高中数学课课练必修2

高中数学课课练必修2

第1章立体几何初步

几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在.

——［英］牛顿

§1.1棱柱、棱锥和棱台

【学习目标】

1.通过观察实物和模型，认识棱柱、棱锥和棱台的特点，能画出它们的图形；2.

理解棱柱、棱锥、棱台的定义和性质；3.提高认识空间图形的能力和空间想象力.

【知识要点】

•1.多面体——由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体有几个面就称为

几面体.

•

四棱柱平行六面体直平行六面体

【课时练习】

1.如图

1的棱柱可看成是平移哪一个四边形而成的（）A.ABCDB.AA1D1DC.AA1B1B

D.A1B1C1D12.如图2是明研晶体的直观图，它是（）

A.四面体B.六面体C.八面体D.九面体3.下面命题正确的是（）

长方体

正方体

1图1

图22

几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在.

［英］牛顿

A.棱柱至少有6个面.C.棱柱的侧面沿侧棱剪开展平后成为矩形.4.某民居外部结

构示意图如图3,这个多面体是（）A.四棱柱C.六棱柱

B.五棱柱D.四棱锥

B.棱锥的面都是三角形.D.棱台的侧棱必相交于一点.

图3

5.下列命题正确的是.（填写正确答案的序号）①棱柱的底面一定是

四边形；

②棱锥被一个平面分成的两部分分别是棱锥和棱台；③棱锥的底面一定是三角形；

④棱柱被平面分成的两部分不一定是棱柱.

6.棱长全等的棱锥一定不是棱锥.（填写正确答案的序号）①三棱锥；

②四棱锥；③五棱锥；④六棱锥.

7.经过正方体中心的所有截面中，正方体被截得的截面图形中边数最多的是边

形.8.设N长方体，P四棱柱，Q正方体，请写出这些集合间的包含关

系.

9.如图5,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,CC1=1,一条绳子从点A沿

表面拉到点Cl,求绳子最短的K.

10.填表：

A1

A

图51

C

13

几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在.

——［英］牛顿

你发现n棱锥的棱数与n有何关系？n棱锥的面数与n有何关系？

你发现n棱柱的棱数与n有何关系？n棱柱的面数与n有何关系?

4

一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比

分母，分母越大，则分数的值就越小.——［俄］托尔斯泰

§1.2圆柱、圆锥、圆台和球

【学习目标】

1.观察实物和模型，认识圆柱、圆锥、圆台和球的旋转构成特点；

2.理解圆柱、圆锥、圆台和球及有关概念和性质；

3.提高认识空间图形的能力和空间想象力.

【知识要点】

2.旋转面---条平面曲线绕它所在的平面内的一条直线旋转而成的曲面叫做旋转

面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.

3.圆柱的轴截面都是全等的矩形，垂直于轴的截面都是与两底面平行且全等的圆面.

4.圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形，垂直于轴的截面都是与底面平行且相似的

圆面.5.圆台的轴截面都是全等的等腰梯形，垂直于轴的截面都是与两底面平行且相

似的圆面.6.球的截面都是圆面，经过球心的截面都是全等的圆面.

【课时练习】

1.如图1,矩形ABCD中，AB=10,AD=4,将矩形ABCD绕直线AB

旋转一周形成的圆柱的底面直径和高分别为（）

A.4和10B.8和10C.20和4D.20和8

2.下列命题正确的是（）图1

A.直角三角形绕一边旋转一周得到的旋转体是圆柱.

B.夹在圆柱的两个平行截面之间的间的几何体还是旋转体.

C.一个圆锥被截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台.

D.一矩形的一边为旋转轴将矩形旋转，其余的边都是旋转所成圆柱的母线.A5一个人

就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比

分母，分母越大，则分数的值就越小.［俄］托尔斯泰

3.如图2,直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体是（）

A.一个圆台

B.一个圆锥D.一个圆锥和一个圆柱C.一个圆锥和一个圆台

图26

一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比

分母，分母越大，则分数的值就越小.——［俄］托尔斯泰

4.如图3,在个圆柱形桶内恰好装有一个球，球在桶内无法移动.这个几何体可以是

下列哪一个平面图绕轴旋转而成？（）

0,

0'0'

00

图3ABCD

5.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径之比是1：4,母线长是9cm,则

圆锥的母线长为cm.

6.沿圆柱的侧面母线剪开，得到圆柱的侧面展开图为正方形，则圆柱的底面半径与母

线长的比是―

7.一个球的半径为2cm,A为球面上一点，0为球心，经过0A的中点B的一个平面截球

体所得截面中，截面面积的最小值是.

8.如图4,画出平面图形绕轴00旋转一周形成的儿何体.

图4

9.圆台的侧面母线长为2a,母线与轴的夹角为30,一底面半径是另一底面半径的2

倍，求两底面的半径与两底面面积之和.

7

一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比

分母，分母越大，则分数的值就越小.——［俄］托尔斯泰

10.用长、宽分别是3与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径.

8

时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”。用“分”来计算时间的人

比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。——［俄］雷巴柯夫

§1.3中心投影和平行投影

【学习目标】

1.了解空间图形的不同表现形式，对中心投影和平行投影有初步认识；

2.理解视图的意义，并会画简单几何体的三视图.

【知识要点】

1.投影——是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上

得到图形的方法.投射线交于一点的投影称为中心投影.投射线相互平行的投影称为平行

投影.平行投影按投射方向是否正对着投影面,可分为斜投影和正投影.

2.视图——物体按正投影向投影面投射所得的图形.光线从物体的前面向后投射所

得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图.用这三种

视图刻画空间物体的结构,称为三视图.

3画三视图时应注意：主视图与左视图的高要保持平齐，主视图与俯视图的长要保持

对正，俯视图与左视图的宽度要保持相等，简记为“长对正、高平齐、宽相等”.

【课时练习】

1.平行投影中的光线是（）

A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的

2.如图1,正方体的一个截面在正方体的一个面上的正投影图形不可能是（）

图1ABCD

3.某几何体的二视图如图2,这个几何体是（

A.三棱柱

B.三棱锥

C.三棱台

主视图左视图俯视图D.四棱锥图29

时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”。用“分”来计算时间的人

比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。——［俄］雷巴柯夫

4.有一实物如图3,那么它的主视图是（）

图3ABCD

5.如图4是一个学校教学楼的示意图（阴影部分为前面），从空中向下看时的图形是

图4①②③④

6.在主视图中，原几何体的不变；

在俯视图中，原几何体的不变；

在左视图中，原几何体的不变.

37.一个几何体的三视图如图5所示，则

这个几何体的体积是.

8.已知一几何体的三视图如图6,试画出这个几何体的大致形状.

图6

9.已知一工件的三视图如图7,试画出这个几何体的大致形状.

图

7图510

时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”。用“分”来计算时间的人

比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。［俄］雷巴柯夫

10.如图8,它是某个多面体的三视图，请画出它的大致形状.

图8

11

数学的本质在於它的自由.

——［德］康托尔

§1.4直观图画法

【学习目标】

1会用斜二测法画水平放置的平面图形和空间图形的直观图.能正确画出直棱柱、正

棱锥的直观图.

【知识要点】

1.用斜二测画法画直观图时应注意；与x轴、z轴平行的线段其长度不变，与y轴平

行的线段其长度折半.

2.用斜二测画法画得一个平面图形的直观图图形的面积S'与其原图形的面积S之间

的关系

是S'.【课时练习】

1.如图1,用斜二测画法作出正三角形的直观图得三角形ABC,

AD是ABC的高，则下列关系正确的是（）D

C1AB,BC=BC2

1C.AD=AD,BC=BC2A.AB=1BC21D.AD=AD,BC=BC2

B.AB=AB,BC=图1C'

2.用斜二测画法作出如图2矩形的直观图为（）

6442

606

图2ABCD

3.如图3,下列各物体直观图中采用中心投影画法的共有（）

图3

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位:cm）,可得这个几何体的

体积是（）

左视图

俯视图正视图

12

数学的木质在於它的自由.

——［德］康托尔

图4

A.4000cm3B.8000cm3C.2000cm3D.4000cm33313

数学的本质在於它的自由.

——［德］康拄尔

5.由若干个大小相同的立方体木块堆成的一个几何体的三视图如图5,其直观图不可能

是.

主视图左视图俯视图①②

③④

图5

6.用斜二测画法画得一个三角形ABC的直观图如图6所示，

则这个三角形的面积是.

7.用斜二测画法画得•个矩形的直观图的面积是a,

则这个矩形的面积是一

8.按1：3的比例画一个长为12cm、

宽为9cm、高为6cm的长方体的

直观图.

9.⑴已知正三棱锥P-ABC的底边长

为4cm,它的高为5cm,请用斜二测画

法画出该三棱锥的直观图.

⑵已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长

为4cm,它的高为5cm,请用斜二测画法

画出该三棱柱的直观图.

10.根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物图。

14图6

数学的本质在於它的自由.

——［德］康拄尔

俯视图主视图左视图15

数学是无穷的科学.

——［德］赫尔曼・外尔

§1.5平面的基本性质

【学习目标】

1.掌握描述点、直线、平面之间关系的符号语言；

2.会运用3个公理以及3个推论判断空间点、直线、平面之间的关系.

【知识要点】

1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个

平面内.2.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共

点的集合是经

过这个公共点的一条直线.

3.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

公理1与公理2是证明点共线与线共点的依据.

公理3及其推论是确定平面的依据.

【课时练习】

1.若点Q在直线b上，b在平面B内，则Q、b、P之间的关系可写作（）

A.QwbwBB.Qeb0C.QbPD.QbeP

2.若平面a与平面B有三个公共点，则这两个平面（）

A.重合B.相交C.相交或重合D.既不相交也不重合

3.在空间内，可以确定一个平面的条件是（）

A.两两相交的三条直线.

B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交.

C.四个点，其中任意三个点共面.

D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点.

4.下列命题中正确的是（）

A.三点确定一个平面B.与一条直线相交的三条平行直线确定一个平面

C.一条直线和一个点确定一个平面D.两条互相垂直的直线确定一个平面

5.下列四个推理过程，错误的是一_一

①若A,B;且41,B1,则1

②若A,B;且人,B，则AB

与重合③若A,B,C；A,B,C且A,B,C不共线，则16

数学是无穷的科学.

——［德］赫尔曼•外尔

④若Aa,a，则A

6.辨别下列命题的正误：

①因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交；

②A、B、C,A、B、C，且A、B、C不共线与重合；

③平面和平面若有公共点，就不只有一个；

④三个平面两两相交，得三条交线，则这三条交线必交于一点。

⑤“平面a外的两条直线a和b相交于平面a内的一点P”用符号表示为

“abP,P且a,b”.

其中正确命题的序号是.

7.三个平面可以把空间分为部分.

8.在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC中点，GCD,HAD,EH与FG相交于点

P,求证：交点P必在直线BD上.

9.如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，试画出平面ABC1D1和平面A1B1CD的交线.

请写出作图步骤，并说明理由.

17DIAlB1C1C图1数学是无穷的科学.

——［德］赫尔曼・外尔

10.证明：若两条平行直线和第三条直线相交，则这三条直线共面.

18

讯问者智之本，思虑者智之道也.

——刘向《说苑》

§1.6平行直线

【学习目标】

1.理解平行直线的定义和公理4；

2.会运用定义及公理4判断两线平行.

【知识要点】

1.平行两直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线.

2.公理4：平行于同—条直线的两条直线互相平行.

3.空间等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那

么这两个角相等.

【课时练习】

1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱C1D1平行和不共面的棱的条数为（）

A.4和8B.6和6c.6和4D.3和4

2.给出三个命题：①若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平

行；②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；

③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行.

其中不正确命题的个数为（）.

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.设a,b为两条不共面直线，若直线c//a,则b与c为（）

A.不共面直线B.相交直线C.平行直线D.相交或不共面

4.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD,则

四边形EFGH是（）

A.平行四边形B.梯形C.菱形D.正方形

5.在空间两个角ABC和A1B1C1中，若AB〃A1B1,BC//B1C1,ABC=30,19

讯问者智之本，思虑者智之道也.

——刘向《说苑》

则A1B1C1的大小为

6.在三棱锥A—BCD中，若M、N、E、F分别是AB、AC、DB、DC的中点，

则四边形MNEF为.

7.若S为ABC所在平面外一点，D、E分别为SAB和SBC的重心，

则DE和AC的关系为.

8.如图1,在长方体木块ABCD—A1B1C1D1的A1C1面上有

一点P,过点P画条一直线和棱CD平行，应怎样画？

若要求过P点画一条直线和BD平行，又该怎样画？

9.如图2,在空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、

CD±的点，且CFCG2,求证：四边形EFGH是梯形.

BCE

GAllC图1H

图2

10.如图3,在四棱台ABCDABCD中，E、F是为上底边BC和DC中点.

20讯问者智之本，思虑者智之道也.

——刘向《说苑》

(1)证明B、D、F、E四点共面;

(2)证明BE、DF、CC三线交于一点.

F图321

求学问，需学问，只学答，非学问.

——［中］李政道

§1.7异面直线

【学习目标】

1.理解异面直线的定义；

2.会用反证法证明两条直线是异面宜线;

3.理解异面直线所成角的定义及求法.

【知识要点】

1.异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直

线是异面直线；

2.求两条异面直线所成角：先平移相交找到角，再解三角形求角.

【课时练习】

1.已知直线a,b是异面直线，b与c也是异面直线，则直线a与c的位置关系是()

A.平行或异面B.相交，平行或异面C.相交或异面D.异面

2.三条直线a,b,c中，a//b,b与c相交，则a与c的位置关系一定是()

A.共面B.异面C.相交D.相交或异面

3.在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD之中点，则MN与AC+BD的关系是()

A.MN1(ACBD)C.MNB.MND.MN1(ACBD)1(ACBD)1(ACBD)4.分另U

与两条异面直线都相交的两条直线()

A.不可能是两条平行直线.

C.不可能是两条互相垂直的直线.B.不可能是两条相交直线.D.不可能是两条异面

直线.

5.两条直线a,b和直线1所成的角相等，那么直线a,b的关系是

6.E、F分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，且EF=5,BD=8,AC=6,

则AC与BD所成的角为.

7.如图1是正方体平面展开图，在这个正方体中

22E

求学问，需学问，只学答，非学问.

［中］李政道

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60。角；④DM与BN垂

直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.图18.如图2,在正方体

ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1与CD的中点，求直线AE与D1F所成角的大小.

A1

D

1E

F

CC1

图2

9.如图3,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是C1D1与C1C上的点，且F异于C.

试证明直线EF与A1C是异面直线.

DI1

FB

C

B1

图3

10.已知a,b是异面直线，直线c//a,但b和c不相交，求证：b和c是异面直线.

23

没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性.

——［美］卡鲁斯

§1.8直线与平面平行

【学习目标】

1.理解直线与平面平行的定义;

2.掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理.

【知识要点】

1.线面平行的定义:直线与平面无公共点.

2.线面平行的判定定理：l〃m,l,m1//.

3.线面平行的性质定理：1〃，1,ml//m.

【课时练习】

1.已知直线a,b都平行于平面a,则a,b的位置关系是()

A.平行B.相交C.异面D.以上三种答案均有可能

2.下列命题是真命题的是()

A.若一条直线和一个平面平行，则这条直线和该平面内的无数条直线都平行.

B.若一条直线和一个平面平行，则这条直线和该平面内的任何直线都平行.

C.平行于同一平面的两条直线互相平行.

D.一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线就和这个平面平行.

3.已知m,n为异面直线，m〃平面，n〃平面,A=1,则1()

A.与m,n都相交C.与m,n都不相交B.与m,n中至少一条相交A

D.与m,n中一条相交F4.如图1,已知空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长

分别为4、5,则平行于这两条对角线的截面四边形EFGH在平移过程

中周长的取值范围是()C

A.(5,10)B.(8,10)C.(3,6)D.(6,9)图1

5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1与截面A1D1C的位置关系是

.A1B与截面AD1C的位置关系是.

6.以下命题(其中a,b表示直线，表示平面)

①若a〃b,b,KiJa/7②若a〃，b〃，则a〃b24

没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性.

——［美］卡鲁斯

③若a〃b,b〃，贝！Ja〃④若a〃，b,贝!!a〃b

其中错误命题的序号是

7.①直线a与平面a的关系可分为a在平面a外或a在平面a内两类；②过两异

面直线中的一条且与另一条直线平行的平面必存在；

③与一个平面内的一条直线平行的直线，必与此平面平行；

④两平行线中有一条与平面a平行，则另一条也与平面a平行.

上述命题中其中真命题的序号是.

8.求证：若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线就和它们的交线平行.

9.如图2,在四面体ABCD中，M、N分别是△ABC和4ACD的重心.

求证：MN〃平面BCD

BMNDAC

图2

10.如图3,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、G分别是BC、C1D1的中点.求证：EG//

平面BB1D1D.25没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性.

——［美］卡鲁斯

DA1G11C

A26图3

人不光是靠他生来就拥有的一切，而是靠他从学习中所得的一切来造就自己。

——［德］歌德

§1.9直线与平面垂直

【学习目标】

1.掌握直线与平面垂直的概念，理解点到平面的距离、直线和平面的距离等概念；

2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理；

3.了解三垂线定理，会证明有关线面垂直问题.

【知识要点】

1.线面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面a内的任意一条直线都垂直，我们

就说直线a与平面a互相垂直，记作a.

2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和•个平面内的两条相交直线垂直，

那么这条直线垂直于这个平面.

3.直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线

平行.4.直线与平面垂直的定义强调的是直线和平面内的“任意”一条直线垂直，而

不是“无数”，其判定定理强调的是直线和平面内的两条“相交”直线垂直.

【课时练习】

1.下列命题中，正确的是()

A.若一条直线垂直于一个平面内的一条直线，则这条直线与这个平面垂直B.若一条

直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直C.若一条直线垂直于一

个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直D.若一条直线平行于一个平面，则

垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线

2.如果直线1与平面a内的两条平行直线都垂直，则1()

A.必与平面a相交B.必与平面a平行

C.必在平面a内D.与平面a相交、平行或在平面a内

3.①直线a平行于一个平面，则a平行于内的所有直线；

②直线a垂直于一个平面，则a垂直于内的所有直线；③若a平面，b平面

,且a//b,则2〃；④若a平面，b平面，若ab则a以上命题正确的是

()A.D11

CClA.①③④B.②③④C.②③D.①④4.如图1,在棱长为3的正方体

ABCDA1B1C1D1中，

则点A到平面BDD1B1的距离是()27人不光是靠他生来就拥有的一切，而是靠他从学

习中所得的一切来造就自己。

——［德］歌德

A.3B

c

.D.图125.下列四个命题中正确的命题有a//baaa//①；

②；③；④ba//bb//b//aabbab

6.在长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1=5,AB=12,则直线B1C1与平面A1BCD1的距

离等于.

7.直角三角形ABC所在平面a外一点P到直角顶点的距离为24

,到两直角边的距离都是那么点P到平面a的距离为.

8.如图2,在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA_L面ABCD.

作AE1.PB,垂足为E,求证：AE1PC.

9.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,BC2,CC14,D是CC1的中点.

求证：BID平面ABD.

10.如图3,在三棱锥S-ABC中，DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于

D、E,

又SB=BC,求证：BDJ_面SAC.E

28

CE图2人不光是靠他生来就拥有的•切，而是靠他从学习中所得的一切来造就自己。

——［德］歌德

图329

历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人

深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩.——［英］培根

§1.10直线与平面所成的角

【学习目标】

1.理解射影、直线与平面所成角的概念；

2.会求直线与平面所成的角.

【知识要点】

1.直线与平面所成角的范围是［0,90L平面的斜线和这个平面所成角的范围是

（0,90）；2.求直线与平面所成的角，要过直线上一点向平面作垂线，关键是

要找垂足落在何处，然后解直角三角形，求出该角.

【课时练习】

1.如果平面的一条斜线上一点与其斜足所确定线段的长是其在平面内的射影长的2

倍，那么这条斜线与平面所成的角的大小为（）

A.0B.30C.45D.60

2.设a,b表示直线，a表示平面，则下列三个命题中正确命题的个数是（）

①若直线a、b和a所成的角相等，则a//b；②设a、b是异面直线，若a〃平面a

则b与a相交；③若直线a、b在平面a内的射影依次是一个点和一条直线，且a，b,

则b或b〃.

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4,CC12,则直线BC1与平面DBB1D1所

成的角的正弦值为（）

A

B

C

D

4.若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PAPBPC2,ABC的边长为1,贝ijPC

与平面ABC所成的角是（）

A.90B.30C.45D.6030

历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人

深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩.——［英］培根

5.在正三棱柱ABC

A1B1C11,则BC1与侧面ACC1A1所成的角为.

6.如果APB=BPC=CPA=60,则PA与平面PBC所成角的余弦值为.

7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点，直线FD1与平面ADE所

成角的

大小是.

8.三棱柱ABC

A1BC114>,BCCA,AB,点A1在底面ABC上的射影0在AC上,求AB与侧面ACC1A1所

成的角.

9.如图1,所有棱长均为a的斜三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面成60角，且

BBC60

(1)求证：AB±BC；

(2)求AB与底面ABC所成角的大小.

10.如图2,在四面体SABC中，SA、SB、SC两两垂直，SBA=45,SBC=60.

BCB图131历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人

深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩.——［英］培根

求：(1)BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成的角的余弦值.

32cB图2

人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍受，什么环境也都能适应.

——［中］丁玲

§1.11两平面平行

【学习目标】

1.理解两平面平行的概念、掌握两平面平行的判定定理和性质定理；

2.会证明空间平行问题；

3.能作出公垂线，求平行平面间的距离.

【知识要点】

1.面面平行的定义：两个平面没有公共点.

2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那

么这两个平面平行.

3.面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两

条交线平行.

4.两平行平面间的距离：公垂线段的长度.

【课时练习】

1.下列命题中不正确的命题是（）

A.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.若一个平

面内任何一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行C.若两个平面没有公共点，

则这两个平面平行D.若两条直线a、b分别垂直于两个平行平面中的一个，则a与b平

行

2.a、B是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定平面a和平面B平行的是（）

A.a内不共线的三点到B的距离相等B.m,1,m//l.

C.1、m是a内两条直线，且1〃6,m〃B

D.1、m是两条异面直线，且l〃a,m//a,1〃B,m〃B

3.下列命题中，正确的是（）

A.若l//m,1,m，则〃

C.若a//,b//a,a,b，则〃

4.下列命题中正确的命题个数是（）

①若两个平面//,a,b,则a//b;②若两个平面〃，a,b，则

a与b异面；③若两个平面//,a,b,则a与b一定相交；④若两个平面

〃，a,b,则a与b平行或异面.B.若l//m,1〃,m//，则〃D.若

a,ab,则b//33

人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍受，什么环境也都能适应.

-［中］丁玲

A.1B.2C.3D.4

5.下列四个命题中正确的命题为.

①一条直线与两个平行平面所成的角相等；

②一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面必平行；③一条直线与两个相交

平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行：④一条直线与两个相交平面的交线平

行，则它必与这两个平面都平行.

6.在棱长为a的正方体ABCDA1BC11D1中，平面ABIC与平面AC11D之间的距离是

7.已知平面，和直线m,给出条件：①m〃；②m；③皿；④；

⑤〃.（1）当满足条件有m〃；（2）当满足条件有m.（填条件序号）8.如

图1,在正方体A1B1C1D1—ABCD中，F、H分别是CC1、AA1的中点.求证:平面BDF//平

面B1D1H.

9.如图2,已知平面〃平面，AB,CD是异面直线，A、C,B、D,E、F分另U

是AB、CD的中点.求证：EF////.

AECDA11

1FC图1

F

BD图234

人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍受，什么环境也都能适应.

——［中］丁玲

10.设平面a〃平面B,两条异面线段AC和BD分别在平面a、B内，设AC=6,BD

=8,

AB=CD=10,且AB与CD所成的角为60°,求AC与BD所成角的大小.

35

成功的秘诀在于随时随地把握时机.

——英•迪斯累利

§1.12二面角

【学习目标】

1.理解二面角有关概念及二面角的表示方法；

2.会通过解直角三角形求解简单的二面角问题.

【知识要点】

1.半平面：平面内•条直线把这平面分成两部分，其中的一部分叫做半平面.

2.二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形；直线叫做二面角

的棱，每个半平面叫做二面角的面.

3.二面角的平面角：过二面角的棱上任意一点在两个面内分别作垂直于棱的射线，

这两条射线所成的角；平面角是直角的二面角叫做直二面角.

4.二面角的范围：0180.

【课时练习】

1.二面角的取值范围是()

A.[0,]B.(0,)C.(0,]D.(0,]2

2.正八棱柱两个相邻的侧面所成二面角的大小为()

A.90B.120C.135D.150

3.自二面角内部一点分别向二面角的两个面作垂线，则这两条垂线所成的角与这个二

面角的平面角的关系是()

A.相等B.互补C.相等或互补D.互余

4.如图1,一间房子的屋顶有三种不同的盖法，即单向倾斜、双向倾斜、四向倾斜，要

求屋顶的斜面与水平面所成的二面角都等于角，三种盖法对应的屋顶的面积分别为

SI、S2、S3,

单向倾斜双向倾斜图1四向倾斜

则Sl、S2、S3的大小关系是()

A.S1<S2<S3B.S3<S2<S1C.S1=S2<S3D.S1=S2=S3

Al

B5.如果把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成直二面角BADC后，则点A到BC

的距离为6.如图2,在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1.

A36

成功的秘诀在于随时随地把握时机

——英•迪斯累利

若二面角CABC1的大小为60，贝IJ点C至IJ

平面ABC1的距离为_

7.已知二面角1的半平面内一点A到平面的距离

为4,且点A在平面上的正投影点B在半平面内，图2点B到平面的距离为2,

则二面角的大小为8.在正四面体ABCD中，求侧面ABC与底面BCD所成二面角的余弦值.

9.如图3,已知直角三角形ABC中，C90,AB,C,CD,D，二

面角CABD的大小为(090),AC、BC与平面所成的角分别为1、

2.求证：sin21sin22sin2.

10.如图4,在直二面角DABE中，ABCD是边长为2的正方形，AEEB,F为CE上

的点，且BF平面ACE.

(1)求证AE平面BCE；

(2)求二面角BACE的正弦值.

37D图3cB成功的秘诀在于随时随地把握时机.

——英•迪斯累利

图438

我探求人类需要什么，然后我就迈步向前，努力把它发明出来.

——美•爱迪生

§1.13两平面垂直

【学习目标】

1.理解两个平面垂直的概念，能根据定义判定两个平面垂直；

2.掌握两个平面垂直的判定定理，能应用它判定面面垂直；

3.掌握两个平面垂直的性质定理，能应用它证明线面垂直.

【知识要点】

1.面面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相

垂直.2.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两

个平面互相垂直.

3.面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交

线的直线垂直于另一个平面.

【课时练习】

1.过平面外一条直线作和平面垂直的平面，则所作平面的个数为（）

A.1个B.无数个C.1个或无数个D.0个

2.在正四面体P—ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，下面四个结论中不成立

的是（）...

A.BC//平面PDFB.DF_L平面PAE

C.平面PDF_L平面ABCD.平面PAE_L平面ABC

3.在互相垂直的两个平面中，下列命题中正确命题的个数为（）

①一.个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数多条直线

③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

A.0B.1C.2D.3

4.设a,b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列判断正确的是（）

A.若ab,a，则b〃

C.若a,,贝IIa//B.若a//,,则a//D.若

ab,a,b，则

5.已知点0在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45.若对于内异

于0的任意一点Q,都有POQ45,则二面角AB的大小是.

6.已知m、1是直线，、是平面，给出下列命题：

39

我探求人类需要什么，然后我就迈步向前，努力把它发明出来.

——美•爱迪生

①若1垂直于内的两条相交直线，则1;②若1平行于，则1平行于内的所

有直线；③若m,1，且1m,则；④若1，且1，则.

其中正确命题的序号为7.如图1,正方形ABCD的边长为2,E、F分别为AD、

BC中点，沿EF把正方形ABCD折成直二面角，则顶点A和C之间的距离为

401图

我探求人类需要什么，然后我就迈步向前，努力把它发明出来.

——美•爱迪生

8.如图2,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且ASBASC60,

BSC90,求证：平面ABC平面BSC.

S

A

B

C

图2

9.如图3,已知ABCD是矩形，PD_L平面ABCD,PD=CD=a

,AD,M、N分别是AD、PB的中点.

(1)求证：平面MNC_L平面PBC;(2)求点B到平面MNC的距离.

10.如图4,在正方体ABCDA1BIC1D1中，0是底面正方形ABCD的中心，M是线段A1B

的中点.(1)证明：平面A1BD平面A1ACC1；(2)证明：M0〃平面B1BCC1.

图3

图4

41

杀了“现在”，也便杀了“将来”。——将来是子孙的时代。

——［中］鲁迅

§1.14空间几何体的表面积

【学习目标】

1.理解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念；

2.了解柱、锥、台的侧面展开图，并能以此研究柱、锥、台的侧面积公式；3.

会求一•些简单几何体的表面积.

【知识要点】

1.柱、锥、台的侧面积公式：

ch,SclrlS圆锥侧正棱锥侧S直棱柱侧ch,S圆柱侧cl2rl22；

S正棱台侧l（cc）h,S圆台侧l（cc）1（rr）1

2.曲面上的距离问题，往往利用空间图形展开图解决.

【课时练习】

1

,其中正确的是（）

②③

A.①②B.②③C.①③D.③

2.正四棱分的两底边长分别为2和6,侧棱长为4,则棱台的侧面积为（）

AB.C.30D.3.把边长为4的正方形剪成如图1所示的扇形（阴影），

把此扇形卷成一个圆锥，则此圆锥的高为（）

A.B.C.D4.如图2,三棱锥P-ABC中，NAPB=NBPC=NCPA=30O,

PA=PB=PC=a,E、F分别为PB、PC上的点，贝iJZ\AEF

周长的最小