宿迁市沭阳县2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含解析2019~2020学年度第二学期期中调研测试高二数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上,考试结束后，交回答题卡。2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。3。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1。复数(其中是虚数单位)的虚部是（）。A. B. C. D。【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【详解】解:，故复数的虚部为，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念,属于基础题。2。下列求导数运算正确的是(）A。 B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于,故选项A不正确;由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3。棣莫弗公式(是虚数单位）,是由法国数学家棣莫弗发现的,根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A。第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D。第四象限【答案】B【解析】【分析】根据公式化简,进而得出象限即可.【详解】由题,，因为。故复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选:B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断，属于基础题。4.函数的单调减区间为（）。A。 B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可．【详解】解：因为,所以函数的定义域为，所，令,解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间,属于基础题．5。函数在区间上（).A.有最大值,无最小值 B.有最小值,无最大值C。既有最大值，又有最小值 D。既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为函数,；；当且仅当即时等号成立;函数在区间上有最大值：，无最小值．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题．6。设，则（）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选:B【点睛】本小题主要考查乘法的导数,考查方程的思想,属于基础题.7。已知函数在处有极大值，则常数c的值为（）.A。1或3 B。3 C。1 D。—1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出值,再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数,把不满足条件的值舍去．【详解】解：函数，它导数为,由题意知，在处的导数值为,，或，又函数在处有极大值,故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，导数值在处左侧为负数,右侧为正数．故．故选:B．【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题．8。已知函数,若恒成立，则实数的取值范围（).A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】依题意可得在上恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解:因为，定义域为,因为恒成立,即在上恒成立，令,则，令，则恒成立,即在定义域上单调递减,又，所以当时，当时，即当时,当时，即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，即最大值，，所以，即.故选:A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求，全部选对得分,部分选对得分，有选错的得分。9。对于复数,下列结论错误的是（）。A。若,则为纯虚数 B.若，则C。若,则为实数 D.纯虚数的共轭复数是【答案】AB【解析】【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解:因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确;对于B：,则即,故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．10。直线能作为下列（）函数的图像的切线。A。 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先求出函数的导函数,然后根据直线能作为下列函数图象的切线,根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．【详解】解:函数，可得不成立；所以不正确；，可以成立；所以正确；，，可以成立；所以正确；，可成立．所以正确;故直线能作为函数图象的切线，故选：BCD．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系,属于基础题．11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（).A。在上是增函数;B。当时，取得极小值；C。在上增函数、在上是减函数；D.当时，取得极大值。【答案】BC【解析】【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上,导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值．【详解】解:由图象可以看出，在,上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对．故选:BC．【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题．12。若函数在定义域上单调递增，则称函数具有性质。下列函数中所有具有性质的函数为（）.A。 B. C。 D。【答案】AD【解析】【分析】根据已知中函数具有性质的定义,一一验证可得．【详解】解:对于A，定义域为，则恒成立，故满足条件；对于B，定义域为，则,又，，即当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故不满足条件；对于C，定义域为，，又,即在定义域上单调递减，且,故不满足函数在定义域上单调递增，故错误；对于D，定义域为,，令，,则时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增,在处取得极小值即最小值，所以恒成立,即在定义域上单调递增，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13。计算____。【答案】13【解析】【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得;【详解】解：.故答案为:。【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题.14.已知函数,那么的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数,将代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，,则,则。故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算,注意导数的计算公式，属于基础题．15。函数在上的单调递减,则实数的取值范围为______。【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得在上恒成立,参变分离,根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为，，所以，因为函数在上的单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立,因为在上单调递减，所以所以,即故答案为:【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题。16.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分别求得，时的导数，求得单调性、极值,讨论，，，,结合函数存在正的零点，可得的范围．【详解】解：由的导数为，可得为增函数，可得，且时，的导数为，即有时，单调递减；或时，单调递增，可得为极小值，处取得极大值,时，时,；时，在递减，递增，无正的零点；时，时,，，故函数存在正的零点，满足条件;当时，时，递增,；当时，在上单调递减,在上单调递增,则时函数取得极小值即最小值，,故不存在，使得;当时，在上单调递增,且，故不存在,使得；综上可得时，存在，使得；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题,共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。17.已知，复数.（1)若对应的点在第一象限，求的取值范围；（2）若的共轭复数与复数相等，求的值。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组,解得即可;（2)首先求出复数的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1)由题意得，解得，所以的取值范围是；（2）因为,所以，因为与复数相等，所以，解得.【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18。已知函数且（1）求的值;（2）求函数在区间上的最大值。【答案】（1)(2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数,再代入得到方程解得即可;（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为，由，得，解得（2）由（1）得,因为，所以在上单调递增，所以在时取得最大值，【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19。已知复数(,为虚数单位）。（1）若且是纯虚数，求实数的值；(2）若复数，求的取值范围.【答案】（1）（2)【解析】【分析】（1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出,再根据复数的类型求出参数的值;（2）根据复数的几何意义得到复数的轨迹，即可得到复数的取值范围；【详解】解：（1）由是纯虚数,得,解得（2）由，得，所以，即的轨迹是以为圆心,半径为的圆,可得即【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题。20。已知函数.（1）若在处的切线斜率为，求的值;（2)若在处取得极值，求的值及的单调区间.【答案】（1）（2）；单调增区间为;减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可得到参数的值；（2）依题意可得，从而求出参数的值，即可得到（)，再令，解出，最后求出函数的单调区间；【详解】解:（1)因为所以，又因为在点处的切线斜率为,所以,即，解得（2)因为在处取得极值，所以,即，解得，所以（)，令，即，解得，当，；当且，；当，,所以的单调递增区间为和;单调递减区间为和.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题。21.如图所示,直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路(点分别在与上)，为切点,设。（1）试求观光道路长度的最大值；（2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值。【答案】（1）（2)平方千米【解析】【分析】（1）求出，分别求出,，从而求出的表达式，求出的最大值即可；（2)求出的表达式，求出函数的导数,根据函数的单调性求出的最大值即可．【详解】解：（1)由题意可知,在中，，在中,，则，又因,所以当时，，此时,故的最长值为；（2）在中，,由（1)得，则则，令即，解得，当单调递增;当单调递减，所以为函数的极大值,又函数在区间极大值唯一，因此这个极大值也是函数的最大值。，所以草坪面积最大值平方千米。【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，属于中档题．22。已知函数。(1）求函数的单调区间;（2）当时，证明：在上恒成立.【答案】(1）答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论计算可得；（2）令，求出函数的导函数,再令,说明函数的单调性,从