江西省上高重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题及参考答案

上高重点中学2022-2023学年高二下学期数学月考卷一、选择题(共8题)1.不等式a−2x2+4a−2x−12<0的解集为R，则实数A.a−1≤a<2 B.a−1<a≤2

C.a−2<a<12.已知i是虚数单位，复数z满足(z+1)(2−i)=3+i2021,则|z|=A.1 B.2 C.5 D.53.函数f(x)=|x|−lg |2x|x2A. B.

C. D.4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数g(x)=f(ax)(a>0)在[π3,π]上恰有3A.[32,73)∪(52,4)5.某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有(

)A.900种 B.600种 C.300种 D.150种6.某种芯片的良品率X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励Y的数学期望为元(

)

附：随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.A.52.28 B.65.87 C.50.13 D.131.747.已知数列{an}满足a1=1，an+1=anA.928 B.2728 C.10318.已知椭圆y212+x24=1，圆O:x2+y2=4，过椭圆上任一与顶点不重合的点G引圆的两条切线，切点分别为P,QA.54 B.45 C.43二、多选题(共4题)9.已知函数fx=sinωx+3cosA.函数y=fx的图象关于点π3,0中心对称

B.函数fx在区间−π6,π3上的值域为1,2

C.将函数y=fx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1210.已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827；②P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.)(

)A.标准差为100 B.及格率超过86%

C.得分在(70,130]内的人数约为997 D.得分低于80的人数和优秀的人数大致相等11.在数列an中，a1=2，a2=6，a3=12，若an+1−an是等差数列，A.a2021=2021×2022 B.b2021=2021×2022

C.12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为BA.直线EC1与直线AD是异面直线

B.在直线A1C1上存在点F，使EF⊥平面A1CD

C.直线BA1与平面A1三、填空题(共4题)13.(1−12x−4x)614.经过两条直线2x−y+4=0和x−y+5=0的交点，并且垂直于直线x−2y=0的直线方程是__________.15.数列an满足：an=an−5,n≤7(a−4)n+17,n>7，且16.设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)四、解答题(共5题)17.已知圆C经过三点O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)；

(1)求圆C的方程；

(2)经过点M(1,−4)的直线l被圆C所截得的弦长为45，求直线l的方程．

18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C.

(1)求角B；

(2)若b=7，19.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生262450女生302050合计5644100(Ⅰ)根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？

(Ⅱ)现从调查的女生中按分层随机抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；

(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．

参考公式：χ²=n(ad−bc)2P(χ²≥000000χ001356

20.已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，∠CAA1(1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD//平面B1C(2)当三棱锥B−A1DC1的体积为3时，求平面

21.设数列an的前n项和为Sn，若点(an,(1)求数列an的通项公式a(2)设数列bn满足bn=an⋅(4

22．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于一般题.

分别在a−2=0和a−2≠0的情况下，结合一元二次不等式恒成立的求法可构造不等式组求得结果.【解答】解：当a−2=0，即a=2时，不等式−12<0恒成立，满足题意；

当a−2≠0，由不等式解集为R得：a−2<0Δ=16(a−2)2+48(a−2)<0

，解得：−1<a<2；

综上所述：实数a的取值范围为

2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查特殊复数的运算，复数的除法运算，复数的模，属于中档题.

先利用复数的运算进行化简，再求复数的模即可.【解答】解：由已知，得z=3+i2−i−1=3+i−2+i2−i

3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查函数图象及函数的奇偶性，属于中档题.

由函数解析式知f(x)为偶函数，排除A，D，利用x→+∞时，f(x)→+∞排除B，从而得C符合题意.【解答】解：由解析式知f(x)的定义域为{x|x≠0}，

又f(−x)=|−x|−lg |−2x|(−x)2=|x|−lg |2x|x2=f(x)，

所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以A，D不符合题意，

由二次函数和对数函数的增长速度知，当x→+∞时，lg |2x|

4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题.

先求出f(x)的解析式，得g(x)=f(ax)=sin(2ax+【解答】解：由题意知BC//x轴，

所以f(x)的图象的一条对称轴方程为x=π2+2π32=7π12，7π12−π3=π4=14⋅2πω，

所以ω=2.

由于f(x)的图象过(π3,0)，

由2×π3+φ=π+2kπ，k∈Z，且0<φ<π2，得φ=π3，

所以f(x)=sin(2x+π3).

故g(x)=f(ax)=sin(2ax+π3)，

因为x∈[π3,π]，

所以2ax+π3

5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查排列与排列数公式的掌握程度，属于基础题.

根据甲是否去支教进行分类，第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，即求得答案.【解答】解：依题意，就甲是否去支教进行分类计数：

第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，

则满足题意的选派方案有C52⋅A44=240种；

第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，

则满足题意的选派方案有

6.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．

根据X∼N(0.95,0.012)得出μ=0.95，μ+σ=0.96【解答】解：因为X∼N(0.95,0.012)，所以μ=0.95，μ+σ=0.96，

所以P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5，

P(0.95<X≤0.96)=P(μ<X≤μ+σ)=12P(μ−σ<X≤μ+σ)=12×0.6826=0.3413；

P(X>0.96)=1

7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查数列的递推关系，裂项相消法求和，属于中档题.

根据题意，得出1an是以1a1=1为首项，3为公差的等差数列，求出数列【解答】解：a1=1，an+1=an3an+1(n∈N∗)，

则1an+1=3an+1an=1an

8.【答案】D

【解析】【分析】此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，属于中档题.设P(x1,y1),Q(x2,y【解答】解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),G(x因为点G在切线GP,GQ上，所以x1x3所以直线PQ的方程为x3所以M(4因为点G(x3,所以3x所以3OM故选：D.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题.

先求f(x)=2【解答】解：由题意，化简得f(x)=sinωx+3cosωx=2sin(ωx+π3)，

由题意知周期T=2πω=π，得ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)，

当x=π3时，2x+π3=π，y=0，故A项正确;

当x∈[−π6,π3]时，2x+π3∈[0,π]，故f(x)∈[0,2]，故B项错误;

将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的

10.【答案】CD

【解析】【分析】本题考查正态曲线及其性质，属于中档题．

利用正态分布中两个量μ和σ的意义，利用曲线的对称性即可判断各选项正误．【解答】解：由题意知，μ=100,σ2=100，

A:标准差：σ2=10，故A错误.

B：P(100−10<X≤100+10)=P(90<X≤110)=0.6827，P(X≤90)=12[1−P(90<X≤110)]=0.15865，

P(X>90)=1−P(X≤90)=0.84135<0.86=86%，故B错误.

C：P(100−30<X≤100+30)=P(70<X≤130)=0.9973，

∴1000×0.9973≈997人，故C正确.

D:P(100−20<X≤100+20)=P(80<X≤120)=0.9545，

11.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题.

由题意求出an+1−an=4+2(n−1)=2(n+1)，从而得到【解答】解：数列an+1−an是等差数列，因为a1=2，a2=6，a3=12，

所以(a3−a2)−(a2−a1)=2，

所以an+1−an=4+2(n−1)=2(n+1)，

当n≥2时，

an=(an

12.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，异面直线的判定，利用空间向量判定线面垂直，利用空间向量求线面角，点面距离，属中档题.

对于A，连接B1A,C1D，由E为BA1的中点可得E为B1A的中点，再由B1A//C1D且B1A=C1D可得EA//C1D且EA=【解答】解：对于A，连接B1A,C1D，因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中E为BA1的中点，所以E为B1A的中点，又因为B1A//C1D且B1A=C1D，所以EA//C1D且EA=12C1D，所以四边形AEC1D为梯形，所以直线EC1与直线AD共面，故A错误；

对于B，以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E12,0,12，设A1F=λA1C1，则Fλ,λ,1，EF=λ−12,λ,12，设平面A1CD的一个法向量为m=x,y,z，由m⋅DC=0m⋅

13.【答案】581

【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项，属于中档题.

先由(1−12x【解答】解：(1−12x−4x)6=[1−(12x+4x)]6，

所以(1−12x−4x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r⋅16−r⋅(−1)r⋅(12x+4x)r，

14.【答案】2x+y−8=0

【解析】【分析】本题考查求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是中档题．

联立已知的两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于−1，根据已知直线x−2y=0的斜率即可得到所求直线的斜率，点斜式写出所求直线的方程即可．【解答】解：联立得：{2x−y+4=0①x−y+5=0②，

①-②得：x=1，把x=1代入②，解得y=6，

原方程组的解为：x=1y=6，

所以两直线的交点坐标为(1,6)，

又因为直线x−2y=0的斜率为12，所以所求直线的斜率为−2，

则所求直线的方程为：y−6=−2(x−1)，即

15.【答案】(4,5)

【解析】【分析】本题考查数列的函数特征，分段函数的单调性，属于一般题.

由分段函数的单调性得不等式组a>1a−4>0a【解答】解：由数列an是递增数列得a>1a−4>0a7−5<a−4×8+17，

即a>1a>4a2−8a+15<0，

16.【答案】12【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、属于基础题.

根据导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程，结合已知列出方程求a的值即可.【解答】解：∵f(x)=a(x−5)2+6lnx，

故f′(x)=2a(x−5)+6x，(x>0)，

令x=1，得f(1)=16a，f′(1)=6−8a，

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−16a=(6−8a)(x−1)，

由切线与y轴相交于点(0,6).得6−16a=8a−6

17.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2−4F>0，

则由圆C经过三点O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)；

可得F=02+D+E+F=020+4D+2E+F=0，

求得

D=−8E=6F=0，

可得圆C的方程为x2+y2−8x+6y=0.

(2)由x2+y2−8x+6y=0，得x−42+y+32=25，

所以圆心C(4,−3)，半径为5，弦长为25，

故圆心C到直线l的距离为5.

再根据直线l【解析】本题主要考查用待定系数法求圆的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．

(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则根据圆C经过三点O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)；联立方程组，求得D、E、F的值，可得圆C的方程．

(2)由题意利用弦长公式可得圆心C到直线l的距离为5，用点斜式设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式求得直线l的斜率18.【答案】解：(1)因为sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC，

由正弦定理可得a2+c2=b2+ac，即a2+c2−b2=ac，

由余弦定理可得cosB=a2+c2【解析】本题考查解三角形，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．

(1)由正弦定理转化条件可得a²+c²−b²=ac，再结合余弦定理，即可解出B；

(2)利用正弦定理整理条件得到a=3c，再由余弦定理即可解出c，进而得到BC边上的高．

19.【答案】

解：(Ⅰ)由列联表得χ²=100(26×20−30×24)256×44×50×50≈0.6490.708，

所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．

(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，

按分层随机抽样的方法抽出5人，

则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．

即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人，

(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，ξ123P331于是E(ξ)=1×3【解析】本题考查独立性检验知识的运用，考查随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．

(Ⅰ)求出χ²，与表格中的数据比较，即可得出结论；

(