振动力学梁的横向振动演示文稿

振动力学梁的横向振动演示文稿现在是1页\一共有48页\编辑于星期三（优选）振动力学梁的横向振动.现在是2页\一共有48页\编辑于星期三梁的横向振动

仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。现在是3页\一共有48页\编辑于星期三1、运动微分方程

在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。现在是4页\一共有48页\编辑于星期三

取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。

则微段梁dx沿z方向的运动方程为：现在是5页\一共有48页\编辑于星期三即利用材料力学中的关系得到梁的弯曲振动方程现在是6页\一共有48页\编辑于星期三边界条件

和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。

梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。（1）固定端：挠度和转角为0，即现在是7页\一共有48页\编辑于星期三（2）简支端：挠度和弯矩为0，即（3）自由端：弯矩和剪力为0，即其它边界条件用类似的方法给出。现在是8页\一共有48页\编辑于星期三2、梁弯曲自由振动的解令振动方程中的干扰力为0，得到对于均匀梁，振动方程为其中现在是9页\一共有48页\编辑于星期三假定有分离变量形式的解存在，令代入方程得到写为现在是10页\一共有48页\编辑于星期三则有其中（称为特征方程）现在是11页\一共有48页\编辑于星期三方程的通解为

由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。现在是12页\一共有48页\编辑于星期三【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解以及解：边界条件为挠度和弯矩为0。现在是13页\一共有48页\编辑于星期三得到以及则则以及频率方程由此解得现在是14页\一共有48页\编辑于星期三所以固有频率振型为

第i阶振型有i－1个节点。节点坐标即现在是15页\一共有48页\编辑于星期三【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解得到以及解：边界条件为挠度和转角为0，即现在是16页\一共有48页\编辑于星期三化简后得到频率方程求得求出b后得到固有频率现在是17页\一共有48页\编辑于星期三振型为现在是18页\一共有48页\编辑于星期三【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的

均匀梁弯曲振动的频率方程。解：左端的边界条件为挠度和转角为0现在是19页\一共有48页\编辑于星期三解：左端的边界条件为挠度和转角为0现在是20页\一共有48页\编辑于星期三右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力现在是21页\一共有48页\编辑于星期三代入特征方程的解以及现在是22页\一共有48页\编辑于星期三进一步化简后得到频率方程求出b后得到固有频率振型为现在是23页\一共有48页\编辑于星期三将边界条件代入得到求得现在是24页\一共有48页\编辑于星期三讨论：（1）k＝0时，频率方程变为即为悬臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方程变为或即为左端固定，右端简支的情况。现在是25页\一共有48页\编辑于星期三【思考题】证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为：现在是26页\一共有48页\编辑于星期三关于振型函数的正交性

和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶特征值满足现在是27页\一共有48页\编辑于星期三

考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则对第j阶振型进行上面类似的运算得：现在是28页\一共有48页\编辑于星期三用Fj左乘上式两端，并积分现在是29页\一共有48页\编辑于星期三上两式相减得则i＝j时现在是30页\一共有48页\编辑于星期三梁在激励力作用下的响应

和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应1.标准坐标（正则坐标）

对振型函数按下式条件正则化现在是31页\一共有48页\编辑于星期三2.对初始激励的响应

设初始条件为将其按标准振型展开现在是32页\一共有48页\编辑于星期三用rAFj左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应现在是33页\一共有48页\编辑于星期三物理坐标下的响应现在是34页\一共有48页\编辑于星期三响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。现在是35页\一共有48页\编辑于星期三【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。

解：（1）固有频率与相应的固有振型为（2）由正规化条件确定系数Ci现在是36页\一共有48页\编辑于星期三求得所以（3）初始条件。按题意现在是37页\一共有48页\编辑于星期三变换到主坐标下现在是38页\一共有48页\编辑于星期三3.对外激励的响应（1）分布干扰力

设干扰力密度为f(x,t),和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi，得到标准坐标下的解耦方程利用杜哈美积分得现在是39页\一共有48页\编辑于星期三（4）响应总响应为现在是40页\一共有48页\编辑于星期三（2）集中力

设在x＝x1处受集中力F(t),这时可以用函数表示为分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程变为总响应为现在是41页\一共有48页\编辑于星期三（3）集中力偶（不推导，只给出结果）

设在x＝x1处受集中力M(t),这时有总响应为现在是42页\一共有48页\编辑于星期三强迫振动的响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用正规化条件确定振型中的常数因子;（3）求主坐标下的响应;（4）求广义坐标下的响应。现在是43页\一共有48页\编辑于星期三

解：（1）固有频率与相应的固有振型为（2）由正规化条件确定系数Ci【例5】设长为l的简支梁在x＝a处受集中力Fsint作用,求响应。求得现在是44页\一共有48页\编辑于星期三（3）响应现在是45页\一共有48页\编辑于星期三【例6】火车在很长的桥梁上通过，可以简化为一均匀筒支梁受到以等速率v向右运动的荷重P的作用。假设在初