2024年中考数学压轴题：圆与相似及三角函数综合问题（教师版含解析）

圆与相似及三角函数综合问题

典例剖析.

X________________________________Z

【例1】(2022•四川•巴中市教育科学研究所中考真题)四边形ABCD内接于OO,直径AC

与弦交于点E,直线与。。相切于点B.

(1)如图1,若NPBA=3。。，且EO=EA,求证：BA平分NPBD；

(2)如图2,连接OB,若求证：△OABCDE.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(D连接OB,根据切线的性质可得NPBA+NABO=9〃，再由ZPBA=3。。，

可得NABO=6Z70,从而得到△AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得2E平分

ZABO,即可求证；

(2)根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得NPBA=NOBC=NOCB,从而

得到NAOB=2NOCB=2NPBA,进而得到NAOB=2ACD,再由NBAO=

NBDC,即可求证.

(1)

证明：连接05

•••直线PB与O。相切于点B,

NPBO=90°,

.­.NPBA+Z.ABO=90°,

■：NPBA=30°,

ZABO=60°,

又•.・OA=OB,

AOB为等边三角形，

又•・•OE=AE,

/.BE平分NABO,

・•.ZABE=-ZABO=30。,

/.BA平分NPB。；

证明：.•・直线PB与。。相切于点B,

・・.NPBO=90。，

・•.Z.PBA+Z.ABO=90°,

・・・/c为直径，

：.^ABC=90°,

：.AOBC+AABO=9QQ,

：.£OBC=APBA,

：OB=OC,

.'.ZPBA=NOBC=NOCB,

・•.ZAOB=2NOCB=2ZPBAt

••・Z.ACD=ZABD=2ZPBA,

Z.AOB=NAC。，

又「ZBAO=ZBDC,

・•.△OAB-△CDE.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练

掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【例2】（2022•广东深圳・中考真题）一个玻璃球体近似半圆。AB为直径，半圆O上点C

处有个吊灯旧尸，EF//AB,CO1尸的中点为。,OA=4

(1)如图①，CM为一条拉线,M在0B上，OM=7£DF=0.8求CD的长度.

⑵如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为0B上一点，为入射光线，NH

为反射光线，NOHM=NOHN=45°,ianZCOH=也求。?^的长度.

(3)如图③，M是线段OB上的动点，为入射光线，NHOM=50、HN为反射光线交

圆。于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长.

【答案】⑴2

(2)0N=y

4)4

【分析】(1)由DF=0£OM=7.瓦。尸IIOB,可得出DF为△COM的中位线，可得

出。为C。中点，即可得出CD的长度；

(2)过N点作NDJ.OH,交OH于点、D,可得出△NHD为等腰直角三角形，根据

tanNCOH=*可得出tanNNOD=器=：设ND=3x=DH,则OD=4x,根据

OD+DH=OH,即可求得x再根据勾股定理即可得出答案；

(3)依题意得出点N路径长为：OB+I嬴,推导得出NBOT=80。，即可计算给出

D1D1

即可得出答案.

(1)

:DF=0.8,OM=1.6,DF||OB

二.DF为△COM的中位线

二。为C0的中点

:CO=AO=4

..CD=2

(2)

过N点作ND，OH,交OH于点。

.NOHN=45°,

」.△NH。为等腰直角三角形，即ND=DH,

又..tanNCOH=*

.tanZNOD=5，

tanZNOD=~,

OD4'

..ND:OD=3:4,

设ND—3x=DH,则O。=4x,

:OD+DH=OH,

/.3x+4x=4,

解得X==

:.ND=y,OD=y,

.•.在Rt△NOD中，ON"ND2+OD2=«瑞尸+瑞)2吟

(3)

如图，当点M与点。重合时，点N也与点。重合.当点“运动至点N时，点N运动至

点7,故点N路径长为：OB+-

:NNHO=NMHO,NTHO=NMHO,NHOM=5CP.

:.ZOHA=NOAH=65°.

:.NTHO=65°,NTOH=50°.

:.ZBOT=80°,

••.N点的运动路径长为：OB+1维=4+胃口,

D1y

故答案为：4+1ii.

【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角

函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键.

【例3】(2022•黑龙江哈尔滨•中考真题)已知是。。的直径，点/，点8是。O上的两

个点，连接04OB,点。，点E分别是半径OA,OB的中点，连接且

ZAOC=2NCHB.

(1)如图1,求证：Z.ODC=Z.OEC；

(2)如图2,延长CE交于点凡若CDLOA,求证：FC=FH；

(3)如图3,在⑵的条件下，点G是上一点，连接AG,BG,HG,OF,若AG.BG=5:3,

HG=2,求OF的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)OF=?

【分析】(1)根据&4s证明△co。三aCOE即可得到结论；

(2)证明=NECO即可得出结论；

(3)先证明OF_LCH,连接AH,证明设AG=5x,BG=3x,在AG

上取点使得AM=BG,连接MH,证明△MHG为等边三角形，得MG=HG=2,

根据AG-AM+MG可求出x=7,得AG=5,BG=3,过点〃作HN1MG于点N,

求出而，再证HF=2OF,根据=3OF=J而可得结论.

(1)

如图L,点。，点E分别是半径O4OB的中点

:.OD=?OA,OE=-0B

2'2

:OA=OB,

:.OD=OE

,.NBOC=2NCHB,Z.AOC2NCHB

.\ZAOC=NBOC

:OC=OC

△COD=ACOE,

Z.CDO=Z.CEO-,

(2)

如图2.:CD1OA,

:.NCDO=90°

由(1)得/CEO=NCDO=9,

.-.sinZOCE

OC2

二.NOCE=3优，

..NCOE=900-NOCE=60°

:NH=LNBOC=-x600=30

22

:.ZH=ZECO,

:.FC=FH

(3)

如图3.:CO=OH,FC=FH

:.OF1CH

:.ZFOH=90°

由3

连接AH..ZAOC=ZBOC=60°

:.ZAOH=ZBOH=720°,

：.AH=BH,ZAGH=60°

/AG:BG=5:3

设AG=5x,

/.BG=3x

在AG上取点使得AM=BG,连接MH

:ZHAM=NHBG,

.\AHAM=AHBG

..MH=GH,

「.△MHG为等边三角形

:.MG=HG=2

:AG=AM+MG,

5x=3x+2

x=7,

AG=5

二.BG=AM=3,

过点"作HN1MG于点N

MN=-GM=-x2=7,HN=HG-s'\n600=73

22'

:.AN=MN+AM=4,

HBHA='INA2+HN2=VTp

NFOH=90。,NOHF=30。,

:.ZOFH=60°

\OB=OH,

:.ZBHO=NOBH=30°,

:.ZFOB=ZOBF=30°

:.OF=BF,

在RtaOFH中，NOHF=30。,

:.HF=2OF

HB=BF+HF=3OF=d为，

为

CL=丁J

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，

等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是

解答本题的关键.

【例4】(2022•黑龙江绥化・中考真题)如图所示，在。O的内接aAMN中，NMAN=90°,

AM=2AN,作AB1MN于点P,交。。于另一点反C是第M上的一个动点(不与4

“重合)，射线MC交线段BA的延长线于点。，分别连接AC和BC,BC交MN于息E.

⑴求证：ACMACBD.

(2)若MN=10,MC=NC,求BC的长.

(3)在点C运动过程中，当tanNMDB=J时，求翌的值.

4L!,

【答案】⑴证明见解析

⑵W方

(3)|

【分析】(1)利用圆周角定理得到再利用两角分别相等即可证明相似；

(2)连接。C,先证明是直径，再求出/P和NP的长，接着证明△COE〜△BPE,

利用相似三角形的性质求出。£和PE,再利用勾股定理求解即可；

(3)先过C点作CGLMN,垂足为G,连接CN,设出GM=3x,CG=4x,再利用三

角函数和勾股定理分别表示出PB和PG,最后利用相似三角形的性质表示出EG,然后表示

出近和NE,算出比值即可.

(1)

解：-：ABLMN,

：.^APM=90°,

：.^D+^DMP=90°,

又,：乙DMP+LNAC=180°,LMAN=90°,

^DMP+ACAM=9Q°,

：.ACAM=AD,

■：ACMA=AABC,

CMA-△CBD.

(2)

连接OC

■：AMAN=9。°,

，儿W是直径，

-：MN=W,

：.OM=ON=OC=5,

■：AM^2AN,且AM?+AN2=MN2,

:.AN=R三，AM=W5,

'''SAAMNTAM-AN^MN,AP,

:.AP=4,

:.BP=AP=4,

NP=々AN2—AP2=2,

:.OP=5-2=3,

:MC=NC,

:.OC_LMNf

/.ZCOE=90°,

•：ABLMN,

/./BPE=90。,

：.ABPE=ACOE,

又：乙BEP=(CEO,

/.△COE-△BPE

,CO_OE_CE_

''BP-PE-BE,

即f=££=££

14PEBE

由OE+PE=OP=3,

:.OE=-,PE=-,

3'3'

:.CE=^/OC2+OE2=弋52+02=^~ib,

BE='JBP2+PE2=742+职=,力，

BCUld+-^10=3^~10.

33

过。点作CGLAW,垂足为G,连接CN,贝（J/CGM=90。,

：.ACMG+AGCM=9Q°,

.「MN是直径，

.\Z_MCN=90°,

：.£CNM+£DMP=90°,

'：AD+^DMP=90°,

AD=ACNM=Z.GCM,

XanXMDB=1,

/.tanZCNM-tanZGCM=1,

GM

/tanZGCM~CG

一.设GAI=3x,CG=4x,

:.CM=5x,

，

CN=—3，,3N，G=—,

NTR万25x

:.NM=—,

:.OM=ON6,

'：AM=2AN,且AM2+AN2=_WN2,

AAT5V5,,ial~5

二.AN=—x,A4M=----x,

33

.・T△AMN-AN=(MN•AP,

：.AP=yX=PB,

:.NP=±x,

3

：n-16511

.PG=—3X--3X=—3X,'

/CGE=ABPE=9G。,Z_CEG=ABEP,

/.△CGE—ABPEf

.CG_GE_CE

'*BP-PE一病’

an4xGECE

即弟=左=前

:.GE=2x,PE=%x

:.ME=5x,NE=—,

:.ME：NE=3:2,

【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识,

涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本

题综合性较强，属于压轴题.

满分训练.

一、解答题【共20题】

1.(2022•内蒙古内蒙古•中考真题)如图，是△ABC的外接圆，EF与。。相切于点

EF||BC分别交AB.AC的延长线于点E和£连接AD交BC于点N,NABC的平分线

BM■交AD于点M.

(1)求证：AD平分NBAC；

(2)若AB：BE=5:2,AD=E求线段DM的长.

【答案】(1)见解析

(2)DM=2

【分析】(1)连接。。根据切线的性质得。。，斯，由EFIIBC得ODL8C,由垂径定

理得垸>=*>,进而即可得出结论；

(2)由平行线分线段定理得。N=率，再证明aBON〜△ADB,可得BD=2,最后

证明NBA!。进而即可求解.

(1)

证明：连接。。交BC于点”

・「E尸与。O相切于点。

:.OD1EF,

..NODF=90°,

:BC||EF,

..NOHC=ZODF=90°,

:.OD1BC,

:.BD=CD,

:.ZBAD=ZCAD即AD平分NBA。；

(2)

解：••・BCIIEF,

.BE_ND

''~AE-AD,

:AB.BE=5:2,AD=714,

:.DN呼

■.ZBAD=ACAD,ACAD=ZCBD,

..NBA。=NCBD,

•・BM平分NABC,

..ZABM=NCBM,

..ABAD-/-ZABM=NCBD+NCBM,

..ZBMD=NMBD,

:.BD=DM,

.NNBD=NBAD,ZBDM=ZADB,

，△BDNADB,

.ND__DB_

,,"BK~~AD

:.BD2ND-AD=—xV74-4,

7，

■■-BD=2(负值舍去)，

:.DM=BD=2

【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线

段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关

键.

2.(2022・湖北黄石•中考真题)如图CD是G)O直径，/是。O上异于C,。的一点，点2

是DC延长线上一点，连接AB、AC,AD,且NBAC=NADB.

(1)求证：直线AB是OO的切线;

(2)若BC=2OC,求tanNADB的值；

(3)在(2)的条件下，作NCAD的平分线AP交OO于尸，交CO于E,连接PC、PD,若

AB=RX,求AE-AP的值.

【答案】(1)见解析

若

(3)W?

【分析】(1)如图所示，连接CU,根据直径所对的圆周角是直角得到NOAC+NOAD=

909,再证明NOAD=NBAC即可证明结论；

(2)先证明△BCA-△_54。,得到第=襄,令半径。。=04=r，则BC=2r,OB=

ADIJA.

3r,利用勾股定理求出AB=R5r,解直角三角形即可答案；

(3)先求出CD=R5,在由△CAD中，器=当，AC2+AD2^CD2,解得AC=2,

AD=R2证明△CAP~Z\EAD,得到空=41，则AE•AP=AC•AD=4^2

AnAU

(1)

解：如图所示，连接04,

.CD是0O直径，

:.NCAD=90°,

:.ZOAC+ZOAD=90

又.OA=OD,

:.ZOAD=ZODA,

:ZBAC=NADB,

:.ZOADABAC,

ABAC+NOAC=90°,即NBAO=90°,

:.AB1OA,

又rOA为半径，

直线AB是OO的切线；

(2)

解：:ABAC=ZADB,ZB=ZB,

BCABAD,

,AC_BC

''~AD~BA'

由BC=2O。知，令半径OC=OA=r,则BC=2r,OB=3r,

在RtzXBAO中，AB=^/OB2-OA2-W2r,

在RtaCAD中，tanNADC=^=|^=^=［，

(3)

解：在(2)的条件下，AB=RZ=磊,

:.r-Vj,

:.CD=R3,

在RtaCAD中，器=1，AC2+AD2=CD2,

解得AC—2,AD=k!2,

•.AP平分NCAD,

:.ZCAP=ZEAD,

又：NAPC=NADE,

CAP-△EAD,

,AC__AP

''-AE~~AD'

:.AE-APAC-AD=2xR5=W2

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判

定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键.

3.（2022•湖北襄阳•中考真题）如图，4B是半圆。的直径，点C在半圆。上，点。为BC

的中点，连接NC,BC,AD,4D与8C相交于点G,过点。作直线。£||8C,交NC的延长

线于点E.

E

D

A

(1)求证：OE是。。的切线;

(2)若AC=B。，CG=2”,求阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2哼

【分析】(1)连接。。根据已知条件，由ODLBC,DE^BC,证明ODLOE即可；

(2)根据£c=BD相等，再由(1)中CD=心可得，AC=CD=BD,从而得到

ZCAD=ZBAD=ZABC=30°,在比4406中，利用锐角三角函数求出/C、/G的长，从而

求出△C4G的面积，在瓦△48。中利用锐角三角函数求出4D的长，根据。川山。可得

△ACGS^AED,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出S^EAD=争，进而即

可阴影部分的面积.

(1)

证明：连接如图所示，

•.•点。为BC的中点,

J.ODLBC

\DEWBC,

s.ODLDE.

.•・。£是。。的切线.

(2)

连接如图所示,

E

cD

AOB

AC=BD

:.BD=AC

・••点。为品的中点,

..CD=BD,

:.AC=CD=BD,

ACAD=ABAD=30°.

■.AB是半圆0的直径，

N4CB=/ADB=9。。,

在&ZUCG中，tanNCAD=雪,sinNCAD=案，

:.CA=-^-,AG,

tan5^7°sin300,

:CG=R3,

:.CA=RJXV5=6,AG=4>l~3,

.,.BD=CA=6,

=

AACC~CG,AC=6、3,

△zic(J2

Dr\

在放△48。中，tanNBA。=等，

AD~—=1=6d3.

tan3疗V5

~3

:DE〃BC,

.♦.△CAGS^EAD,

.5ACAG_/AG)2

••郎；=乐)’

即=£,

SAEAD9,

.Q_2R3

-,0AEAD

-C—C_C一

.阴影部分一^AEAD^AACG

【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质,

解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键.

4.(2022•辽宁鞍山•中考真题)如图，。。是△ABC的外接圆，AB为。O的直径，点E

为。。上一点，EFIIAC交AB的延长线于点尸，CE与AB交于点D,连接BE,若NBCE=

,ABC.

(1)求证：EF是。。的切线.

(2)若BF=2,sinZBEC求。O的半径.

O

【答案】(1)过程见解析

(2)3

【分析】⑴连接。瓦先根据圆周角定理及已知条件得出NZ8C=NBO瓦进而得出OE||BC,

再由EF||CA,根据平行线的性质得出NF£O=NZCS,然后根据直径所对的是直角，即可

得出答案；

(2)先说明△FEO〜△ACB,再设oO的半径为八并表示FO,AB,BC,然后根据

对应边成比例得出黑=筹，根据比例式求出半径即可.

nCAn

(1)

证明：连接OE

/ABC=/BOE,

:.OE||BC,

：.AOED=£BCD.

:EF||CA,

：.AFEC=AACE,

,"OED+/FEC=/BCD+/ACE,

即/斤£O=N4C8.

■.AB是直径，

Z^CB=90°,

J/FEO=90°,

:.FE1EO.

TE。是O。的半径，

；.EF是。。的切线.

(2)

:EF||AC,

，△FEO-AACB.

:BF=2,sinZBEC=4

5

设。。的半径为r,

:.FO=2+r,AB=2r,BC=%

5

.,EO_FO_

'BC~'ABf

.r_2+r

解得r=3,

二。O的半径是3.

【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关

键.

5.(2022•辽宁朝阳•中考真题)如图，/C是。。的直径，弦BD交AC于点、E,点、F为BD

延长线上一点，ADAF=AB.

(1)求证：/尸是。。的切线；

(2)若。。的半径为5,4D是的中线，且40=6,求/£的长.

【答案】(1)见解析

(2《

卜分析】(1)由圆周角定理得//。。=90。，则//(券+/。/。=90。，从而说明OA_LAF,

即可证明结论；

(2)作DH_LAC于点”利用兼=器，求出N"的长，再利用直角

三角形斜边上中线的性质得出AD=DE,利用等腰三角形的性质可得答案.

(1)

证明：是直径，

ZADC=90°,

AACD+/LDAC=90°,

■：AACD=AB,AB=^DAF,

：.£DAF=£ACD,

：./DAF+/n4c=90°,

:.OA1AF,

••,/c是直径，

..//是。。的切线；

(2)

解：作DH_LAC于点”，

■.■QO的半径为5,

:.AC=W,

-：NAHD=NADC=9Q。,ADAH=£CAD,

：./\ADH-AACD,

.AD__AH

''AC~~ADf

:.AD2=AH-AC,

\AD=6,

:.AH=-=^,

105'

,二4。是环的中线，/EAF=90。,

：.AD=ED,

AE=2AH=当.

5

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三

角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出的长是解题的关键.

6.(2022•山东荷泽•中考真题)如图，在△ABC中，以N3为直径作。。交/C、2C于点D、

E,且。是NC的中点，过点。作DG，BC于点G,交加的延长线于点4

(1)求证：直线”G是OO的切线；

(2)若HA=3cosB求CG的长.

O

【答案】(1)见解析

(2千

【分析】⑴连接。。利用三角形中位线的定义和性质可得ODIIBC,再利用平行线的性

质即可证明；

(2)先通过平行线的性质得出NHBG=NHOD,设。。=OA=OB=r,再通过解

直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出

BC,BG的长度，即可求解.

(1)

连接

DG1BC,

NBGH=90

1,。是ZC的中点，AB为直径,

ODWBC,

,­,NBGH=NODH=90°,

•・.直线"G是。。的切线;

（2）

由（1）得ODIIBC,

:.NHBG=NHOD,

O

vcosZHBG=-

5

・•・cosNHO。=《

o

设OD=OA=OB=r,

VHA=3,

.e*OH=3+r,

在HtaHOO中，ZHDO=90°,

•••cosNHOD=^7=~^—=：

OH3+r5

解得r=2,

:.OD=OA=OB=ZOH=5,BH=7,

•・•。是4。的中点，45为直径，

ABC=20D=4,

••・NBGH=NODH=90°,

/.△ODH〜△BGH,

—=—即£==1

BHBG''7BG'

BGW

CG=BC—BG=4=3

一5=o

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形

的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键.

7.（2022•贵州黔西•中考真题）如图，在△ABC中，AB-AC,以为直径作OO,分

别交8。于点。交NC于点£,DH1AC,垂足为连接。£并延长交历1的延长线于

点F

⑴求证：oa是。。的切线;

⑵若E为/〃的中点，求篙的值.

rL)

【答案】⑴见解析

【分析】(1)连接。。，证明OD||AC,由DHLAC,可得DH_L。。，即可证明结论;

(2)连接/。和8£,由圆周角定理可以得出NADB=NAEB=9。。,可以得出DH||BE,

OD\\AC,进而根据平行线分线段成比例推出BD=CD,CH=HE,根据£为的中点，

可得出/£=£〃=caAE=<AC,根据OO〃AC且OD=《AC,可以得出△FAE

FOD,根据相似三角形的性质得到篙=黑，将第。。代人即可求出答案.

rL)UJJ

(1)

连接OD,则OD=OB.

:.ZODB=NABC.

:AB=AC,

:.ZABC=Z.C.

:.ZODB=Z.C.

:.OD||AC.

:.ZDHC=NHDO.

:DH1AC,

:.ZDHC=ZHDO=90

:.DH1OD.

二。”是。。的切线.

(2)

连接AD和BE.

r/B是。。的直径,

\OA=OB,ZADB=ZAEB=90°.

:OD||AC

OBBD_

・EF=7

:.CD=BD.

.•.0。44。且0。="。.

:OD||AE,

:.AAEF=AODF.

「NF=NF,

；△FAE-△FOD.

.FE__AE_

,•丽~'OD'

:Z.DHA=Z.BEA=90°

:.DH||BE

CHCD.

二证=说=7

:.CH=HE.

・「E为⑷/的中点,

.'.AE=EH=CH.

.'.AE=-3AC

,FE__AE_幺。_2

''FD~~~OD^AC

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的

判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键.

8.（2022•贵州安顺・中考真题）如图，AB是。O的直径，点E是劣弧BD上一点，ZPAD=

ZAED,且DE=T/2AE平分NBA。，AE与BD交于点F.

⑴求证：PA是。0的切线;

(2)若tanNDAE=1，求EF的长;

(3)延长DE,AB交于点C,若OB=BC,求OO的半径.

【答案】(1)见解析

(2)1

(3)2

【分析】(1)根据AB是。O的直径，可得NADB=9〃，即/DAB+NDBA=90,根

据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得NPAD=0ABD,等量代换后即可得

ZPAB=90°,进而得证；

(2)连接OE,EB,根据角平分线的定义，以及等边对等角可得ADIIOE,根据同弧所对

的圆周角相等可得NDAE=NDBE,由垂径定理可得DE=EB=42进而可得

tanZEBF=手，即可求解.

(3)过点B作BGIIAD,根据平行线分线段成比例，求得DG=R2设。。的半径为X,

则GB=：OE=黄，证明△CGB必CDA,可得AD=次在Rt△ADB中，AD2+

DB2=AB2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

(1)

证明：是。O的直径，

.­.ZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

vAD—AD,

Z.AED=XABD,

•・•ZPAD=NAED,

・•.Z.PAD=Z.ABD,

・•・ZBAD+/PAD=ABAD-bZABD=90°f

即NPAB=90。，

・•.PA是。。的切线，

⑵

如图，连接OE,EB,

•••AE平分NBAD,

:.Z.DAE=XBAEf

：.DE=BE=2

.\OE1BD

•••OA=OE,

:.Z.OEA=Z.OAE,

・•.XDAE=Z.AEO,

・•.AD\\OE,

■:AB是。O的直径，

・•・AD1DB,AE1EB,

即方=/8Eb=90。，

•••DE=DE

ZDAE=NDBE,

tanZEBF=tanZDAE=—,

2，

EF_<2_

~EB一_7，

-EF=—EB=7；

(3)

如图，过点B作BGIIAD,

由(2)可知ADIIOE,

・•.OE\\BGf

AO=OB=BC,

・•.DE=EG=GC,

设oo的半径为X,则GB=TOE=(X,

AD\\BG,

CGBCDA,

.CG_GB_

••~CD~~ADf

Q

••AD=3GB='-x,

2，

•••OE1DB,

・・・DB1GB,

DE=T2

DG=2DE=R2

在RtaDBG中，DB2=DG2-GB2=8-(jx)2,

在RtaADB中，AD2+DB2=AB2,

即©X)2+8-CX)2=(2X)2,

解得：x=2(负值舍去)，

••.O。的半径为2.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的

性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键.

9.(2022•山东枣庄•中考真题)如图，在半径为10c〃?的O。中，是。。的直径，C£＞是

过。O上一点C的直线，且ADLDC于点平分/84D,点E是BC的中点，=6cm.

⑴求证：CD是。。的切线;

(2)求ND的长.

【答案】(1)见解析

(2)AD

5

【分析】(1)连接oc,由NC平分/B4D,OA=OC,可得/ZX4C=/OC4,AD\\OC,根

据4DLOC,即可证明CD是。。的切线；

(2)由OE是A/BC的中位线，得/C=12,再证明AD4cs△C48,第=若，即爷=今,

ACAn/Zzu

从而得到AD=^.

o

(1)证明：连接。C,如图:■.ADAC=

ACAO,：OA=OC,：.ACAO=AOCA,:"DAC=NOCA,：.AD\\OC,：AD1_DC,

-.COLDC,是。。的半径，二CD是。。的切线;

(2)解：rE是8c的中点，且。4=08,是△N3C的中位线，AC=2OE,:OE=6,

：.AC=12,,.ZB是OO的直径，：.AACB=90°=^ADC,又"AC=4CAB,

A――人ADAC口口AD12f36

.-.ADAC^ACAB,即方=)—=》

【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟

练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段.

10.(2022・山东济宁•中考真题)如图，在矩形4BCD中，以48的中点。为圆心，以。/

为半径作半圆，连接交半圆于点及在觥上取点尸，使曜=叁，连接DF.

(1)求证：与半圆相切；

(2)如果48=10,BF=6,求矩形48CD的面积.

【答案】(1)见解析

陪

【分析】(1)连接。尸，证明△DAOmZ\DFOfSAS),可得/DAO=NDFO,根据矩

形的性质可得NDAO=9(T,进而即可得证；

(2)连接AF,根据题意证明△AO。〜△尸BA,根据相似三角形的性质求得DO,进而

勾股定理A。，根据矩形的面积公式即可求解.

(1)

证明：连接。尸.

VAE^EF,

Z.DOA=NFOD.

•••AO=FO,DO=DO,

・•.△DAO=△DFOfSASJ

・・.ADAO=NDFO.

•・•四边形ABC。是矩形，

・•.ZDAO=9(T

ZDFO=9(T.

厂与半圆相切.

解：连接AF,

VAO=FO,ADOA=ZDOF,

・•・DO1AF,

・・・AB为半圆的直径，

・•.NAFB=9(T,

・•・BF1AF,

DO||BF.Z.AOD=Z.ABF.

vZOAD=NAFB=9(Ty

AODFBA

.AO__DO

**BF~~ABf

.56_DO

10，

・・.DO

3，

在Ht4AoD中，AD=、DO2-AO2=«审-52=与

矩形ABCD的面积为与x10=掌

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握

以上知识是解题的关键.

11.(2022•青海西宁•中考真题)如图，在中，NC=90。，点。在N3上，以

3D为直径的＜30与/C相切于点E,交3。于点£连接。fOE交于点M.

(1)求证：四边形EMFC是矩形；

(2)若AEOO的半径为2,求比0的长.

【答案】(1)详见解析

(2毋

【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出NCFD=9〃，由。O

与NC相切于点£,利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出OE_LAC,进而可得出

Z.OEC^Z.AEO^9(T,结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形

EMFC是矩形.

(2)在Rt△AOE中，利用勾股定理可求出OA的长，进而可得出AB的长，由

NAEO=NC=90°,利用“同位角相等，两直线平行”可得出OE〃BC,进而可得出

△AEO-AACB利用相似三角形的性质可求出AC的长，结合CE=AC-AE,可

求出CE的长，再利用矩形的对边相等，即可求出FM的长.

(1)

.AD是OO的直径，

:.ZBFD=9。。，

:.NCFD=90°,

二。0与NC相切于点及

:.OE1AC,

:.ZOEC=NAEO=90°,

又；.NC=90°,

--.ZC=/CFD=NOEC=90°,

，四边形EMFC是矩形.

(2)

解：在Ht△AOE中NAEO=9疗AE=J三OE=OB=2,

:.OA2AE2+OE2,

:.OA=>/AE2+OE2=、H32+22=3,

AB=OA+OB=3+2=5,

:.ZAEO=NC=90。，

..OE//BC,

△AEO—△ACBt

AE_AO„„V?_3

~AC一AB"即就一?

..AC=等,

:.CE^AC-AE=也一/=当

33

.•.四边形囱"C是矩形，

R石

:.FM=CE=—.

3

【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的

判定与性质，解题的关键是：（I）根据各角之间的关系，找出四边形丽c的三个角均为

直角.（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出ZC的长度.

12.（2022•辽宁大连•中考真题）是G）O的直径，C是。。上一点，ODJ.BC,垂足为

D,过点/作0。的切线，与DO的延长线相交于点E.

⑴如图1,求证NB=NE；

（2）如图2,连接AD,若。。的半径为2,OE=3,求AD的长.

【答案】（1）见解析

Q拜

【分析】(1)证明NODE=NOAE=90。，ZDOB=ZAOE,即可得出NB=NE；

(2)证明AODB〜AOAE,求出。D,由勾股定理求出。民由垂径定理求出2C,进而

利用勾股定理求出/C,AD.

(1)

解：OD1BC,

:.NODB=90。，

AE是。。的切线，

:.Z.OAE=90。，

在AODB和AOAE中，ZODB=ZOAE=90°,NDOB=NAOE,

NB=NE；

(2)

解：如图，连接/C.

•••O。的半径为2,

OA=OB=2,AB=4,

•••在AODB和AOAE中，

NODB=NOAE=90°,NDOB=NAOE,

:.AODB〜AOAE,

ODOBOD2

---=----即-a-n-----

OAOE'123'

■-OD=:

在RtAODB中，由勾股定理得：OD?+DB2=OB2,

:.DB=>/OB2-OD2=Y22_(乎=除

■：OD1BC,OD经过OO的圆心,

:.CD=DB=半

3，

:.BC=2DB=号.

・「AB是。。的直径，C是。。上一点，

:.ZACB=90°,

在RtAACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

：.AC='JAB2-BC2=^42-（—）2=-.

在RtAACD中，由勾股定理得：AC2+CD2AD2,

:.AD=、AC2+CD2=%2+（季）2=咚

【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性

质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明AODB〜AOAE求出OD的长度是

解题的关键.

13.（2022•青海•中考真题）如图，48是。。的直径，NC是。O的弦，4D平分NC42交。O

于点。，过点。作O。的切线斯，交43的延长线于点E,交的延长线于点F

（1）求证：AF1EF-,

（2）若CF=7,AC=2,AB=4,求BE的长.

【答案】（1）见解析

⑵2

【分析】（1）连接O。，根据AD平分NCAB,可得NCAD=ZOAD,从而得到NCAD=

ZODA,可得ODIIAF,再由切线的性质，即可求解；

（2）由△ODE可得=OD;AF,设BE为x,可得OE=OB+

BE=2+x,即可求解.

（1）

证明：连接OD,

F.

「A。平分NCAB,

:.ACAD=ZOAD,

:OA=OD,

:.ZOAD=ZODA,

..ACAD=ZODA,

:.OD||AF,

・「EF为OO的切线，

:.OD1EFf

:.AF1EF.

（2）

解：由（1）得：OD\\AF,

，△ODE〜匕AFE,

\AC=2,CF=7,

AF=3,

:AB=4,

:.OD=2,OB=2,

:.OE:AE=OD:AF,

设BE为x,

:.OE=OB+BE=2+x,

.2+x_2

''4+x~'3'

解得：x=2,

即BE的长为2.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相

似三角形的判定和性质是解题的关键.

14.（2022•广西柳州•中考真题）如图，已知4g是OO的直径，点£是。。上异于8的

点，点尸是EB的中点，连接AF,BF,过点尸作尸交/£的延长线于点C,交

的延长线于点，N/OC的平分线。G交/厂于点G,交FB于点、H.

⑴求证：CD是OO的切线；

(2)求sinZF/fG的值；

(3)若GH=W2HB=2,求00的直径.

【答案】⑴见解析

(3)00的直径为6y/~5

【分析】(1)连接。£先证明。niNC,则/。网＞=NC=90°,根据切线的判定定理可得

出结论.

(2)先证NDFB=NO”,AADG=AFDG,根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两

个内角之和得出/尸GH=AFHG=45°,从而可求出sin/FHG的值.

(3)先在△GF”中求出FH的值为4,根据等积法可得益=篇=2,再证凡

L)DriD

根据对应边成比例可得盥=需=2,又由