概率论第二章第四节

2.4连续型随机变量

及其概率密度１．连续型随机变量的概念２．三种重要的连续型随机变量３．小结一、概率密度函数

定义设随机变量X

的分布函数为F(x),若存在非负函数

f(x),对于任意实数

x,均有称随机变量X

是连续型随机变量,称函数

f(x)为X的概率密度.注：

连续型随机变量X

的分布函数是连续函数.

概率密度函数的性质1)2)1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件.3)X落入区间(a,b］内的概率:注意

对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关由此可得这是因为说明由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．P{X=a}=0而

{X=a}并非不可能事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？类似可知，

(4)若f(x)在点x处连续,则有证明连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：3.

性质(3)表示P{x1<X≤x2｝等于曲线f(x)在区间(x1,x2]上的曲边梯形的面积。1.

F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。2.说明曲线f(x)与x轴之间的面积等于1。密度函数不是概率！注意1由此可见根据性质4以及导数的定义，有密度函数不唯一密度函数的概率含义：注意2在至多可列个点上变动f(x)，积分结果都是同一个F(x)例:满足(1)f(x)≥0;

(2)所以f（x）是一个概率密度函数。例设连续型随机变量X的分布函数为解(1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1/3).(2)X的密度函数(3)P(X>1/3).例设随机变量X的密度函数为求(1)常数a;(2)P(-1/2<X<1/2).;(2)X的分布函数解(1)由密度函数的性质若随机变量Ｘ的密度函数为记作X~U[a,b]2.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布密度函数的验证均匀分布的概率背景：XXabxll0

均匀分布的应用：数值计算中的舍入误差，某一时间间隔内汽车站上乘客到站的时间，等均认为服从均匀分布。均匀分布的分布函数abxF(x)01[]的分布函数为则上的均匀分布,，服从区间若随机变量XbaX例设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．解：设该乘客于7时

X分到达此站．[]上的均匀分布．，服从区间则300X令：B={候车时间不超过5分钟}例

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的密度函数为设A表示“对X的观测值大于3”,Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数.解则因而有例设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0,

其分布函数为

。又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:的分布函数与X的分布函数相同.解：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0,

故是单调增加函数，所以其反函数存在，令于是，Z的分布函数为

由于

为X的分布函数在的函数值，故0≤≤1.又Y在[0,1]上服从均匀分布，由均匀分布的性质：

再由自变量的任意性，Z与X的分布函数相同.(2)指数分布

设随机变量X

的概率密度函数为称随机变量X

服从参数为

l

的指数分布.(l>0)指数分布的分布函数：

f(x)及F(x)的图形:10xF(x)f(x)0x指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明而于是

在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.若把X解释为寿命，则上式表明：如果已知某人活了s年，则他至少再活t年的概率与年龄s无关，所以人们风趣地称指数分布的这一性质为“永远年轻”，又称“无记忆性”----即把过去的年龄忘记了。例

设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为θ=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.

X的分布函数为解或是直接利用指数分布的无记忆性：

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

(3)正态分布(高斯分布)

正态分布的定义正态概率密度函数的几何特征正态分布的分布函数正态分布下的概率计算原函数不是初等函数方法一:利用统计软件计算方法二:转化为标准正态分布查表计算标准正态分布的概率密度表示为3.标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形查表标准正态分布函数表(2)由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：即

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.它的依据是下面的定理：若~N(0,1)

则……

例

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?

解:设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.再看一个应用正态分布的例子:因为X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X<h)0.99求满足的最小的h.由标准正态分布的查表计算可以求得，这