新疆2020届高三数学（理科）二模试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新疆2020届高三高考数学（理科）二模试题含解析2020年新疆高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1。已知全集,，，则集合（)A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】先求，再由即可。【详解】由，,得或，所以.故选：D。【点睛】本题主要考查了集合的补集及并集的运算，属于基础题。2.设复数满足,则的虚部为(）A. B.0 C. D。1【答案】C【解析】【分析】利用已知求出复数,可得的虚部．【详解】则的虚部为故选：C【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题．3。在等差数列中,,其前n项和为，若，则(）A.-4040 B.—2020 C。2020 D。4040【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式，可得为等差数列，由已知求出其公差，进而得到通项公式，即可得出结论。【详解】在等差数列中，，其前n项和为，则是以为首项的等差数列，设其公差为，，.故选:C。【点睛】本题考查等差数列前和基本量的运算，应用等差数列前项和的性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题。4.设M是所在平面上的一点，，D是的中点,,则实数t的值为(）A. B. C。2 D。1【答案】B【解析】【分析】由D是的中点,可得，由于，从而得,所以,可求得t的值.【详解】解：因为D是的中点，所以，又因为，所以，所以，因为,所以,故选：B【点睛】此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式,考查了推理能力和计算能力，属于中档题.5。将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A18种 B.24种 C.36种 D。72种【答案】A【解析】【分析】由于甲乙在同一路口执勤且有一路口需3人,所以甲乙在三人组，第一步给甲乙组选一人,剩余两人为两组,第二步把三组人安排到3个路口即可.【详解】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为，又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有种选法，剩余两人为两组，然后安排到3个路口共有种不同的安排方法，故选：A【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，排列组合的应用，分组问题,属于中档题.6.如图，在棱长为1的正方体中，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和动点P的轨迹形成的图形的周长是(）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】根据己知条件，判断P点在与垂直的平面上，同时又在正方体表面，得出P点轨迹,然后求解轨迹长度.【详解】因为动点P满足，所以动点P的轨迹为过点与直线垂直的截面与正方体的交线，就是图形中（除去点）,如图，所以点和点的轨迹形成的图形的周长即为的周长，因为正方体的棱长为1，所以的周长为，故选：A【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.7。下列命题中不正确命题的个数是（）①已知a，b是实数,则“"是“”的充分而不必要条件;②,使；③若,则；④若角的终边在第一象限，则的取值集合为.A。1个 B。2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】由,可判断出①错误，由当时，可判断出②错误，由可求出,可得到③正确，由可得,然后可判断出④正确.【详解】因为,所以“”是“”的必要不充分条件,故①错误因为当时，,即，不存在使，故②错误因为，所以，故③正确因为角的终边在第一象限，即，所以当为奇数时,在第三象限，当偶数时，在第一象限,所以的取值集合为，故④正确综上:不正确命题个数是2故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，二项式定理，三角函数的概念及其在每个象限符号，属于中档题。8.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤,问次一尺各重几何？意思是：“现在有一根金棰，长五尺,在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤,问各尺依次重多少？”假设金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，则从粗端开始的第三尺的重量是（）A.斤 B.斤 C。斤 D.3斤【答案】A【解析】【分析】此问题是一个等比数列，设首项为，则，求，根据等比数列的下标和性质计算可得．【详解】解：依题意可得，此问题是一个等比数列，且首项为，则因为所以，解得或(舍去）故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9。甲、乙、丙三人中，一人是董事长,一人是总经理，一人是秘书，已知:丙的年龄比秘书的大,甲的年龄和总经理不同;总经理的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（)A.甲是董事长,乙是秘书,丙是总经理 B。甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长C.甲是秘书，乙是董事长,丙是总经理 D.甲是总经理，乙是秘书,丙是董事长【答案】C【解析】【分析】由“甲的年龄和总经理不同”和“总经理的年龄比乙小”可以推得丙是总经理，所以丙的年龄比乙小，再由“丙的年龄比秘书的大”,可知乙不是秘书，即可得出结论。【详解】根据题意，甲和乙都不是总经理,所以丙是总经理，因为丙的年龄比秘书的大，且比乙的年龄小,所以乙不是秘书，乙是董事长,所以甲是秘书.故选:C.【点睛】本题考查推理和证明，从矛盾中逐渐找到结论是解答此类问题的常用方法，属于基础题。10。已知函数,若且，则函数取得最大值时x的可能值为（)A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】由得直线是函数的对称轴，可得，，对分奇偶讨论可知，根据余弦函数的最值可得结果。【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，当为奇数时，，此时,,不满足,当为偶数时，,此时，,满足，故，当，即,时，取得最大值1,当时，。故选：B。【点睛】本题考查了三角函数的对称轴、最值，考查了分类讨论思想,属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点,与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是()A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质，圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求的值【详解】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为则，由双曲线的对称性可得：由双曲线的定义可得解得又，即有则离心率故选【点睛】本题考查了双曲线的离心率，结合了三角形内切球，由切线长定理和双曲线定义求出的值是本题的关键，综合性较强12。已知函数,，函数，若对于任意，总存在，使得成立，则a的值为()A。—1 B.1 C.—2 D.2【答案】D【解析】【分析】利用导数研究的单调性,即可求出的值域，再根据二次函数的性质可得的值域，最后根据两集合的包含关系得到不等式组，解得即可;【详解】解：因为，，所以，可得时，即在区间上单调递减；时，即在区间上单调递增；又，，，故因为，所以在上单调递减；,所以又因为对于任意，总存在，使得成立,所以所以解得所以故选:D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，存在性问题的解法,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.随机变量，且,____________.【答案】0。2【解析】【分析】先求出，再根据得解。【详解】由题得，所以.故答案为：0.2【点睛】本题主要考查正态曲线的性质及其应用,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14。在中，,，D为边上的点，且，，则________。【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出cosB，可得sinB,在△ABC中利用正弦定理可得AC．【详解】如图，∵，，，在△ABD中，余弦定理，∵∴．由正弦定理：,可得：，故答案为:．【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题时要注意合理选择正余弦定理，属于中档题．15。已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是_______________。【答案】【解析】【分析】根据题中给出的条件可判断出点S在底面中的射影为三角形的外心，即边AB的中点．然后再结合所给三棱锥的特点得到球心在棱锥的高上，然后即可建立方程求出,然后可得球心到平面的距离。【详解】∵三棱锥中,∴顶点在底面上的射影为的外心，又是以为斜边的等腰直角三角形,∴点为的中点．∴平面．如上图，设点O为三棱锥外接球的球心,则的长即为外接球的球心到平面的距离．设球半径为，则．由题意得，，在中，有,即，解得，∴，即三棱锥的外接球的球心到平面的距离为．故答案为：【点睛】本题考查的是几何体外接球的问题，解答本题的关键时是确定三棱锥外接球的球心的位置，属于基础题。16。已知椭圆的一条弦为,点P的坐标为,且，则弦的中点到直线的距离为_________________。【答案】1【解析】【分析】设坐标，根据在椭圆上以及条件解出纵坐标,再根据中点坐标公式得弦的中点纵坐标,最后根据点到直线距离公式得结果。【详解】设,因为，所以因为在椭圆上，所以所以，相减得因此弦的中点纵坐标为，其到直线的距离为故答案为：1【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属中档题。三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17。设的内角所对的边长分别为且，。（Ⅰ）求和边长a；（Ⅱ）当取最小值时，求的面积。【答案】(Ⅰ），。（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据条件利用正弦定理化边为角得，再根据平方关系解得，,回代条件得边长a，根据诱导公式得；（Ⅱ)根据余弦定理化简为一元二次函数，再根据二次函数性质求最小值，并确定等号取法，最后根据三角形面积公式得结果。【详解】(Ⅰ)由正弦定理及与得：,（R是的外接圆半径）两式相除,得，设,∵B是的内角，∴∵，∴∴，,将代入,得，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知∴当且仅当时，取得最小值。∴∴最小时的面积为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.18。如图，在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，，，,．（1）求证：平面PCA⊥平面PCD；（2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°,求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ)。【解析】【分析】(Ⅰ）推导出CD⊥AC,PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．（Ⅱ)以A为坐标原点，AB,AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．【详解】解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得,∴,∴∠ACD=90°，即CD⊥AC,又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，又，∴CD⊥平面PCA。又CD平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD.（Ⅱ)如图，以A为坐标原点,AB，AC，AP所在直线分别为x轴,y轴，z轴,建立空间直角坐标系。则,，,,.设，，则∴x=0,，,即点E的坐标为∴又平面ABCD的一个法向量为∴sin45°解得∴点E的坐标为，∴,，设平面EAB的法向量为由得令z=1，得平面EAB的一个法向量为∴.又二面角E-AB-D的平面角为锐角,所以，二面角E-AB-D的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查数形结合思想，是中档题．19。目前，我国老年人口比例不断上升，造成日趋严峻的人口老龄化问题。2019年10月12日，北京市老龄办、市老龄协会联合北京师范大学中国公益研究院发布《北京市老龄事业发展报告（2018)》，相关数据有如下图表.规定年龄在15岁至59岁为“劳动年龄"，具备劳动力，60岁及以上年龄为“老年人”，据统计，2018年底北京市每2.4名劳动力抚养1名老年人。（Ⅰ）请根据上述图表计算北京市2018年户籍总人口数和北京市2018年的劳动力数；（保留两位小数）(Ⅱ）从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，比照2018年户籍老年人人口年龄构成，预计到2020年年底,北京市90以上老人达到多少人？（精确到1人）（附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，。，）【答案】（Ⅰ)1374。41万人837。84万人(Ⅱ)59878人。【解析】【分析】（Ⅰ)由图表数据及题意计算可得；（Ⅱ)设2014年是第1年，第x年老年人口为y万人，可得如下表格;依题意设，根据所给数据求出，,求出、,即可得得到回归直线方程，再将代入计算可得；【详解】解：(Ⅰ）2018年北京市老年人349。1万人，占户籍总人口的25。4％，所以北京市2018年户籍总人口万人;2018年北京市“老年人"有349.1万人，每2。4名劳动力抚养1名老年人,故北京市2018年的劳动力数为万（Ⅱ）设2014年是第1年，第x年老年人口为y万人，则12345296。7313。3329。2333。3349。1由于从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，设则，.得∴当时，∴北京市2020年年底老年人人数约为374.24万人，90以上老人占1.6%,万人≈59878人答：预计到2020年年底，北京市90以上老人约为59878人。【点睛】本题考查统计图表的应用，最小二乘法求回归直线方程以及利用回归方程预测数据，考查计算能力,属于基础题.20.在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于M，抛物线C的焦点为F，且。（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点Q是抛物线C上的动点，点D，E在y轴上,圆内切于三角形，求三角形的面积的最小值。【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）8【解析】【分析】（Ⅰ）根据抛物线定义得到点的坐标，将其代入抛物线方程即可得到结果；（Ⅱ）设,，且，利用直线与圆相切可得，同理可得,所以，是方程的两根.利用根与系数的关系求出,再根据三角形面积公式与基本不等式可得答案。【详解】（Ⅰ）因为直线与抛物线交于M，且。根据抛物线的定义可知,,所以,所以，所以，因为，所以解得，∴抛物线方程为。(Ⅱ）设，，且，∴直线的方程为，即,由直线与圆相切，得,注意到,化简得,同理得所以,是方程的两根，所以,，所以，∴（当且仅当时等号成立）因此三角形的面积的最小值为8.【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与圆相切的位置关系、根与系数关系、三角形的面积公式、基本不等式、运算求解能力，属于中档题.21.已知函数,，。（Ⅰ）求函数的导函数的零点个数；（Ⅱ)若时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）零点的个数是0。（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出，令,得，设，转化为求的零点个数，通过求导求出单调区间,极值最值即可得出结论;(Ⅱ）时,,等价转化为恒成立，设，等价于，利用二次求导得出在上递增,所以只需求出，即可求出的取值范围。【详解】（Ⅰ)∵∴，其定义域为令，得，即设,则，∴在上，在上∴在单调递减，在单调递增，∴，∴函数没有零点,∴的导函数零点的个数是0。(Ⅱ)，令，则，令,，，所以在上递减，在上递增，∴∴在上递增。∵等价于,即，∴。设，，则，得，在时递增，在时递减∴，∴∴实数a的取值范围为.【点睛】本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点、不等式恒成立等基础知识，构造函数多次求导是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理以及数学计算能力，属于较难题。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。［选修4—4：坐标系与参数方程选讲]22.平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（s为参数)，以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为,,直线与曲线C交于A，B两点。（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ）已知点P的极坐标为，求的值.【答案】（Ⅰ)的普通方程为：;曲线C的直角坐标