大学高数试卷及答案

大学高数试卷及答案共共12页第#页=limxf0sec2x-1=limxf01-C0S2x3x24分2cosxsinx16分=lim =- 6分TOC\o"1-5"\h\zxf0 6x 3四、计算下列导数或微分（每小题分6,共18分）.设函数y二(2一x)2+ln(ex+J1+e2x),求半与dy.dxy，=-2(2-x)+-4= 4 分解： \；1+e2xexdy=[-2(2-x)+ ]dx 6分\：1+e2x.设y=f(x)是由方程arctanx=In,:'x2+y2确定的隐函数，求dy.y dx2解：方程两边同时对变量x求导并化简可得：y-xy1=x+yy,从而得到：y=y~x， 2 分y+x上式继续对变量x求导可得：y'-y'-xy"=1+y,y'+yy 4分化简上式并带入y可得：y-=-2(x2+y2) 6分(y+x)3.计算函数y=(—)x的一阶导数.1+xx解：两边同时取对数得：Iny=xln( )=x[lnx-ln(1+x)] (2分)1+xy' 1 1x1 ,两边同时对x求导得：一=[Inx-ln(1+x)]+x[— ]=In + (5y xx+1 x+1x+1分)从而得y'=y[ln-^―+—1—]=xln()[ln-x-+—1—] (6分)x+1x+1 1+x x+1x+1五、(本题6分)求函数y=(x-5)3；x2的凹凸区间与拐点.5(2x5(2x+1)9Vx4解：函数的定义域为（一叫+8）,y'=5x」,y3fx

12分(-2，0)+D%=一于y=0,x=0,v2分(-2，0)+D0(0,+8)+DTOC\o"1-5"\h\z可知y=(x一―)3.x2函数y=(x—5)3x2在(一-L,0)和(0,+8)上是凹的，在2 21 1 3_(—8,—-)内是凸的，拐点为(—-,—33,2). 6分2 22六、(本题6分)设函数f(x)在(—8,+8)上二阶可导，函数g(x)=["x2+bx+cx>0，试确定常[f(x) x<0数”,b,c的值，使得函数g(x)在x=0点二阶可导.解：因为g(x)在x=0点二阶可导，所以，g(x)在x=0点一阶可导、连续。由g(x)在x=0点连续可得：limg(0)=f(0)=limg(0)=c，从而c=f(0) 2x—0- x-0+分由g(x)在x=0点可导可得：g1(0)=f1(0)=g1(0)=lima"x+"x+c_f(2=b，从- + x-0+ x-0而b=f1(0) 4 分f2ax+bx>0从而可知：g'(x)"Lf1(x)x<0又由g(x)在x=0点二阶可导可得：g"(0)"f"(0)"g"(0)二lim2a+b一f'(0)=2a，从而2a二f"(0) 6 分— + x-0+ x—0七、(本题5分)证明：当x>0时，1+xln(x+<1+x2)>\：1+%2.TOC\o"1-5"\h\z证明：令f(x)=1+xln(x+飞1+x2)-\：1+x2，则f(0)=0 1分因为f(x)=ln(x+v1+x2)>0，从而f(x)在x>0时单调递增， 3分从而f(x)>f(0)=0，从而1+xln(x+\；1+x2)>11+x2 5分八、(本题5分)设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证:必存在一点■(0,3)，使得f也)=0.证明：因为函数f(x)在［0,3］上连续，从而函数f(x)在［0,2］上连续，故在［0,2］上有最大值和最小值，分别设为m,M，于是mSf(0)+f(1)+f⑵工M，・…・•…2分3从而由介值定理可得，至少存在一点ce［