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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是()A. B. C. D.2.已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是()A. B. C. D.13.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.4.要得到函数的图象,只需将函数的图象()A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位5.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.6.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.327.设复数满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知命题:任意,都有;命题:,则有.则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.9.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.10.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.11.已知直线过圆的圆心,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.412.复数满足,则复数等于()A. B. C.2 D.-2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.14.直线是曲线的一条切线为自然对数的底数),则实数__________.15.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为,侧面积为,则该棱锥的体积为__________.16.三棱柱中,,侧棱底面,且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上,则球的表面积的最小值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项,第3项,第4项.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前2020项的和.18.(12分)如图,四边形是边长为3的菱形,平面.(1)求证:平面;(2)若与平面所成角为,求二面角的正弦值.19.(12分)已知数列满足,且,,成等比数列.(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前n项和为,,求数列的前n项和.20.(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.21.(12分)已知,函数的最小值为1.(1)证明:.(2)若恒成立,求实数的最大值.22.(10分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
由题意得,即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图,连接OP,AM,由题意得,点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.2、B【解析】
先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程,再利用两直线斜率相等且纵截距相等,列出关系树,从而得出,令函数,结合导数求出最小值,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,则;当时,则.设为函数图像上的两点,当或时,,不符合题意,故.则在处的切线方程为;在处的切线方程为.由两切线重合可知,整理得.不妨设则,由可得则当时,的最大值为.则在上单调递减,则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了推理论证能力,考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出和的函数关系式.本题的易错点是计算.3、C【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.4、D【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;【详解】解:函数,要得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位.故选:D.【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题,属于基础题.5、A【解析】
对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.6、B【解析】
设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.7、A【解析】
由复数的除法运算可整理得到,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【详解】由得:,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解,涉及到复数的除法运算,属于基础题.8、B【解析】
先分别判断命题真假,再由复合命题的真假性,即可得出结论.【详解】为真命题;命题是假命题,比如当,或时,则不成立.则,,均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性,判断简单命题的真假是解题的关键,属于基础题.9、D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.10、B【解析】
首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.11、D【解析】
圆心坐标为,代入直线方程,再由乘1法和基本不等式,展开计算即可得到所求最小值.【详解】圆的圆心为,由题意可得,即,,,则,当且仅当且即时取等号,故选:.【点睛】本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,注意满足的条件:一正二定三等,同时考查直线与圆的关系,考查运算能力,属于基础题.12、B【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算,化简求解即可.【详解】复数满足,∴,故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算,复数模长的概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】
先求圆的半径,四边形的最小面积,转化为的最小值为,求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率.【详解】由圆的方程得,所以圆心为,半径为,四边形的面积,若四边形的最小面积,所以的最小值为,而,即的最小值,此时最小为圆心到直线的距离,此时,因为,所以,所以的概率为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.14、【解析】
根据切线的斜率为,利用导数列方程,由此求得切点的坐标,进而求得切线方程,通过对比系数求得的值.【详解】,则,所以切点为,故切线为,即,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题,属于基础题.15、【解析】
如图所示,正四棱锥,为底面的中心,点为的中点,则,设,根据正四棱锥的侧面积求出的值,再利用勾股定理求得正四棱锥的高,代入体积公式,即可得到答案.【详解】如图所示,正四棱锥,为底面的中心,点为的中点,则,设,,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查棱锥的侧面积和体积,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.16、【解析】
分析题意可知,三棱柱为正三棱柱,所以三棱柱的中心即为外接球的球心,设棱柱的底面边长为,高为,则三棱柱的侧面积为,球的半径表示为,再由重要不等式即可得球表面积的最小值【详解】如下图,∵三棱柱为正三棱柱∴设,∴三棱柱的侧面积为∴又外接球半径∴外接球表面积.故答案为:【点睛】考查学生对几何体的正确认识,能通过题意了解到题目传达的意思,培养学生空间想象力,能够利用题目条件,画出图形,寻找外接球的球心以及半径,属于中档题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式;(2)求出数列的通项公式,再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.【详解】(1)依题意得:,所以,所以解得设等比数列的公比为,所以又(2)由(1)知,因为①当时,②由①②得,,即,又当时,不满足上式,.数列的前2020项的和设③,则④,由③④得:,所以,所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质,错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由已知线面垂直得,结合菱形对角线垂直,可证得线面垂直;(2)由已知知两两互相垂直.以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,由已知线面垂直知与平面所成角为,这样可计算出的长,写出各点坐标,求出平面的法向量,由法向量夹角可得二面角.【详解】证明:(1)因为平面,平面,所以.因为四边形是菱形,所以.又因为,平面,平面,所以平面.解:(2)据题设知,两两互相垂直.以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图所示,因为与平面所成角为,即,所以又,所以,所以所以设平面的一个法向量,则令,则.因为平面,所以为平面的一个法向量,且所以,.所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理,考查用向量法求二面角.立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角,这样可减少思维量,把问题转化为计算.19、(1)见解析;(2)【解析】
(1)因为,所以,所以,所以数列是等差数列,设数列的公差为,由可得,因为成等比数列,所以,所以,所以,因为,所以,解得(舍去)或,所以,所以.(2)由(1)知,,所以,所以.20、(1)见解析,0(2)【解析】
(1)即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可;(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:(1)的取值可能为,,1,3,又因为,故,,,,所以的分布列为:13所以(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题,此时的概率为(或).【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.21、(1)2;(2)【解析】分析:(1)将转化为分段函数,求函数的最小值(2)分离参数,利用基本不等式证明即可.详解:(Ⅰ)证明:,显然在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,即.(Ⅱ)因为恒成立,所以恒成立,当且仅当时,取得最小值,所以,即实数的最大值为.点睛:本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用,第二问恒成立问题分离参数,利用基本不等式求解很关键,属于中档题.22、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.【详解】(1)若,则,,设,则,,,故函数是奇函数
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