五市八校2020届高三第二次联考数学（文）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江西省五市八校2020届高三第二次联考数学（文）试题含解析江西省五市八校2020届高三第二次联考文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。记全集集合则图中阴影部分所表示的集合是()A. B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】根据图像可知,阴影部分表示的是，由此求得正确结论。【详解】根据图像可知,阴影部分表示的是,,故，故选C。【点睛】本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别,属于基础题。2.设是虚数单位，若复数满足，则其共轭复数(）A。 B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算计算出后即可求其共轭.【详解】,故，选B。【点睛】本题考查复数的四则运算及复数的概念，属于基础题.3。点(，4）在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为（）A。30° B.45°C.60° D。120°【答案】C【解析】【分析】先求出，再根据斜率可得倾斜角.【详解】由题意可知a－4＋1＝0，即a＝，设直线的倾斜角为α，则tanα＝,又，∴α＝60°，故选：C.【点睛】本题考查了由直线的斜率求倾斜角，掌握倾斜角的范围是解题关键，属于基础题.4。为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间的频率为0。45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55％的当地中小型企业能享受到减免税政策;③样本的中位数为480万元。其中正确结论的个数为（）A。0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.【详解】由,,的频率为，①正确；的频率为，②正确;的频率为，的频率为，中位数在且占该组，故中位数，③正确。故选：D。【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题5.若为等差数列，是其前项和,且，则的值为（）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由,即可求出进而求出答案．【详解】∵,∴，，故选B。【点睛】本题主要考查等差数列的性质,熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可，属于基础题型。6。定义运算:，将函数的图像向右平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数,则的最小值是（）A。 B. C. D。【答案】B【解析】【分析】根据所定义的运算得出函数的解析式，对函数的图像进行平移和由函数的奇偶性可得到的值，可得的最小值。【详解】，将函数化为，

再将向右平移（）个单位即为:

，又平移后的函数为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即

时函数值为最大或最小值，即或,所以

，即,又,所以的最小值是。

故选：B。【点睛】本题考查对新定义的理解能力，三角函数恒等变形，三角函数图象及性质，以及对三角函数的奇偶性的理解运用，属于中档题.7.已知，表示的平面区域为，若“”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值,再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“"为真命题，由恒等式的思想可得实数的取值范围。【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分（含边界)所示，令得,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得点，所以的最大值为5，因为“”为假命题，所以“”为真命题，所以实数的取值范围是，故选：A。【点睛】本题考查线性规划问题的最值,以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想,属于中档题。8。若直线与曲线相切于点，则(）．A。0 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】先对曲线求导,由切点处的导数等于切线斜率列方程，解出即可.【详解】解:由，得因为直线与曲线相切于点所以，解得故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义,属于基础题.9。2019年4月,习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的4名专家对石柱县的、、、，4乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，则甲安排在乡镇，乙不在乡镇的概率为(）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出包括甲、乙两名专家在内的四名专家对四个乡镇进行调研,要求每个乡镇安排一名专家的情况，再求出甲安排在乡镇，乙不在乡镇的情况，根据古典概型的求法可得选项.【详解】由已知得，包括甲、乙两名专家在内的四名专家对四个乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，共有种情况，如果甲安排在乡镇,乙不在乡镇，共有种情况,所以甲安排在乡镇，乙不在乡镇的概率为，故选：D.【点睛】本题考查古典概型的计算问题,关键在于分别求出基本事件总数和所求随机事件包含的基本事件数,属于基础题．10.已知球表面上的四点,，，满足，,若四面体体积的最大值为，则球的表面积为(）A. B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件和平面几何知识得出关于外接球的半径的方程,由球的表面积公式可得出选项.【详解】设的外接圆心为，由和四面体体积的最大值为得，，设球的半径为，则有,解得，则该球的表面积为。故选:A。【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，关键在于确定外接球的球心和半径，属于中档题。11.已知点，分别是椭圆的左，右焦点,过原点且倾斜角为60°的直线与椭圆的一个交点为，且，则椭圆的离心率为（）A。 B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】由两边平方，得，在中，求出的关系，求出离心率可得选项.详解】将两边平方，得，即。又，∴,，∴,∴.故选：A.【点睛】考查了向量的数量积，椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于的关系,属于中档题。12。已知函数,函数g(x）＝f(1－x）－kx＋k－恰有三个不同的零点，则k的取值范围是()A。（－2－，0］∪ B。（－2＋，0]∪C。（－2－，0]∪ D。(－2＋，0］∪【答案】D【解析】【分析】g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，即方程f（1－x)＝k（x－1)＋恰有3个不同实根,令1－x＝t,则方程f（t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x）与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，数形结合即可求解.【详解】∵g(x)＝f（1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，∴方程f（1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f（t)＝－kt＋恰有三个不同实根,即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点,画出函数图象如下图：当－k＝0即k＝0时有三个交点，当y＝－kx＋与f（x）＝x2＋2x＋1(x〈0）相切时可求得k＝－2＋，当y＝－kx＋与f(x）＝，x≥0相切时可求得k＝，故由图可得－2＋〈k≤0或k＝时函数y＝f(x）与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点,即函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，故选D。【点睛】本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力，属于中档题．二、填空题:本题共4小题,每小题5分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13。生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利"等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力。在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战,不断取得进步.（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案。【详解】由“石穿"、“事成”、“胜利”不能推出“水滴"、“有志"、“坚持”，如“石穿"可能推出“化学腐蚀”；由“水滴"、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利"如“水滴”可以推出“石穿”;综上所述,“石穿"、“事成”、“胜利"是“水滴"、“有志”、“坚持”必要不充分条件.故答案为:必要不充分。【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了理解能,属于基础题。14.已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为__________。【答案】【解析】【分析】由已知的圆心的坐标和截得的弦长，根据勾股定理求出圆的半径，即可求圆C的方程.【详解】圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的半径为,所以圆C的方程为,故答案为:.【点睛】本题考查圆的方程的求法，关键在于由圆的弦长得出圆的半径，属于基础题。15。如图，一栋建筑物AB高（30—10）m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点(B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．【答案】60【解析】【分析】由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数,可以求出。在中，运用正弦定理,可以求出。在中，利用锐角三角函数,求出。【详解】由题意可知：,,由三角形内角和定理可知。在中,.在中，由正弦定理可知：,在中，.【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.16.如图,直角梯形中，，，动点在边上,且满足均为正实数），则的最小值为_______．【答案】【解析】试题分析:建立如下图所示的平面直角坐标系，则，所以直线的方程为，，又点在边上，所以，即，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值为。考点:1.向量的坐标运算；2.基本不等式；3。直线的方程.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、基本不等式、直线的方程等知识，中档题.建立直角坐标系，把已知的向量条件的等量条件,通过坐标表示转化为熟悉的解析几何条件,进一步通过基本不等式求最值，是本题的亮点,体现了数学等价转化基本思想与解析法的解题中的重要作用。三、解答题：本题共6小题，每小题12分17.某公司为了增加某产品的销售利润，调查了该产品年宣传费用投入(万元）与该产品年销售利润（万元)的近5年具体数据，如下表：年宣传费用投入（万元）13579年销售利润（万元)2481115（1）求线性回归方程；（2）如果该产品明年宣传费用投入11万元，顸测该产品明年销售利润为多少？参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，、为样本平均【答案】（1)；（2）17.9万元【解析】【分析】(1）由已知数据求出,，可求得线性回归方程；（2）将代入到所求的线性回归方程中可得预测该产品明年销售利润.【详解】（1)因为，，所以，又因为，故线性回归方程为.（2）当时，，故可预测该产品明年销售利润为17.9万元。【点睛】本题考查线性回归方程的求法和由线性回归方程预测销售利润，关键在于理解线性回归方程中的量的含义和求法,属于中档题.18.分别为的内角的对边.已知。(1）若，求；（2)已知，当的面积取得最大值时，求的周长。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理,将,化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；(2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合(1）中条件,即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．【详解】(1）由，得，即.因为，所以。由，得.（2)因为,所以，当且仅当时,等号成立。因为的面积.所以当时，的面积取得最大值,此时，则，所以的周长为。【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力．19.在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.(1）证明:平面；（2)求三棱锥的体积。【答案】(1）证明见解析;（2）1.【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得，利用面面垂直的性质可得平面，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明平面，可得到平面的距离等于到平面的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得。试题解析:（1)∵,且为的中点.∴。又∵平面平面，平面平面，且平面,∴平面∵平面，∴.（2）∵，平面，平面，∴平面。即到平面的距离等于到平面的距离.由(1)知平面且.∴三棱锥的体积:.20.已知抛物线C；过点．求抛物线C的方程；过点直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，,求证：为定值．【答案】（1)．（2)见解析．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．【详解】(1）由题意得，所以抛物线方程为．（2)设，，直线MN的方程为,代入抛物线方程得．所以，，．所以,所以，是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数，其中．(Ⅰ)讨论的单调性；（Ⅱ)当时，证明：；（Ⅲ）求证：对任意正整数n,都有（其中e≈2。7183为自然对数的底数)【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（1）分别在和两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（2）将问题转化为证明，通过导数求得，从而证得所证不等式；（3）根据（2)可知，令,则可得,累加可得到所证结论.【详解】（1）函数的定义域为，①当时,，所以在上单调递增，②当时,令，解得:当时,，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，综上，当时，函数在上单调递增;当时，函数在上单调递减,在上单调递增；（2）当时，要证明,即证，即，设则,令得,，当时,，当时，所以为极大值点，也为最大值点所以,即故当时，;（3)由（2)（当且仅当时等号成立）,令，则,所以,即所以。【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数相关的不等式的证明问题。对于导数中含自然数的问题的证明，关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与相关的不等关系,利用放缩的思想进行证明，属于难度题.22。据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情,彼此爱慕,其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信,死前最后一封信只有一个公式：国王不懂,将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的坐标知识，画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意,登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣(仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名．在极坐标系中，方程表示的曲线就是