2022-2023学年安徽省亳州市高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省亳州市高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．函数在区间上的最小值为A．72 B．36 C．12 D．0【答案】D【分析】先根据给出的函数求出导函数；再令，求出单调递增区间，再令，求出单调递减区间，确定出函数上的单调性，从而求出最小值.【详解】解：，令，即解得当时，当时，∴，而端点的函数值，，得．故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进而确定最值.2．已知函数定义域为，其导函数为，且在上恒成立，则下列不等式定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.【详解】，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，即，即，故选：A.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为（

）A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)【答案】A【分析】求导，借助单调性研究最大值即可【详解】令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).故选：A4．若函数，函数，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】表示两函数图像上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离.【详解】由题可得，令，则，得或（舍去），所以，故与直线平行切线对应切点为.则切点到直线的距离为，又最小值为切点到直线的距离的平方，所以的最小值为.故选：D.5．若函数满足在上恒成立，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，根据导数确定函数单调性，进而判断各选项.【详解】由，设，则，所以在上是增函数，又，所以，即，故选：B.6．已知函数，是的导函数，则函数的一个单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，根据三角函数的求导公式以及辅助角公式，整理单角三角函数，根据正弦型函数的单调性，可得答案.【详解】，令，得：，∴单调递减区间为故选：A.7．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．不存在这样的实数k【答案】B【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，又的根为，且在或两侧异号，而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，∴或，∴或，故A，C，D错误.故选：B.8．已知函数的导函数满足，则对都有A． B．C． D．【答案】A【详解】构造函数F(x)=x2f(x)，则F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))，当x>0时,F′(x)>x3>0,F(x)递增；当x<0时,F′(x)<x3<0,F(x)递减，所以F(x)=x2f(x)在x=0时取最小值，从而F(x)=x2f(x)⩾F(0)=0，故选A.二、多选题9．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用凸函数的定义逐个分析判断即可【详解】解：对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以A正确；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以B正确；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以C正确；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，所以D不合题意，故选：ABC10．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（

）A．在区间上，单调递增B．在区间上，单调递增C．在区间上，单调递增D．在区间上，单调递增【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案.【详解】由题图知当时，，所以在区间上，单调递增，BC正确；当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.在上递增，A错误；当时，，所以在区间上，单调递减，D错误；故选：BC11．设函数的定义域为R，则下列命题中正确的有（

）A．若存在常数，使得对任意R，有，则是函数的最大值B．若存在R，使得对任意R，且，有，则是函数最大值C．若存在R，使得对任意R，有，则是函数的最大值D．若的最大值为2，则的最大值也为2【答案】BCD【分析】由最大值的定义可判断A、B、C；由的最大值为2，可知对任意的实数x恒有，可判断D.【详解】由最大值的定义可知，仅满足对任意的意R，有，还不能确定是的最大值，这是因为还必须在定义域中存在使，才能说明是的最大值，故A错误.由函数最大值的定义可知B，C正确.在D中，由于的最大值为2，所以存在使得，且对任意的R有.故对任意的实数x恒有，所以的最大值也为2，D正确.故选：BCD.12．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】AB【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值.【详解】由题意可得，，因为在直线l上，当为的切点时，则，所以直线l的方程为，又直线l与相切，所以满足，得；当不是的切点时，设切点为，则，所以，得，所以，所以直线的方程为.由，得，由题意得，所以.综上得或.故选:AB三、填空题13．函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.【答案】【分析】求导，根据函数在上的最小值为即可判断函数的单调性，将恒成立转化为函数最值问题求解.【详解】，在上的最小值为，说明在上单调递减，所以当时，恒成立，即所以所以故答案为：14．已知函数，则该函数的图象在处的切线的倾斜角为__________.【答案】【分析】对函数求导数，计算时的斜率，得倾斜角.【详解】因为，所以，所以，即切线的斜率为-1，倾斜角为.故答案为：.15．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为．【答案】﹣37【详解】试题分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常数m的值，即可求出函数的最小值．解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，又因为x∈[﹣2，2]，所以得当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．答案为：﹣37【解析】利用导数求闭区间上函数的最值．16．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围为______【答案】【分析】先利用导数求出时，函数的单调性及极值，再结合题意，建立关于的不等式组，解不等式组即可得出答案．【详解】当时，，故函数在，单调递增，在单调递减，当时，，，，由于最多有3个零点，最多只有一个零点，故要使函数有四个不同的零点，则需，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的极值及最值，考查推理能力及计算能力，属于中档题．四、解答题17．已知函数，求证：当时，.【答案】证明见解析【分析】利用导数，求函数单调性，证明不等式.【详解】证明：，函数定义域为，，当时，，∴在上是增函数.于是当时，．18．如图是函数在区间上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.【答案】极小值为，极大值为；最小值是，最大值为.【解析】利用函数的极值和最值的定义，结合题中图象即得结果.【详解】由题图可知，在处取极小值，在处取极大值，所以极小值为，极大值为；比较极值和端点值可知函数的最小值是，最大值在b处取得，最大值为.19．设函数，其中a，.（1）若函数在处取得极小值，求a，b的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在上只有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【分析】（1）首先对函数求导，根据题意，得到，，得到所满足的等量关系，求得结果；（2）对函数求导，并进行因式分解得到，比较和2的大小，从而进行分类讨论，进而确定函数的单调区间；（3）函数在上只有一个极值点，等价于在上只有一个解，结合（2）及零点存在性定理可得，从而求得的范围.【详解】（1）因为，所以，得.由，解得.（2）因为，令，得或.当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为.（3）由题意可得，即，化简得，解得，所以a的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关函数与导数的问题，涉及到的知识点有利用导数求函数的极值，利用导数确定函数的单调区间，理解函数的极值的定义是解题的关键，属于中档题目.20．已知函数（其中），且，求：(1)f（x）的表达式；(2)曲线y=f（x）在x=a处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用导数运算公式解得，再根据已知条件解得a的值即可.（2）由（1）可解得切点及切线斜率，再运用点斜式方程写出切线方程即可.【详解】（1），于是有，所以，又，即，.（2）由（1）知，，所以，所以切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即.21．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解.【详解】（1）由题可知函数的定义域为，，即，(i)若，则在定义域上恒成立，此时函数在上单调递增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上单调递减，上单调递增.综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增.（2）当时，，要证明，只用证明，令，，令，即，可得方程有唯一解设为，且，所以，当变化时，与的变化情况如下，单调递减单调递增所以，因为，因为，所以不取等号，即，即恒成立，所以，恒成立，得证.22．已知函数，．(1)证明：，直线都不是曲线的切线；(2)若，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)实数的取值范围为.【分析】（1）若直线与曲线相切，设切点则可得化简可得，与已知矛盾，完成证明.（2）可转化为，令，，，分类讨论求的最小值即可.【详解】（1）的定义域为，，直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则，即①，设，，则，所以在上单调递增，又，从而