2023年北京市中考数学专题练习题精选提分专练六特殊四边形相关的计算与证明

提分专练(六)特殊四边形相关的计算与证明(18年21题,17年20题)|类型1|平行四边形的判定+线段长度1.[2023·通州一模]如图T6-1,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.图T6-1(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.2.[2023·石景山二模]如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.图T6-2(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的长.3.[2023·西城一模]如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.图T6-3(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.4.[2023·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.图T6-4(1)证明:AF=CE;(2)若∠B=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.|类型2|菱形的判定+线段长度5.[2023·顺义一模]如图T6-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.图T6-5(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.6.[2023·平谷一模]如图T6-6,在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.图T6-6(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)连接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.7.[2023·门头沟一模]如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.图T6-7(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.8.[2023·西城一模]如图T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.图T6-8(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由.(2)若AB=5,cos∠ABD=,求BD的长.|类型3|菱形的判定+图形面积9.[2023·延庆一模]如图T6-9,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.图T6-9(1)求证:四边形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.10.[2023·大兴一模]如图T6-10,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE=OC,CE=OD.图T6-10(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.11.[2023·怀柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点F.图T6-11(1)求证:∠ACB=∠DCE;(2)若∠BAD=45°,AF=2+,过点B作BG⊥FC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.12.[2023·海淀一模]如图T6-12,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.图T6-12(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是时,四边形AOBE的面积最大,最大值是.

|类型4|矩形的判定+线段计算13.[2023·石景山一模]如图T6-13,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=2,CE⊥AD于点E.图T6-13(1)求证:AE=CE;(2)若tanD=3,求AB的长.14.[2023·丰台一模]已知:如图T6-14,菱形ABCD,分别延长AB,CB到点F,E,使得BF=BA,BE=BC,连接AE,EF,FC,CA.(1)求证:四边形AEFC为矩形;(2)连接DE交AB于点G,如果DE⊥AB,AB=4,求DE的长.图T6-1415.[2023·通州一模]如图T6-15,在平行四边形ABCD中,DB⊥AB,点E是BC边的中点,过点E作EF⊥CD,垂足为F,交AB的延长线于点G.图T6-15(1)求证:四边形BDFG是矩形;(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.16.[2023·朝阳一模]如图T6-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.图T6-16(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=,求cos∠AED的值.参考答案1.解:(1)证明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,∴BD∥CF.∵∠CBF=∠DCB,∴DC∥BF.∴四边形DBFC是平行四边形.(2)由(1)得四边形DBFC是平行四边形,∴CF=BD=2.过点C作CH⊥BF于点H,∵∠F=45°,∴CH=.∵BC平分∠DBF,∴CH=CE=,∵AB=BC,BD⊥AC,∴AC=2CE=2.2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.在Rt△BAE和Rt△CDF中,∴Rt△BAE≌Rt△CDF.∴∠1=∠F.∴BE∥CF.又∵BE=CF,∴四边形EBCF是平行四边形.(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,AB=,∴AE=AB·tan∠2=1,BE==2,∠3=60°.在Rt△BEC中,BC===4.∴AD=BC=4.∴ED=AD-AE=4-1=3.3.解:(1)证明:∵∠ADE=∠BAD,∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC,垂足为F,∴BD⊥AC,AF=FC.又∵AE⊥AC,∴∠EAC=∠DFC=90°,∴AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.(2)如图,连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE,∴∠ADE=∠1.又∵∠ADE=∠BAD,∴∠1=∠BAD,∴AB=BD,∴▱ABDE是菱形.∴AD⊥BE.∵AB=5,AD=6,∴BD=AB=5,OA=AD=3.在Rt△OAB中,OB==4.∵S△ABD=AD·OB=BD·AF,∴6×4=5AF,解得AF=4.8.∵BD垂直平分AC,∴AC=2AF=9.6.4.解:(1)证明:∵D,E分别是BC,AB的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AC,AC=2DE.又∵EF=2DE,∴EF=AC,∴四边形ACEF为平行四边形,∴AF=CE.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴BC=2,DE=1,∠EDB=90°.∵D为BC中点,∴BD=.又∵EF=2DE,∴EF=2.∴DF=3.在Rt△BDF中,由勾股定理得BF==2.5.解:(1)证明:∵BD=BC,E是CD的中点,∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BD=DF.∵BD=BC,∴DF=BC.又∵DF∥BC,∴四边形BCFD是平行四边形.又∵BD=BC,∴▱BCFD是菱形.(2)∵∠A=90°,AD=1,BD=BC=2,∴AB==.∵四边形BCFD是菱形,∴DF=BC=2,∴AF=AD+DF=3,∴BF===2.6.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∵▱ABCD,∴AD∥BC.∴∠AFB=∠CBF.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°.∴∠BAO=∠BEO.∴AB=BE.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴▱ABEF是菱形.(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.∴BE=2CE.∵AB=4,∴BE=4.∴CE=2.过点A作AG⊥BC于点G.∵∠ABC=60°,AB=BE,∴△ABE是等边三角形.∴BG=GE=2.∴AF=CG=4.∴四边形AGCF是平行四边形.∴▱AGCF是矩形.∴AG=CF.在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=4,∴AG=2.∴CF=2.7.解:(1)证明:∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形.(2)设AF=x,∵EF是AC的垂直平分线,∴AF=CF=x,BF=8-x,在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴AF=5,∴菱形AECF的周长为20.8.解:(1)补全的图形如图所示.∠AOB=90°.理由:由题意可知BC=AB,DC=AB.∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴BC=DC=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OB=OD.在Rt△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,cos∠ABD=,∴OB=AB·cos∠ABD=3,∴BD=2OB=6.9.解:(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,∴四边形DBEC是平行四边形.在Rt△ABC中,∵D是AC的中点,∠ABC=90°,∴BD=DC,∴四边形DBEC是菱形.(2)∵F是AB的中点,D是AC的中点,∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°,在Rt△AFD中,AF===2.∴S△DBC=BC×BF=×2×2=2,∴S菱形DBEC=2S△DBC=4.10.解:(1)证明:∵DE=OC,CE=OD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=AC,OD=BD.∴OC=OD.∴平行四边形OCED是菱形.(2)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,∴BC=2.∴AB=DC=2.如图,连接OE,交CD于点F.∵四边形OCED为菱形,∴F为CD中点.∵O为BD中点,∴OF=BC=1.∴OE=2OF=2.∴S菱形OCED=OE·CD=×2×2=2.11.解:(1)证明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE.(2)补全图形,如图所示:∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE,∴AB=BG.∵AB=AD,∴BG=AD,∴四边形ABGD是平行四边形.∵AB=AD,∴平行四边形ABGD是菱形.设AB=x,则BG=GD=AD=x,∴BF=BG=x.∴AB+BF=x+x=2+,∴x=.过点B作BH⊥AD于H,∴BH=AB=1.∴S四边形ABGD=AD×BH=.12.解:(1)证明:∵AE∥BD,BE∥AC,∴四边形AEBO是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB.∵OE=CD,∴OE=AB.∴平行四边形AEBO是矩形.∴∠BOA=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.(2)正方形;2.13.解:(1)证明:(法一)过点B作BH⊥CE于H,如图.∵CE⊥AD,∴∠BHC=∠CED=90°,∠1+∠D=90°.∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠D.又BC=CD,∴△BHC≌△CED.∴BH=CE.∵BH⊥CE,CE⊥AD,∠A=90°,∴四边形ABHE是矩形,∴AE=BH.∴AE=CE.(法二)过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H.图略,证明略.(2)∵四边形ABHE是矩形,∴AB=HE.∵在Rt△CED中,tanD==3,设DE=x,CE=3x,∴CD=x=2.∴x=2.∴DE=2,CE=6.∵CH=DE=2.∴AB=HE=6-2=4.14.解:(1)证明:∵BF=BA,BE=BC,∴四边形AEFC为平行四边形.∵四边形ABCD为菱形,∴BA=BC,∴BF=BE.∴BA+BF=BC+BE,即AF=EC.∴四边形AEFC为矩形.(2)连接DB.由(1)知,AD∥EB,且AD=EB,∴四边形AEBD为平行四边形.∵DE⊥AB,∴四边形AEBD为菱形.∴AE=EB,AB=2AG,ED=2EG.∵矩形AEFC中,EB=AB,AB=4,∴AG=2,AE=4.∴Rt△AEG中,EG=2.∴ED=4.15.解:(1)证明:∵BD⊥AB,EF⊥CD,∴∠ABD=90°,∠EFD=90°.在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=90°,∴BD∥GF.∴四边形BDFG为平行四边形.又∵∠BDC=90°,∴四边形BDFG为矩形.(2)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE