝.→2012.(2019·嵊州市第二次高考适应性考试)如图,在三棱柱ABCAB中,底面为长为的正三角,棱A的中,CC＝(>0)(1)证明：∥平面D；π(2)若直线BC与平面ABB所成角的大小为求的．解：(1)证明：连接交AB于E连接DE

→→||·|n,→→||·|n,，02则DE是ABC中位线．所以DE.又DE平D,BC平AB,故BC∥面ABD.(2)以AB中点为坐标原,OB,OC在直线分别为x轴轴立空间直角坐标,如图所示则B(1,0,0),C3,)．易得平面ABBA的个法向量为＝(0,1,0)又＝(－1,3,h)．π→|BCn所以sin＝|cos〈,〉|＝.6→即

31＝解得h＝22.h＋4213.(2019·温州十五校联)已知菱形中对角线AC与BD相交于一点,BAD＝60°,将△BDC沿折得△′,连AC′.(1)求证：平面′平面；(2)若点′平面ABD上的投影恰好ABD重,求直线与面ADC′所成角的正弦值．解：(1)证明：因为′⊥BDAO⊥,′O∩＝,以BD⊥平面C′,又因为平面ABD,所以平面AOC′平面ABD(2)如图建系O,令＝,则31A，0

,

→|DCm→→→→→→→|DCm→→→→→→→→→1Da2

,36C′，03

,→→312所以＝＝a，，0ADC′法向量为＝3，线与22底面ADC′成角为θ则→|·|36sinθ＝|cos〈,〉|＝＝,→33||·2故直线CD与底面′所成角的正弦值为

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.14.(2019·宝鸡市质量检测(一))图四棱的面为矩形PA⊥平面,点E是PD中点点是PC的中点．(1)证明：∥面AEC(2)若底面ABCD正方形探在什么条件下,二面角CD的小为60°？解：易知,AP两两直,立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设＝2,AD,AP＝2,则A(0,0,0),(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2．设∩＝,接OE,则O(,0),又E是的点,所E(0,b,)．(1)证明：因为＝(2,0,－2c),＝(,0,－),所以＝2,所以∥,即PB∥.因为平AEC,EO平,所以PB平面.(2)

因

为

四