代数式与恒等变形

第5讲爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形.恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算.恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）.恒等式证明的一般方法：单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向.双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式.3.运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0〃或左边=1（右边NO）”，可得左边d右边.3.4.运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1求证：3n+2—2n+2+2X5n+2+3n—2n=10（5n+1+3n—2n-1）.◎旅熠对同底数幂进行合并整理，解方法一：左边=2X5X5n+1+(3n+2+3n)+(—2n+2—2〃)=10X5n+1+3n(32+1)—2n-1⑵+2)=10X5n+1+10X3n—10X2n-1=10(5n+1+3n—2n—1)=右边，方法二：左边=2X5n+2+3n(32+1)—2n(22+1)=2X5n+2+10X3n一5X2n.右边=10X5n+1+10X3n—10X2n-1=2X5n+2+10X3n一5X2n.故左边=右边.鼠m方法一中受右边“5n+1、3n、2n-1”的提示，对左边式子进行合并时，以5〃+1、3〃与2n—1为主元合并，迅速便捷.(■顼压斐！读一题，练3题，练就解题高手1-1.已知a+b+c=0,求证：a3+b3+c3=3abc.1-2.已知x+j+乙=xyz,证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz.[I—[I•-1-3.证明：％'2+、：3f2+%2+温3.2+*2+\；2+3.1：2-上：2+<2+方=1.题21+2+3+…+100=?经研究，这个问题的一般结论是1+2+3+•••+n=；n(n+1),其中，n为整数，现在我们来研究一个类似的问题：x2+2x3+...+nx(n+1)=?观察下面三个特殊的等式：x2=3(1x2x3-0x1x2);x3=3(2x3x4-1x2x3);x4=|(3x4x5-2x3x4);将这三个式子两边相加(累加)，可得1x2+2x3+3x4=^x3x4x5=20.3读完这段材料，请您思考回答：1x2+2x3+…+100xm=1x2+2x3+…+n(n+1)=1x.2x3+2x3x4.+•••+n(n+1)(n+2)=(只写出结果，不必写出中间的过程)以k翠京翁分析此题可得到如下信息：100x101=3(100x101x102-99x100x101);n(n+1)=3[n(n+1)(n+2)一(n一1)n(n+1)];解(1)1x2+2x3++]00x101=!(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3++100x101x1032-99x100x101)=3x100x101x102=343400;(2)由类比思想知x2+2x3++n(n+1)=3n(n+1)(n+2).1x2x3=^(1x2x3x4-0x1x2x3),4x3x4.=4(2x3x4x5-1x2x3x4),n(n+1)(n+2)=1[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]4贝1x2x3+2x3x4+…+n(n+1)(n+2)=1n(n+1)(n+2)(n+3).4击展探究】11在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如仍+弟+…+1n111=,=+—=++.n(n+1)n+11+、：22+%：3yn+%：n+1=眼n+1—1,1+3+5++(2n—1)=n2.rrsjEia读一题，练3题，练就解题高手2-1.已知n是正整数，P3,y)是反比例函数y=—图象上的一列点，其中工=1,工=2,…,工=几nnnX12n记T=xy,T=xy,…,T=xy-若T=1,则TT・・・T的值是11222399101129I.我们把分子为1的分数叫做单位分数，如导，4,…，任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，1111111

如一=—+一，一=一+—,——-23-634124511=—+,,；20根据对上述式子的观察，你会发现m=日+—,请写出口,。所表示的数；I1X-X，111——,进一步思考，单位分数一(n是不小于2的正整数)二^+―请写出△,*所表示的代数式，并加以验n△*证.2-3.已知a,a,…a都是正数，M=(a+a+…+a)(a+a+…+a),N=<a+a+…+12200912200823200912a)(a+a+a).试比较M与N的大小.2008生活数，题3已知土^b+\=:+口、,a,b,c互不相等，求证8a+9b+5c=・0.a—b2(b—c)3(c—a)a+bh+cC+a7本题可设g=寸=E=*,然后求解.a+bb+c设=a—b2(b—c)c+ai=k,3(c—a)贝ga+b=k(a—b),.c=2k(b—c),c+a=3k(c—a).故6(a+b)=6k(a—b),3(b+c)=a(b—c),2(c+a)=6k(c—a).以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a—b—c+c—a).即8a+9b+5c=0.盛矗：忌路本题运用了连比等式设参数k的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，f•成迥•.:读一题，练1题，决出能力高下3a+3a+2b-52b+c+13-1.已矢口=a-bk-23b+2c-8c一3a+2a+2b+3c一2=2,则2c+a—64a—3b+c+7题4证明(y+z一2x)3+(z+x一2y)3+(x+y—2z)3=3(y+z一2x)-(z+x一2y)(x+y—2z).笔*策疝船本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法.解令y+z一2x=a,①z+x一2y=b,②x+y一2z=c,③则原待证恒等式转化为a3+b3+c3=3abc.联想到公式a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2一ab一bc一ca).由①+②+③，得a+b+c=(y+z一.2x)+(z+x一2y)+(x+y一2z)=0.故a3+b3+c3—3abc=0,即a3+b3+c3=3abc.原式得证.通惹龄换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点.mm读一题，练mm读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l的各项幂表示x3—2.x2+3x—1.4-2.已知2005x2=2007y2=2009z2,x>0,y>0,z>0且1+1+1=1.xyz求证：\.2005x+2007y+2009z=*'顼5+、顼7+*2009.x一232x一34-3.解方程:TOC\o"1-5"\h\z—=—•4-3.解方程:x一2x一32111「题5设x,y,z互为不相等的非零实数，且x+=y+—=z+—求证：x2y2z2=1yzx上圣*由于结论为“x2y2z2=T'的形式，可以从题设式中导出X，y，z乘积的形式xy，yz，zx解由x+1=y+-1,变形可得yx

yz则yz—-~--①x—yyz同理可得zx—二,②y—z由①X②X③，得X2y2z2—1.本题中x，y,z具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x,y为互不相等的非零实数，且X+-—y+-1,易推出X—y—-—1,故有xy———1,所以x2y2—1,三元与二元情形类TOC\o"1-5"\h\zyxxyx—y似.妒疝膏@读一题，练3题，冲刺奥数金牌1,11175-1若实数x，y，z满足x+—=4,y+—=1,z+—=厂，则xyz=yzx35-2.已知x=—(、5+1'3),y=—(i'5—、：3),求x2+6xy+y2的值.1711,15-3.已知实数a，b，c，d互不相等，且a+—b+c+=d+x,试求x的值，bcdaa2a2a2题6已知y=a——,z=—,求■证：x=a—-xyz混澎戳舂由待证式x=a-az2知要从题设条件中消去y.a2a2解由已知，得y=a—~x,—a—z两式相乘，得a2=(a—〒)(a•—z),a3a2z即a2—a2—x—az+xaza2所以z=Tr•拓展蹑究a2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由y=a-w,z=a—a2a2了,,到x—a-方,,,发现要消去y这一信息.拓展蹑究(•砌颂读一题，练3题，冲刺奥数金牌,-ab6-1.已知ab=1,求——-+—-的值.a+1b+1_a-bb—cc-a…6-2.设P=,q=,r=,•其中a+b,b+c,c+a不为零.求证：a+bb+cc+a(1+P)(1+q)(1+r)=(1—P)(1—q)•(1—r).6-3.已知a,b,c,d满足a<b,c<d,a+b=c+d=0,a3+b3=c3+•d3.求证：a=c,b=d.参考答案与提示[能力曝浪]1■L方法一：因为/+序知—湖一be—匚a乂+故"，+"+仲一如依=。「即+护士/=为仙\方法二胭为妇七故两边立方」字/厂…(胪+N+3脏首+3龈已\您硬M导+护十尸=一3»仆+心=3蚌方法三=由寸+方+『=。」导cj=—6—代人左张十得JS十〃+H-一+3胪厂+3/+网)斗屏+『=一r)=uUrfib.■.】-*因为了+丫+若=产*打所以*左j£[——妒一./+//)+.T(1—『一点’>+(1—了一―+殆宁Tsr)—T—瑚十才-3妒_+丫件事_牛射一"+/疽=砂L邛('+j)—1充《或+c)—yz(y~bz)-+".r>z<jy+yz+u')=jtj??—jy(rvt—t)—*)—yw(xyz—jt)+ryz(jry+y活+方)=jyw+jj?£+jyz+ljryz=右边・3.枷=Jiz+\.7z+i/^7t*ya-b/S—.1—(2H-Ty)»V^2-h73=%/4—=1：--右边，2-].51.2提示：丁i=/iw+tl「」5=L所以*T•枚k=^ty3=2Xl=2.所以T(7a--1^=1]^-JsJi”…-j^>ioF*]X-|_X2X-^-X3X-|iX*t,X9X,^^j^=51.2.E-2.(!>□表旅的数为&O表示的数为30.&)△表示的代教式为用+1,★表示的代数式为1fh*】,_】_.-■一一一|1m士」一四丹矛十由+DhS+口*3+口-皿[距+])一1V-故—-———|—W?!^+｝十机川+】「2-3.设心4■昭+f"+“E«B=4讷MT&i+&HA+砒网)=ui*力+叫aim+始■思仙N=S|+3+思欧)&=用*白+胪上的Eo».故A4—一乂""…皿硕点是正数.所以M—N＞。,即州＞一耳3L辎-提示|睑十劭一5=2M一”+2)2lj"他一9=山(Dr-3d4-2=2(3r+u-&)=>3c+^-H=O.③联立①(M.解得u-L占-2,r=3.1+4+9-2123_故原式一.§_日_(13+厂82,4-1.设.jt+1=l则Jf=—L故，一盐2+"—1="-1尸一2"—1户+3・一1)一1=尸_沁+iw-7=O+1■一队J•+1)2+)CXt+D-7.42,令2005,zz=L007^-=2009e3=t>0)-Sfli]0C5r=—fZ[>07y=—+200&t=—.TOC\o"1-5"\h\zxyi因吧十『衲/Z眺I■收斗网=：=#k(土+土+土)质-又2005=4^2007=A>2009^-y,x5jrW^72^F7^007+72009=—+-+—=^•T5£所以7200^+2007^+2009^=/2'6o54-/?007+/20C9.df4JT~2JT—3m|.3.今日=一3则以一一i——r.2uv即(g—1)停+客)=。，亦即«+u=0或1.掖^十亨=0成亨，?_1,即5-r-13=O或w(j■—5)=0廊得]=['成工=0或J1=5.经检验均满足原方程-]W5L1提华：因为4=j+—=工+*7]J]KW1___1_.3~jr|7J~3十并了1工7TJ~~所以i(^,r—JI)=j-(4x—3>+7x—3,4F—1W+9=El*.i』h71725t1i3从(itj2=y-—=2—5・故x,yE=yXl-X-|-=I.2.由已知甫了+尸后耳一七.故J^+6xy4>2=(x4-5-V4-4x^=<y5)2+4Xy=7.5-3.由已知*有「1"②③④

：&⑤代人①,得「=］产士？⑥椅⑥tU③.堂艾M+土7，即-I)jrr-(2d-i/)x+^+l=0.⑦由④式帛冲+1=口，代入⑦式甫(』一丘…0.由巳知.祢』一皿¥。,故，一打一"若lSA!由隅可褂h=g与巳卸矛盾.故j-2=2tj=±祯P('注：这■样的ciE.f*』策存衣■的)S-L由M=R得<!=+.I.理i巧_.点：尸一了-班间E十两=T77顽一顽或+1T+1&1士,=1+斗■羯汀一，=1一琴-品，I司理1*=金，1”备]+r=2cr+«