概率论与数理统计：边缘分布

边缘分布一、边缘分布函数1定义：二维随机向量(X,y)作为一个整体，有分布函数F(x,y),其分量X与y都是随机变量，有各自的分布函数，分别记为F(x),F(y)分别称为X的边缘分Xy布函数和Y的边缘分布函数；称(X,y)为的联合分布函数。2求法：同理F(y)=P[Y<y}=P{X<+8,y<y}=limF(x,y)=F3,y)y X-+8注：x与y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量x或y的分布函数。称其为边缘分布函数的，是相对于(x,y)的联合分布而言的。同样地，(x,y)的联合分布函数f(x,y)是相对于(x,y)的分量x与y的分布而言的。例1:设二维随机变量(x,y)的联合分布函数为解：⑴.由分布函数的性质，得1=F(+8,+8)=A(B+lfC+邛V2八27二、离散型随机变量的边缘概率分布1边缘分布函数对于二维离散型随机变量(X,y)，已知其联合概率分布为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P{X=x,y=y}=P(i,j=1,2,)，其分布函数为F(x,y)=££pi jij ijxi<xyj<y则它关于X的边缘分布函数为F(x)=F(x,+8)=Z£pX ijx<xj=1\o"CurrentDocument"它关于Y的边缘分布函数F(y)=F(+8,y)=££py iji=1yj<y2边缘概率分布随机变量X的概率分布3已知联合概率分布求边缘概率分布X以及y的边缘概率分布可由下表表示

三、连续型随机变量的边缘概率密度TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"上式表明：X是连续型随机变量，且其密度函数为：/⑴」+8/（心）办,X -00dy同理，由尸（y）=?｛丫&y｝=/（也，y）=J于/G，y）dxYdy—00 —00y是连续型随机变量，且其密度函数为了⑴」y）dxY 一8称/（X）为（X,y）关于y的边缘概率密度Y例2:设（x,y）服从有界区域G上的均匀分布，其中G是由X轴，y轴及直线三十）=1所围成的三角形区域求（XI）关于X和丫的边缘概率密度2f解：区域G的面积为解：区域G的面积为1,所以（x,y）的概率密度为f（x,y）1,0,(x,y)eG,

其他则（XI）关于X的边缘概J1-：0

0,XdyJ1-：0

0,其他.（x,y）关于丫的边缘概、(y)=Pv(x,y)dx=丫 7f2(1-v)dx=2(l-y),、(y)=Pv(x,y)dx=丫 70, 其他.例3;设二维随机变量（X,y）在区域G=｛（x,y）\0<x<l,x2<y<x]解：（XI）的概率密度卜6dy卜6dy=6(工一工2),0<x<1,0： 其他.虽然（X,丫）的联合分布是在G上服从均匀分布，但是它们的边缘分布却不是均匀分布。四、二维正态分布若二维随机变量（x,y）具有概率密度其中|Ll,|Ll,O,O,p均为常数，且o>0,o>0,1pk1-则称（x,y）服从参数为12 12

目,目，0,0,P的二维正态分布.记成（XI）〜N（四,从,a,o,p）1212 1212例4：设（XI）〜N⑴,从，o,0,P）求X和I的边缘概率密度1212解：由f(x)=「f(解：由f(x)=「f(x,y岫得f(x)= eX- X ”2兀02012.1注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数p,亦即对给定的目,