自动控制原理简明教程

⑴控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。⑵频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。⑶控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。⑷频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于某些非线性控制系统。特点现在是1页\一共有140页\编辑于星期三例：RC电路如图所示，ui(t)=Asinwt,求uo(t)=?建模0§5.1频率特性§5.1.1频率特性的基本概念RCi解：暂态分量稳态分量现在是2页\一共有140页\编辑于星期三系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。A(ω)称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。幅频特性相频特性现在是3页\一共有140页\编辑于星期三

一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和相位均为输入信号频率的函数。0t现在是4页\一共有140页\编辑于星期三

用R(jω)和C(jω)分别表示输入信号A

sinωt和输出信号cs(t)=A

sin(ωt+φ)，则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为该系统的频率特性函数，简称频率特性，记作幅频特性相频特性实频特性虚频特性0现在是5页\一共有140页\编辑于星期三频率特性、传递函数、微分方程的关系系统频率特性传递函数微分方程

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。例：现在是6页\一共有140页\编辑于星期三§5.1.2频率特性的图示方法

频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。常用频率特性曲线及其坐标系对数幅相坐标尼柯尔斯图对数幅相频率特性曲线3半对数坐标伯德图对数频率特性曲线2极坐标极坐标图奈奎斯特图幅相频率特性曲线1坐标系图形常用名名称序号现在是7页\一共有140页\编辑于星期三

对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线，又称Nyquist图。1.幅相频率特性曲线例：RC电路的幅相频率特性。现在是8页\一共有140页\编辑于星期三G(jω)=R(ω)+jI(ω)

代数式

=|G(jω)|∠G(jω)极坐标式

=A(ω)ejφ(ω)

指数式∠G(jω)=－arctanTω

现在是9页\一共有140页\编辑于星期三

又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（μ=lgω），单位为弧度/秒（rad/s），纵坐标按线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按φ(ω)

线性分度，单位是度（°）。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。2.对数频率特性曲线（Bode图）现在是10页\一共有140页\编辑于星期三ω和lgω的关系表

②ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，ω=0不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。③从表中可以看出，ω的数值每变化10倍，在对数坐标上lgω相应变化一个单位。频率变化10倍的一段对数刻度称为“十倍频程”，用“dec”表示。①ω轴为对数分度，即采用相等的距离代表相等的频率倍增，在伯德图中横坐标按μ=lgω均匀分度。现在是11页\一共有140页\编辑于星期三00.11101002040-20单位：dB00.1110100十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程现在是12页\一共有140页\编辑于星期三1461020401002十倍频程十倍频程十倍频程现在是13页\一共有140页\编辑于星期三半对数坐标纸现在是14页\一共有140页\编辑于星期三对数坐标图的特点(1)由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以拓宽视野，又便于研究低频段的特性。(2)当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，从而简化了画图的过程。现在是15页\一共有140页\编辑于星期三(3)在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。(4)若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。现在是16页\一共有140页\编辑于星期三精确曲线渐近线转折频率现在是17页\一共有140页\编辑于星期三

对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线。3.对数幅相曲线（Nichols）现在是18页\一共有140页\编辑于星期三典型环节

比例环节：K惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0积分环节：1/s微分环节：s§5.2

典型环节和开环频率特性

振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ξs/ωn+1]；式中ωn>0，0<ξ<1

二阶微分环节：(s/ωn)2+2ξs/ωn+1；式中ωn>0，0<ξ<1§5.2.1典型环节现在是19页\一共有140页\编辑于星期三频率特性G(jω)=Kkj0

比例环节K的幅相曲线·

比例环节

对数幅频特性和对数相频特性分别是：

L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=000K=1K>1K<1

比例环节的

对数频率特性曲线§5.2.2典型环节的频率特性现在是20页\一共有140页\编辑于星期三

积分环节0jL(ω)=-20lgωφ(ω)=-90o

000.110120-90-180-20两重积分现在是21页\一共有140页\编辑于星期三L(ω)=20lgωφ(ω)=90o

微分环节0j000.11012090现在是22页\一共有140页\编辑于星期三ω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT=-20(lgω-lg1/T)

G(s)=1/(Ts+1)惯性环节0j100!低通滤波特性现在是23页\一共有140页\编辑于星期三一阶微分环节G(s)=Ts+1ω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT=20(lgω-lg1/T)

G(s)=Ts+100ω=0

j

0ω

1！高频放大！抑制噪声能力下降现在是24页\一共有140页\编辑于星期三10

振荡环节现在是25页\一共有140页\编辑于星期三00-40现在是26页\一共有140页\编辑于星期三(a)(b)现在是27页\一共有140页\编辑于星期三

延迟环节01j000.1110100现在是28页\一共有140页\编辑于星期三系统开环幅相曲线主要用于判断闭环系统的稳定性。通常将系统开环传递函数写成各环节串联的形式，利用“幅值相乘、幅角相加”的原则确定几个关键点的准确位置，然后绘出图形的大致形状即可。绘制步骤如下：

(1)将系统的开环频率特性函数G(jω)H(jω)写成指数式 A(jω)ejφ(ω)或代数式P(ω)+jQ(ω)；

(2)确定极坐标图的起点ω=0+和终点ω→∞；

(3)确定极坐标图与坐标轴的交点（若奈氏图与负实轴有交点，则必须求出）;(4)勾画出大致曲线。§5.2.3开环幅相曲线的绘制(奈奎斯特Nyquist图)现在是29页\一共有140页\编辑于星期三对于一般线性定常系统，其频率特性为n阶系统奈氏图的大致规律现在是30页\一共有140页\编辑于星期三K1.极坐标图的起点

0开环含有v个积分环节的系统，Nyquist曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。现在是31页\一共有140页\编辑于星期三02.极坐标图的终点Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为－(n－m)×90°。现在是32页\一共有140页\编辑于星期三

0型系统（v=0）只包含惯性环节的0型系统Nyquist图设m=0现在是33页\一共有140页\编辑于星期三

I型系统（v=1）只包含惯性环节的I型系统Nyquist图设m=0现在是34页\一共有140页\编辑于星期三

II型系统（v=2）只包含惯性环节的II型系统Nyquist图设m=0现在是35页\一共有140页\编辑于星期三开环幅相曲线与负实轴相交时的交点计算方法有两种现在是36页\一共有140页\编辑于星期三例：已知系统开环传递函数，试绘制概略开环幅相曲线。解：ω=0现在是37页\一共有140页\编辑于星期三Nyquist图与实轴相交时ω=0现在是38页\一共有140页\编辑于星期三系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联的形式，即：

G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)

系统的开环频率特性为幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。§5.2.4开环对数频率特性曲线(伯德Bode图)现在是39页\一共有140页\编辑于星期三系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为现在是40页\一共有140页\编辑于星期三

5.2.4.绘制开环对数幅频特性渐进曲线的步骤(1)低频特性的绘制：标定低频渐近曲线的参考点，以及低频渐近曲线的斜率。(2)确定各个交接频率:w1、w2、……、wn及各个交接频率处的斜率变化。(3)绘制各个交接频率处的分段对数幅频渐近曲线，其中分段曲线的最后一段是开环系统对数幅频特性的高频渐近曲线，且斜率为-20(n-m)dB/dec。注意：这一特性可以用来验证对数幅频特性曲线的正确性。现在是41页\一共有140页\编辑于星期三

低频(ω<ωmin)渐近线的斜率公式为：-20vdB/dec，其中v是开环系统中积分环节的个数，ωmin为最小的交接频率表示。低频渐近线参考点的确定，有以下三种方法：当ω<ωmin

时，ωo处的对数幅频特性为（1）开环对数幅频低频渐进线的绘制

取频率为ωo=1，则此时ωo处的对数幅频特性为

取频率为，则ωo处的对数幅频特性为K为开环增益现在是42页\一共有140页\编辑于星期三

当遇到一阶微分环节时，交接频率ω=1/T，斜率的变化量为＋20dB/dec；

当遇到惯性环节时，交接频率ω=1/T，斜率的变化量为－20dB/dec；

当遇到振荡环节时，交接频率ω=ωn，斜率的变化量为－40dB/dec；

当遇到二阶微分环节时，交接频率ω=ωn，斜率的变化量为＋40dB/dec；

最小的交接频率表示为ωmin(2)开环对数幅频高频段处交接率及斜率变化规律

斜率的计算公式为：现在是43页\一共有140页\编辑于星期三

例:绘制如下开环传递函数的概略对数幅频特性曲线。第一步：将开环传递函数的表达式化为标准因子的形式，也就是将开环传递函数写为若干典型环节的形式：第二步：按照从小到大的顺序确定高频段各交接频率、各交接频率处的斜率变化及最小交接频率：掌握一阶与二阶环节交接频率处的斜率变化规律第三步：绘制低频段的渐进线：确定低频段的斜率与参考点第四步：对数幅频特性曲线现在是44页\一共有140页\编辑于星期三

例:绘制如下开环传递函数的概略对数幅频特性曲线。第一步：将开环传递函数的表达式化为标准因子的形式，也就是将开环传递函数写为若干典型环节的形式：第二步：按照从小到大的顺序确定各交接频率、各交接频率处的斜率变化及最小交接频率：现在是45页\一共有140页\编辑于星期三

最小交接频率为第二步：按照从小到大的顺序确定各交接频率、各交接频率处的斜率变化及最小交接频率：交接频率斜率变化典型环节的类型交接频率与系数的关系-20dB/dec+20dB/dec-40dB/dec现在是46页\一共有140页\编辑于星期三

k=-20vdB/dec=-40dB/dec，v是开环系统中积分环节的个数第三步：绘制低频段的渐进线(确定低频段的参考点与斜率)

这里取频率为ωo=1，则此时的对数幅频特性为因此，参考点坐标为(1,20)

低频段渐近曲线为过(1,20)点画-40dB/dec的直线。

首先确定低频段渐进曲线参考点的坐标

其次确定低频段渐进曲线的斜率现在是47页\一共有140页\编辑于星期三

一、(1,20)二、-40三、-60四、=2五、-40六、=20七、-801、低频段参考点(1,20)以及斜率-40惯性环节交接频率其后斜率变化-20dB/dec-40dB/dec振荡环节非最小相位一阶微分环节+20dB/dec2、高频段各交接频率及斜率变化验证对数幅频特性曲线的依据：高频渐近线的斜率为-20(n-m)dB/dec现在是48页\一共有140页\编辑于星期三§5.2.5最小相位系统、非最小相位系统

根据零、极点在s平面上分布情况的不同，函数G(s)可分为最小相位系统、非最小相位系统。最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中没有右极点、右零点的系统。非最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中有右极点或右零点的系统或者系统带有延迟环节。现在是49页\一共有140页\编辑于星期三最小相位系统特点在具有相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范围在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围都大于最小相位传递函数的相角范围。对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。－20dB/dec————－900－40dB/dec————－1800－60dB/dec————－2700现在是50页\一共有140页\编辑于星期三

设系统（或环节）的传递函数分母多项式阶次位n，分子多项式的阶次为m（n≥m），系统串有v个积分环节，则对于最小相位系统，当ω→∞时，对数幅频特性渐近线的斜率为－20(n-m)dB/dec，相频特性的相位趋于－90º(n-m)；而当ω→0时相角等于－v*90º，根据上述特征可以判断系统是否为最小相位系统。

对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在唯一确定的关系，即根据系统的对数幅频特性就可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。因此，从系统建模与分析设计角度看，只要详细绘出幅频与相频两者中的一种就足够了，由于对数幅频特性很容易绘出，故对于最小相位系统通常只画出它的对数幅频特性，而对相频特性可以只画简图，或者不画。注意最小相位系统的判别方法现在是51页\一共有140页\编辑于星期三§5.2.6根据频率特性曲线确定系统传递函数

由于系统频率特性是线性系统（环节）在正弦输入信号下的响应特性，因此由传递函数可以得到系统（环节）的频率特性。反之，由频率特性也可以求得相应的传递函数。有许多系统的物理模型很难抽象得很准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求出。对于这类系统，可以通过实验测出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传递函数。对于最小相位系统（环节）而言，一条对数幅频特性曲线只能有一条对数相频特性曲线与之对应，因此只需用对数幅频特性曲线就可以求出系统（环节）的传递函数。现在是52页\一共有140页\编辑于星期三1.对于0型系统系统现在是53页\一共有140页\编辑于星期三1-6012.对于I型系统系统现在是54页\一共有140页\编辑于星期三113.对于II型系统系统现在是55页\一共有140页\编辑于星期三

例1：给定如图所示的最小相角系统的对数幅频曲线L(ω)，求系统的开环传递函数G(s)H(s)

。-200L(ω)20[+20][-20]00.3301.

由低频段曲线的斜率-20vdb/sec确定积分环节的个数v,以及参考点(ω,20lgk-20vlgω)确定比例环节的系数k。也就是说：系统的开环传递函数中不存在积分环节。低频段的参考点(ω,20lgk-20vlgω)怎么找？56现在是56页\一共有140页\编辑于星期三

例1：给定如图所示的最小相角系统的对数幅频曲线L(ω)，求系统的开环传递函数G(s)H(s)

。-200L(ω)20[+20][-20]00.3302.由高频段曲线的交接频率确定各环节的系数。0.320交接频率斜率变化30-40典型环节的类型系数与交接频率的关系57现在是57页\一共有140页\编辑于星期三

例1：给定如图所示的最小相角系统的对数幅频曲线L(ω)，求系统的开环传递函数G(s)H(s)

。-200L(ω)20[+20][-20]00.3302.由高频段曲线确定各环节联系与系数：由低频段曲线可知积分环节的个数v=0与比例环节的系数k=0.1因此，系统的开环传递函数G(s)H(s)为：现在是58页\一共有140页\编辑于星期三§5.3

频率域稳定判据系统稳定的充要条件—全部闭环极点均具有负的实部

由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性；

不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题。代数稳定判据—Ruoth判据

由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性，开环频率特性可部分实验求取，无需求出闭环极点；

便于研究系统参数和结构的改变对稳定性的影响；

可以研究包含延时环节的稳定性；可以推广到非线性研究。频域稳定判据—Nyquist

判据

对数稳定判据特点现在是59页\一共有140页\编辑于星期三在s平面上除有限个孤立奇点外函数处处解析，则在s平面上任选一复数s，通过复变函数F(s)

的映射关系在F(s)

平面上可以找到s相应的象（在s平面中，F(s)及其导数存在—解析的；F(s)及其导数不存在—奇点，显然对F(s)，p1、p2……pn是其有限个奇点）。若在F(s)

的零－极点分布图上，选择A点，使s从A点开始移动，绕F(s)的零点zi

顺时针依曲线s（

s不通过任何零极点）转一周回到A，相应地，F(s)也可从

B

点出发回到

B，也画出一条封闭曲线

F。§5.3.1奈氏判据的数学基础1.幅角原理（映射原理）现在是60页\一共有140页\编辑于星期三若s依s变化时，F(s)

相角的变化为则有As

sB

FF从图中可以看出，除之外，其它各项均为零。δ∠F(s)=

-2π

表示

s的象F

从

B

点开始再回到

B点绕着原点顺时针转了一圈。现在是61页\一共有140页\编辑于星期三幅角定理：

若s平面闭合曲线

s

包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s依

s顺时针旋转一圈时，在F(s)平面上，F(s)闭合曲线

F包围原点的圈数R为P与Z之差，即R=P-Z。同理，若

s绕F(s)的极点顺时针转一圈时，在F(s)上s的象

F绕原点反时针转一圈。As

sB

FF其中：R<0，表示

F顺时针包围F(s)

平面的原点；

R>0，表示

F逆时针包围F(s)

平面的原点；

R=0，表示不包围F(s)

平面的原点。现在是62页\一共有140页\编辑于星期三F(s)零点为闭环传递函数的极点，F(s)极点为开环传递函数的极点；开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，F(s)零极点个数相同；F(s)

和G(s)H(s)

只差常数１。设则定义一个辅助函数辅助函数F(s)有如下特点2.辅助函数F(s)的选择现在是63页\一共有140页\编辑于星期三F(s)

函数的特点现在是64页\一共有140页\编辑于星期三3.s平面闭合曲线（奈氏路径）的选择顺时针方向包围整个s右半面。由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。现在是65页\一共有140页\编辑于星期三设：——闭环系统特征多项式显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点§5.3.2奈奎斯特（Nyquist）稳定判据

闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从-∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆时针包围（-1，j0）点P圈。

P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；

R——G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数；

Z——闭环系统位于s右半平面的极点数。

Z=0，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。

若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j0）点。奈氏判据现在是66页\一共有140页\编辑于星期三例：已知某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，系统开环不稳定P=1，试分析系统稳定性。

由ω=0+→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线，根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)H(jω)的曲线，得到一封闭曲线。解：G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线逆时针包围（-1，j0）点一次，即R=1。Z=P-R=0，故闭环系统稳定。现在是67页\一共有140页\编辑于星期三例：已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。系统开环稳定，即P=0，从图中看到ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。解：现在是68页\一共有140页\编辑于星期三说明:

如果开环传递函数G(s)H(s)含有ν个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作辅助处理，即由ω=0+→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线，根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)H(jω)的曲线，然后从ω=0-开始，对应的G(jω)H(jω)以无穷大为半径，按顺时针方向绕过角度，与ω=0+曲线相接，成为封闭曲线，按照奈氏判据判定稳定性。现在是69页\一共有140页\编辑于星期三

由ω=0+→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线，根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)H(jω)的曲线，从ω=0-到ω=0+以无限大为半径顺时针转过π，得封闭曲线。例：系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解：现在是70页\一共有140页\编辑于星期三当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线穿越(-1，j0)点，系统处于临界状态。可见：当ω由-∞→+∞变化时，当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即N=-2，而开环系统稳定，即P=0，所以闭环系统右极点个数Z=P-N=2，闭环系统不稳定，有两个闭环右极点。

现在是71页\一共有140页\编辑于星期三Nyquist稳定判据穿越法穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)

点左边实轴时的情况。正穿越：ω增大时，Nyquist曲线由上而下(相角增加)穿过-1~-∞段实轴，用表示。G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。负穿越：ω增大时，Nyquist曲线由下而上（相角减少）穿过

-1~-∞段实轴，用表示。正穿越负穿越现在是72页\一共有140页\编辑于星期三例：现在是73页\一共有140页\编辑于星期三半次穿越：若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。

+1/2次穿越-1/2次穿越现在是74页\一共有140页\编辑于星期三Nyquist稳定判据：当ω由0变化到+∞时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时(P为系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。

若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0。注意：这里对应的ω变化范围是。现在是75页\一共有140页\编辑于星期三P=0P=2开环稳定闭环稳定开环不稳定闭环稳定注意：分析G(jω)H(jω)轨迹穿越(-1,j0)点以左的负实轴。例：两系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知其开环极点在s右半平面的分布情况，试判别系统的稳定性。解：现在是76页\一共有140页\编辑于星期三例：已知某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，系统开环不稳定P=1，试分析系统稳定性。N=N+-N-=1/2Z=P-2N=1-1=0闭环系统稳定。解：P=1现在是77页\一共有140页\编辑于星期三

如果开环传递函数G(s)H(s)含有ν个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作辅助处理，即从G(j0+)H(j0+)点起按逆时针方向以无穷大为半径作圆心角为的圆弧，按照奈氏判据判定稳定性。说明:现在是78页\一共有140页\编辑于星期三

例：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。

(a)(b)

解：(a)N=N+-N–=（0-1）=-1，P

=0，故

Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。

(b)K>1时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，P=1，故

Z=P-2N=0，闭环系统稳定；

K<1时，N

=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P

=1，故

Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；

K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，闭环系统不稳定。现在是79页\一共有140页\编辑于星期三§5.3.3对数频率稳定判据

奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的，而作奈氏图一般都比较麻烦，所以在工程上一般都是采用系统的开环对数频率特性来判别闭环系统的稳定性的，这就是对数频率判据。1.Bode图与Nyquist图之间的对应关系

Nyquist图上以原点为圆心的的单位圆

Bode图幅频特性上的0dB线单位圆以外Bode图L(ω)>0的部分；单位圆内部Bode图L(ω)<0的部分；L(ω)在ωc处穿越0dB线，称ωc为穿越频率。

Nyquist图上的负实轴

Bode图相频特性上的φ(ω)=－1800线

奈氏图上的(-1,j0)点便和伯德图上的0dB线及-180°线对应起来。现在是80页\一共有140页\编辑于星期三Nyquist图与Bode图的对应关系现在是81页\一共有140页\编辑于星期三正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时从下向上穿越－180°线；负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线。-+(-1,j0)点以左实轴的穿越点

Bode图L(ω)>0范围内的与－180°线的穿越点

现在是82页\一共有140页\编辑于星期三2.Bode图上的稳定判据

闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变到+∞时，在开环对数幅频特性L(ω)≥0的频段内，相频特性φ(ω)穿越-π线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开环极点数。Nyquist图Bode图

若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件是：在L(ω)≥0的频段内，相频特性φ(ω)在-π线上正负穿越次数代数和为零，或者不穿越-π线。现在是83页\一共有140页\编辑于星期三例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。正负穿越数之差（N+-N-）为1Z=P-2N=2-2=0系统闭环稳定P=2解：现在是84页\一共有140页\编辑于星期三例：开环特征方程无右根，P=0，试判定闭环系统的稳定性。正负穿越数之差为0系统闭环稳定P=0解：现在是85页\一共有140页\编辑于星期三注意闭环系统不稳定闭环系统稳定有误！当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧。N的最小单位为二分之一。3.现在是86页\一共有140页\编辑于星期三4.条件稳定系统

若开环传递函数在右半s平面的极点数P=0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。现在是87页\一共有140页\编辑于星期三§5.4稳定裕度K值较小时，系统稳定；K值较大时，系统不稳定的；K取某个值时，Nyquist曲线通过

(-1,j0)点，系统处于临界稳定状态。可见：系统Nyquist曲线与实轴交点坐标离(-1,0j)点的距离，可作为表征系统相对稳定性的一个指标。通常用相角裕度

和幅值裕度h表示系统稳定裕度(开环频率指标)。不同K值时系统的Nyquist图现在是88页\一共有140页\编辑于星期三§5.4.1相角裕度γ定义：相角裕度γ是指G(jω)H(jω)曲线上模值等于1（ω为开环截止频率ωc）的矢量与负实轴的夹角。

c——Nyquist曲线与单位圆交点处(此处幅值为1）的称为截止频率(又称剪切频率)，记为c

。相角裕度

含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大度，则系统处于临界稳定状态。稳定系统的>0,越大,系统相对稳定性越高。G(jω)H(jω)现在是89页\一共有140页\编辑于星期三现在是90页\一共有140页\编辑于星期三Bode图中相当于20lg|G(jω)H(jω)|=0处的相频∠GH与-180°的角差。c——L(j)与0分贝线的交点；g——(j)与-π的交点。现在是91页\一共有140页\编辑于星期三§5.4.2幅值裕度h定义：Nyquist曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕度(增益裕度)，记为h，

即h=1/|G(jωg)H(jωg)|。

g——Nyquist曲线与负实轴交点处的称为相角穿越频率,

记为g

（）。

含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。G(jω)H(jω)

系统稳定，则h>1、>0。系统在方面的稳定储备量幅值相角现在是92页\一共有140页\编辑于星期三h(dB)大于0，则幅值裕度为正值，系统稳定。h(dB)小于0，则增益裕量为负值，系统不稳定。以分贝表示时一般要求现在是93页\一共有140页\编辑于星期三Nyquist图中稳定系统和不稳定系统的相角裕度和幅值裕度现在是94页\一共有140页\编辑于星期三相角裕度和幅值裕度的几点说明控制系统的相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。对于稳定的最小相位系统，幅值裕度指出了系统在不稳定之前，幅值能够增大多少。对于不稳定系统，幅值裕度指出了为使系统稳定，幅值应当减少多少。严格地讲，只用幅值裕度或相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。但在粗略地估计系统的暂态指标时，有时主要用相角裕度提出要求。现在是95页\一共有140页\编辑于星期三对于最小相位系统，只有当相位裕度和幅值裕度都是正值时，系统才是稳定的，负的裕度表示系统不稳定。

适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响。为了得到满意的性能，相位裕度应当在30°～与60°之间，增益裕度应当大于6dB。现在是96页\一共有140页\编辑于星期三稳定裕度的概念(开环频率指标)稳定裕度的定义稳定裕度计算方法的几何意义截止频率相角裕度相角穿越频率幅值裕度的物理意义稳定裕度的意义小结现在是97页\一共有140页\编辑于星期三解：绘制出开环系统的对数幅相特性曲线系统的开环放大倍数为10，转折频率为

ω1=1，ω2=100。

L(1)=20lg10=20dB20例：某系统如图所示，试分析该系统的稳定性并指出相位裕度和幅值裕度。现在是98页\一共有140页\编辑于星期三由图中可知：在L(ω)=20lg|G(jω)|>0的范围内，∠G曲线没有穿越-180°线，且P=0，所以闭环系统稳定。

γ=180°+∠G(j10)=78.7°h→∞现在是99页\一共有140页\编辑于星期三例：单位反馈控制系统开环传递函数求当K=10，K=100时的相位裕度和增益裕度。解：现在是100页\一共有140页\编辑于星期三解：例：单位反馈控制系统开环传递函数试确定使相角裕量γ=45°时的a

值。现在是101页\一共有140页\编辑于星期三例：一单位反馈系统的开环传递函数为解：即相位穿越频率幅值裕度求：K=1时系统的相角裕度和幅值裕度；调整K

使系统的增益裕度为20dB，相位裕度。现在是102页\一共有140页\编辑于星期三幅值裕度：根据K=1时的开环传递函数相角裕度幅值穿越频率剪切频率现在是103页\一共有140页\编辑于星期三

由题意知现在是104页\一共有140页\编辑于星期三验证是否满足相位裕度的要求。可见，K=2.5就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。

根据的要求，则得：K＝1,2.5,5.2时的对数频率特性参见下图。

现在是105页\一共有140页\编辑于星期三K＝1,2.5,5.2时的相角裕度和幅值裕度现在是106页\一共有140页\编辑于星期三

对单位负反馈控制系统，其开环、闭环传递函数的关系为系统开环传递函数的结构和参数，决定了闭环传递函数的结构与性能。在系统的时域分析中，用时域指标(如σ,ess,ts等)来评价系统的性能，但对于系统分析与设计，采用频率特性法更为直观、方便。因此，有必要讨论频率特性与时域指标间的关系。

用开环频率特性分析闭环系统性能时一般将开环频率特性分成低频、中频和高频三个频段来讨论。§5.5开环频率特性与时域指标的关系现在是107页\一共有140页\编辑于星期三开环频率特性的三个频段

现在是108页\一共有140页\编辑于星期三

各频段分界线没有明确的划分标准；与无线电学科中的“低”、“中”、“高”频概念不同；不能用是否以-20dB/dec过0dB线作为判定闭环系统是否稳定的标准；只适用于单位反馈的最小相角系统。关于三频段理论的说明现在是109页\一共有140页\编辑于星期三

低频段特性曲线低频段通常是指L(ω)曲线在第一个转折频率以前的区段。此段的特性由开环传递函数中的积分环节和开环放大系数决定。设低频段对应的开环传递函数为对应的数幅频特性为可知，低频段开环对数频率特性曲线是一条斜率为-20vdB/dec的直线。1.低频段与稳态精度现在是110页\一共有140页\编辑于星期三幅频特性与0dB线交点处为v=1v=2v=3放大系数K与低频段高度的关系

现在是111页\一共有140页\编辑于星期三低频段特性与稳态精度

系统稳态精度，即稳态误差ess的大小，取决于系统的放大系数K(开环增益)和系统的型别(积分个数ν)；积分个数ν决定着低频渐近线的斜率；放大系数K决定着渐近线的高度。

0型系统(ν=0)：L(ω)=20lgK。

Ⅰ型系统(ν=1)：L(ω)=20lgK－20lgω。

Ⅱ型系统(ν=2)：L(ω)=20lgK－40lgω。现在是112页\一共有140页\编辑于星期三Bode图上的稳态误差系数

0型系统通过低频段高度L(0)=20lgKp（dB）,可求出：Kp=10L(0)/20。现在是113页\一共有140页\编辑于星期三I型系统（稳态速度误差系数）有两种情况②低频段或低频段延长线与0dB线相交，则交点处的频率ω=Kv①低频段或低频段渐近线的延长线在ω=1时的幅值为20lgKv。vKw=现在是114页\一共有140页\编辑于星期三II型系统（稳态加速度误差系数）有两种情况①低频段或低频段渐近线的延长线在ω=1时的幅值为20lgKa。②低频段或低频段延长线与0dB线相交，则交点处的频率aKw=现在是115页\一共有140页\编辑于星期三例：设一单位反馈系统对数幅频特性如图所示(最小相位系统)。求：(1)写出系统的开环传递函数；

(2)判别系统的稳定性；

(3)如果系统是稳定的，则求r(t)=t的稳态误差。解：(1)由图得K的确定有二个方法

(a)

由积分环节的延长线与0dB的交点（ω=10）确定K=10

(b)积分环节的延长线与ω=1的垂直线交点确定积分环节向上平移的分贝数20dB，根据20logK=20dB确定K=10现在是116页\一共有140页\编辑于星期三系统的对数频率特性10-310-210-1100101102-40-20020406080-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB10现在是117页\一共有140页\编辑于星期三

(2)

由于是最小相位系统，因而可通过计算相角裕度是否

大于零来判断系统的稳定性。由图可知ωc=1

在ωc处则得>>0∴系统稳定(3)单位斜坡输入时，系统的稳态误差为现在是118页\一共有140页\编辑于星期三2.中频段与动态性能

中频段特性曲线中频段是指L(ω)线在穿越（截止）频率ωc附近的区域。对于最小相位系统，若开环对数幅频特性曲线的斜率为-20νdB/dec，则对应的相角为-90°×ν。中频段幅频特性在ωc处的斜率，对系统的相位裕量γ有很大的影响，为保证相位裕量γ>0，中频段斜率应取-20dB/dec，而且应占有一定的频域宽度。现在是119页\一共有140页\编辑于星期三以－20dB/dec斜率穿越0dB线，系统稳定。以－40dB/dec斜率穿越0dB线，系统可能稳定。以－60dB/dec斜率穿越0dB线，系统不稳定。现在是120页\一共有140页\编辑于星期三

高频段通常是指L(ω)曲线在ω>10ωc以后的区域。由于高频段环节的转折频率很高，因此，对应环节的时间常数都很小，而且随着L(ω)线的下降，其分贝数很低，所以对系统的动态性能影响不是很大。

高频段对数幅频特性L(ω)线的高低反映了系统抗高频干扰的能力。

L(ω)线越低，系统的抗高频干扰的能力越强，即高频衰减能力强。3.高频段与动态性能现在是121页\一共有140页\编辑于星期三中频段三频段理论高频段低频段对应性能希望形状L(w)系统抗高频干扰的能力开环增益K系统型别v稳态误差ess截止频率ωc相角裕度

g动态性能陡，高缓，宽低，陡频段

三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向。小结

对于最小相位系统，系统的开环对数幅频特性直接反映了系统的动态和稳态性能。现在是122页\一共有140页\编辑于星期三综上所述

对于最小相位系统，系统的开环对数幅频特性直接反映了系统的动态和稳态性能。为设计一个合理的控制系统提出了如下要求：低频段的斜率要陡，增益要大，则系统的稳态精度高。中频段以斜率-20dB/dec穿越0dB线，且具有一定中频带宽，则系统动态性能好。要提高系统的快速性，则应提高穿越频率ωc。高频段的斜率要比低频段的斜率还要陡，以提高系统抑制高频干扰的能力。现在是123页\一共有140页\编辑于星期三§5.6

闭环系统的频域性能指标研究闭环频率特性的必要性闭环频率特性的一些特征量在实际工程中应用十分广泛；

通过实验方法很容易得到系统的闭环频率特性；通过闭环频率特性可以估算系统的性能指标。现在是124页\一共有140页\编辑于星期三§5.6.1闭环频率特性曲线绘制的方法

1.等M圆图设系统开环频率特性

整理得—等M圆方程（X、Y均为实数）则系统闭环频率特性

现在是125页\一共有140页\编辑于星期三整理得—等N圆方程2.等N圆图设系统开环频率特性

（X、Y均为实数）则系统闭环频率特性

其实，对于给定的φ的N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。同时，由于φ与

的正切值相同，N圆对应的φ具有多值性。现在是126页\一共有140页\编辑于星期三

应用相同的比例尺，将等M圆和等N圆绘制在透明片上，然后把它覆盖在以相同比例尺绘制的系统开环Nyquist图上，Nyquist图与等M圆和等N圆的交点所对应的幅值与相角由M圆和等N圆的参数决定，对应的频率由开环Nyquist图决定，即可求出闭环频率特性。闭环频率特性的绘制现在是127页\一共有140页\编辑于星