基础公共课复习资料-概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系AB则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生ABxA或xB}称为事件A与事件BA，B中至少有一个发生时，事件AB发生ABxA且xB}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件AB发生A—BxA且xB}称为事件A与事件BA发生、B不发生时，事件A—B发生AB，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的ABSAB，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件且A与事件B互为对立事件2．运算规则交换律ABBAABBA结合律(AB)CA(BC)(ABC(BC)分配律A（BC(A(AC)A(BC)(AB)(AC)—徳摩根律ABABABAB§3．频率与概率定义nnA发生的次数n称为事A件A发生的频数，比值nnA称为事件A发生的频率E是随机试验，SE的每一事件A（A称为事件的概率1．概率P()满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件APA)1（2）规范性：对于必然事件SP1nn（31,2,,nPA)PA)(（n可kk11k以取）2．概率的一些重要性质：（i）P)0nn（ii）若1,2,,n是两两互不相容的事件，则有P)PA)A(（n可以取）kkk1（iii）设AB是两个事件若AB，则P(B)P(B)P()，P(B)P(A)（iv）对于任意事件A，P()1（v）P()1P()（逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B有P(AB)P()P(B)P(AB)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即]1{e{}ik}A，里2i，ik，是中某个不同的数，则有ik2，n2,P()kj1Pe{i}kjn包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）A,BP()0()(B|)为事件A发生的条P()件下事件B发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有P(B|)02。规范性：对于必然事件S，P(S|)13可列可加性：设B,,是两两互不相容的事件，则有1B2PBiA)PBA(ii1i1)（3）乘法定理设P()0，则有P()P(B)P(A|B)称为乘法公式n（4）全概率公式：P()i1PB)(|(iPABi)贝叶斯公式：P(Bk|)P(B)P(A|B)kknP(B)P(A|B)iii1§6．独立性定义设ABP()P()P(B)A,B相互独立定理一设A，B是两事件，且P()0，若A，B相互独立，则(B|)B————定理二A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与BA与A与B第二章随机变量及其分布§1随机变量定义设随机试验的样本空间为S{e}.XX(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X为随机变量§2离散性随机变量及其分布律1．机变量称为离散型随机变量Pk)满足如下两个条件（1）0(Xxpkp2）kk1P=1k2．三种重要的离散型随机变量（1(0−1)分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是P(Xk)k1-k0pX服从以p为参数的(0−1)分布或两点分布。（2）伯努利实验、二项分布—设实验E只有两个可能结果：A与AE为伯努利实验.设P(A)p0p1)，—此时P(A)1-p.将E独立重复的进行nn重伯努利实验。np2）P(Xkkn-k，k2n满足条件（1）0)pqkkk1P=1注意kn到pkqn-kk是二项式pn的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为np的二项分布。（3）泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为P(Xk-ek)kk!,,其中0X服从参数为的泊松分布记为X~（）§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)P{X-x称为X的分布函数分布函数F(x)P(Xx)，具有以下性质(1)F(x)是一个不减函数（2）0F(x)，且F()F()1（3）F(xF(x),即F(x是右连续的§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（xf(x)，使x对于任意函数x有F(x)（t）dt,则称x为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X-的概率密度函数，简称概率密度1概率密度f(x)具有以下性质，满足（）()(2)()1fxfxdx；-x（3）P(xXx)f(x)4f(x)在点x处连续，则有(x)f(x)212x12,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度1(xxb)，a)fX在区间(a,b)b-a0，其他均匀分布.记为X~（，b）(2)指数分布若连续性随机变量X的概率密度为f(x)1-xx0e，.其中0X0，其他服从参数为的指数分布。（3）正态分布(x）21f(x)e22-x若连续型随机变量X的概率密度为，，其中，（0)为常数，则称服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为X~（，2）特别，当，1时称随机变量X服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度x(x)-x,f，又设函数g(x)处处可导且恒有g,(x)0，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为fh(y)h,(y),yf(y)XY0，其他第三章多维随机变量§1二维随机变量定义设ES{e}.XX(e)和Y是定义在S上XXY设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数P{(Xy)}P{XYy}称为二维随机变量（X，Y）的分布函数Y，Y）是离散型的随机变量。我们称P(x，Yy)pj2为二维离散型随机变量（X，Y）的Xjij分布律。Y（x使对于任意y有（，）（，），FxyfuvYyx--函数f（x，）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。§2边缘分布XY.而X和Y都是随机Xx),YXY）关于X和关于Y的边缘分布函数。iippP{Xxi2ppP{Yyj2ijijijj1i1分别称pipj为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。X()(,）fxfxyfyfxyY()(,）分别称fX(x)，f(y)Y为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。§3条件分布定义X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的，若Yy}j{Xx,Yy}p{iij为在Yyj条件下

则称PXxYy},iijjYy}pjj{Xx,Yy}p随机变量XPYyXX},j{ijijji{Xx}pii为在Xx条件下随机变量X的条件分布律。i设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为f(,y)（X，Y）关于Y的边缘概率密度为fY(y)，若对于固定的，fY(y)〉0，则称f(x,y)f(y)Y为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为f(xy)X=Yf(x,y)f(y)Y§4相互独立的随机变量定义设及X(x)，Y(y)XY数及边缘分布函数.若对于所有x,y有{X,Y}{X}P{Yy}，即,}X(x，则称随机变量X和Y是相互独立的。F(y)Y对于二维正态随机变量（X，YX和Y相互独立的充要条件是参数0§5两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为X()(,）或

fzfzyyfzfxzxX()(,）YY又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为f(xf(y)X则YX()(）y)和zfzyffX()(）()这两个公式称为YXYYXYzfxfzxffX,f的卷积公式Y有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布Y2，ZZXY设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(,y)，则ZZXY()(,)X仍为连续性随机变量其概率密度分别为fzxfx1zf)f(,)又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别(zxxxX则可化为fYXzfXxfYY为f(xf(y)(()())1zf()()(z)fxfXYxx3MNX,Y设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F(xF(y)X由于YM不大于zX和Y都不大于z故有P{Mz}P{Xz,Yz}又由于X和Y相互独立，得到M的分布函数为(z)F(z)F(z)FXYNXY的分布函数为()11()1(),}zFzFzFXY第四章随机变量的数字特征§1．数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为{Xxk}pkk=1,2k1x绝对kpkk1x的和为随机变量XE(X)kpEX)xkpkki设连续型随机变量X的概率密度为f(x)(x)dx()的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即xdxE(X)(x)dx定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)（iX{Xx}pkkpg(x）kk=1,2kk1绝对收敛则有E(Y)E(g(X))k1g(）xkpk（iiX是连续型随机变量，它的分概率密度为f(x)g(x)f(x)dx绝对收敛则有E(Y)E(g(X))g(x)f(x)dx数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有E(C)C2设X是随机变量，C是常数，则有E)CE(X)3设X,Y是两个随机变量，则有E(XY)E(X)EY)；4设X，Y是相互独立的随机变量，则有E()E(X)EY)§2方差定义设X是一个随机变量，若()}存在，则称()}XEXEXEX为X的方22差，记为D（x）即Dx）=()}EXEX，在应用上还引入量D(x)，记为(x)，2称为标准差或均方差。(X)E(XE(X))2E(X)()22方差的几个重要性质1设C是常数，则有DC)2设X是随机变量，C是常数，则有D)C2(X)，D(XC)D(X)3设X,Y是两个随机变量，则有D(XY)D(X)2E{(X-E(X))(Y-特别，若X,Y相互独立，则有D(XY)D(X)DY)4D(X)0的充要条件是X以概率1取常数，即{XE(X)}1切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E)，则对于任意正数，不等式(X2P{X-2}成立2§3协方差及相关系数定义量{[XE(XYEY)]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y)，即(X,Y)XE(XYEYE()E(X)EY)而Cov(X，Y）称为随机变量X和Y的相关系数D(X)

对于任意两个随机变量X和Y，D(XY)D(X)DY)Cov(X,Y)

_协方差具有下述性质1Cov(X,Y)CovY,X),Cov(aX,bY)abCov(X,Y)2(1X,Y)(X,Y)(X,Y)X212定理1121的充要条件是，存在常数a,b使Ya}1当0时，称X和Y不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布0p1{Xk)pkp)k,k，ppp)二项式分布n1(nk，npp))kk0pPXkCnpp),kn1泊松分布ke0(,PXk)kk!几何分布0pP(Xk)p)k1p,k11p1p2p均匀分布ab1,f)，(xbaaxb0，其他a2bba)2指数分布0f1x(xe,x0)0,其他2正态分布0(x