第一讲真空与导体中静电场

第一讲真空与导体中静电场第1页，共191页，2023年，2月20日，星期一一、库仑定律1.库仑定律的表述第2页，共191页，2023年，2月20日，星期一2.几点说明真空的条件是为了除去其他电荷的影响以及因周围的感应和极化等因素的影响。但是，周围有其他电荷存在时，两电荷之间的电力仍然满足库仑定律，所以这个条件并非必要。静止条件是指两电荷相对静止，且相对观察者静止。这个条件可以放宽成：静止源电荷对运动电荷的作用力，但不能推广到运动电荷对静止电荷的作用力。库仑定律成立的条件是真空和静止。第3页，共191页，2023年，2月20日，星期一库仑定律指出两静止电荷间的作用是有心力。

力的大小与两电荷间的距离服从平方反比律。我们将看到，静电场的基本性质正是由静电力的这两个基本特性决定的。有心力是保守力。库仑定律是一条实验定律。

在库仑时代，测量仪器的精度较低（即使在现代，直接用库仑的实验方法，所得结果的精度也是不高的），但是库仑定律中静电力对距离的依赖关系，即平方反比律，却有非常高的精度。验证平方反比律的可假定力按1/r2+d

变化，然后通过实验求出d的数值。1971年的实验结果是d＜2×10－16

第4页，共191页，2023年，2月20日，星期一库仑定律给出的平方反比律中，r值的范围相当大。

虽然在库仑的实验中，r只有若干英寸，但近代物理的实验表明，r值的数量级大到107m而小到10－17m的时候，平方反比律仍然成立。第5页，共191页，2023年，2月20日，星期一第6页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】正电荷q1和负电荷q2固定在X轴上，分别居于x轴的光滑绝缘板的两侧，带正电的小球叶处于x轴上且靠着板，如图所示，起初，板处于负电荷不远处。球处于平衡，板开始沿x轴缓慢平移扩大与负电荷的距离。当距离扩大到l/3时，小球从x轴“逃逸”,试求两电荷电量比值。物体对电场的影响可以忽略，重力也不计。第7页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】小球在两个电荷作用的合力与板对它的支持力平衡，移动一段距离过程仍平衡（随遇平衡），一旦合力大于支持力，平衡打破，小球运动，即“逃逸”。逃逸时，设小球在x轴方向上的偏离为Dy，因此在X轴方向的受力平衡，有F1y=F2y,即第8页，共191页，2023年，2月20日，星期一当Dy→0时，上式简化为：第9页，共191页，2023年，2月20日，星期一二、电场强度1.电场强度

第10页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】无限长均匀带电直导线外的电场强度。

设无限长带电直线的电荷线密度为l。由于此系统具有相对于轴的旋转对称性,电场也具有相对于带电直线轴的旋转对称性。第11页，共191页，2023年，2月20日，星期一以P点为圆心,以a为半径作半圆,直径AB平行于MN,半圆与

MN的切点为

D,如图所示。在直线MN上,任意位置处取一线元,长为

Dl,带电量Dq=lDl，由于线元Dl很小

，有：第12页，共191页，2023年，2月20日，星期一带电线元在P点激发的电场强度大小为：

这个表达式相当于弧元AB的电荷线密度也为l

时,在P点激发产生的电场强度。由于整条直线MN上各线元与半圆上各弧元具有一一对应关系,因此,带有电荷线密度的无限长均匀带电直线在P点激发产生的电场强度,等于对应的半径为a、电荷线密度同为l的均匀带电半圆在P点激发产生的电场强度。第13页，共191页，2023年，2月20日，星期一设想在P点有一单位点电荷，它所受到的静电力为：所以，无限长带电直导线外的电场强度为：第14页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】一条无限长、电荷不能自由移动的直线,在A点折成直角,直线上均匀带电,电荷线密度为l(设l>0)。在折成直角的直线平面内有点P1,P2,P3

和P4四个点,它们与两半直线的垂直距离均为a。如图所示。求四点P1,P2,P3和P4处的电场强度。

第15页，共191页，2023年，2月20日，星期一第16页，共191页，2023年，2月20日，星期一由叠加原理，有：第17页，共191页，2023年，2月20日，星期一角度由正弦定理求得：第18页，共191页，2023年，2月20日，星期一方向如图所示。第19页，共191页，2023年，2月20日，星期一P4处电场强度与求P3处电场强度相同的方法,得E4的大小为：第20页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】一半径为R的均匀带电细圆环,带有电荷q。在圆环的轴线上有一根很长的均匀带电细线,其一端与环心重合,电荷线密度为l。求圆环与细线间的相互作用力。第21页，共191页，2023年，2月20日，星期一

圆环与细线间的相互作用力,既可以从带电细线在圆环产生的电场中受力求得,也可以从带电圆环在细线产生的电场中受力求得。显然,后者的求法简单。因为细线产生电场,在圆环上每一点的电场强度大小相同,容易求出。

只要求出圆环上任一点P处的电场强度,就能求出圆环受到细线的静电力。

半无限长均匀带电直线在P点产生的电场强度,可以用以P为圆心,R为半径,并带有相同电荷线密度的四分之一圆弧替代。

第22页，共191页，2023年，2月20日，星期一四分之一均匀带电圆弧在圆心处电场强度的大小,等于圆心处放置单位电荷所受力的值：

电场强度的方向与细线成45º角。由对称性，圆环所受到的静电力必沿轴线，其值为：第23页，共191页，2023年，2月20日，星期一

若以q所在处为中心、r为半径作一球面，则erDS就是面元DS在球面上的投影DS0，DS0／r2为DS0对球心所张的立体角DW，三、高斯定理第24页，共191页，2023年，2月20日，星期一第25页，共191页，2023年，2月20日，星期一第26页，共191页，2023年，2月20日，星期一第27页，共191页，2023年，2月20日，星期一电场对任意封闭曲面的电通量只决定于被包围在封闭曲面内部的电荷，且等于包围在封闭曲面内电量代数和除以e0，与封闭曲面外的电荷无关。这一结论就是静电场的高斯定理。

第28页，共191页，2023年，2月20日，星期一高斯定理表明是静电场是有源场

高斯定理给出了场和场源的一种联系，这种联系是场强对封闭曲面的通量与场源间的联系，并非场强本身与源的联系。电荷是静电场的源.高斯面上的电荷问题

高斯面把电荷区分为内外两种，是否存在一种点电荷正好在高斯面上？这是不存在的，因为只有点电荷的线度要远小于q与高斯面间的距离，才能视为点电荷。高斯定理讨论第29页，共191页，2023年，2月20日，星期一高斯定理中的E问题

高斯定理中的E是全部电荷所产生的E，而不管这电荷是在曲面内部或在曲面外部。同一高斯面的E可能相同，也可能不同，因为高斯面是任意选取的。高斯定理表明的只是电通量和电荷的关系

如果在高斯面内部或外部电荷分布发生改变，则空间电场分布将发生变化，高斯面上的电场也会发生变化，但只要内部总电荷数不变，高斯定理指出，电场对该封闭曲面的电通量并无变化。第30页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】求均匀带电球面产生的电场。已知球面的半径为R，电量为Q。【解】根据球对称性可以判定，不论在球内还是在球外，场强的方向必定沿球的半径，与球心等距离的各点的场强大小应相等。作如图所示的高斯面，当r<R时，有：第31页，共191页，2023年，2月20日，星期一当r>R时，作S2的高斯面，有：

第32页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】求均匀带电球体中所挖出的球形空腔中的电场强度。球体电荷密度为r，球体球心到空腔中心的距离为a。第33页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】将空腔看作是同时填满+r和-r的电荷，腔内任一点的电场强度就由一个实心大球电荷密度为+r和一个实心小球电荷密度为-r的叠加而成，如图所示：第34页，共191页，2023年，2月20日，星期一同理可得：所以，a为矢量，方向由O指向O’。可见空腔内电场强度是均匀的。第35页，共191页，2023年，2月20日，星期一带异种电荷具有同样电荷密度的两个球有一部分重叠，则重叠部分的电场强度为：表明该部分的电场是均匀场，方向从正电子中心指向负电荷中心。第36页，共191页，2023年，2月20日，星期一无限长圆柱体，电荷均匀分布，在内挖出一个空腔，空腔轴线与圆柱体轴线平行，相距为a，则空腔内的电场强度为：均匀场，方向从O指向O’。注：带电圆柱体内外的电场强度为：第37页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】在电场强度为E的均匀电场中放着一个均匀金属球,其半径为R,求球表面感应电荷的分布.【解】设整个球都均匀充电(电荷为Q)的球内的电场强度为EM:第38页，共191页，2023年，2月20日，星期一考察两个半径为R,相互错开了距离l,均匀带电+Q和-Q,公共区域的电荷为零.两个带电球在公共区域P点的电场强度为:公共部分为均匀电场.[球,球内电场为零]第39页，共191页，2023年，2月20日，星期一设球壳的厚度为h,在面元DS上的电量为:公共部分总的电场应为零.即:第40页，共191页，2023年，2月20日，星期一四、静电场的电势对闭合环路L,则有:第41页，共191页，2023年，2月20日，星期一

它表明任何静电场的环流都为零。这就是静电场的环路定理。它表明，静电场是无旋场。

静电场作功与路径无关，只与起点与终点的位置有关；或静电场沿任何闭合环路作功为零。电场的这个性质来源于库仑力的有心力特性；而不是平方反比律环路定理可以证明静电场的电力线不可能是闭合曲线

反证法，若电力线是闭合曲线，沿电力线一周，则:矛盾第42页，共191页，2023年，2月20日，星期一1．点电荷的电势

点电荷q的电场强度为由电势的定义可得a,b两点的电势差为：

选无限远处为电势零点，有：第43页，共191页，2023年，2月20日，星期一2.电势叠加原理

对点电荷系，有：此式表明，点电荷组的电势等于各个电荷单独存在时电势的代数和。

第44页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】一个立方体有5个面接地,而第6个面与其余5个面绝缘,电势为U,则立方体中心的电势是多少?第45页，共191页，2023年，2月20日，星期一[解]由电势的叠加原理,中心点的电势由6个面电势叠加而成:因为6个面几何形状对称,所以系数ki相同,若6面等电势,均为U,则中心点也为U,所以k=1/6第46页，共191页，2023年，2月20日，星期一所以,当:

有:第47页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】如图所示，三根等长的带电绝缘棒首尾相接构成三角形，其中的电荷分布如同绝缘棒换成长导体棒，且已达到静电平衡时的电荷分布。三棒共存时，侧得突中A,B两点的电势分别为UA和UB。若将ab棒取走，并不影响ac和ab棒的电荷分布。求此时A,B两点的电势。第48页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】三根带电绝缘棒电荷分布如同绝缘棒换成长导体棒达到静电平衡时的电荷分布，所以为非均匀分布，但是都是自身左右的对称分布。三根棒对A点的电势贡献都相同，记为U1,则bc棒在A和B点的贡献相同，因而，bc在B点的电势为U1.ab和ac对B点的贡献相同为U2,则：第49页，共191页，2023年，2月20日，星期一由上两式解出：如果把ab棒取走，则A,B两点的电势为：第50页，共191页，2023年，2月20日，星期一3.等势面电势为空间坐标的标量函数，是标量场。标量场常用等值面来进行形象的几何描述电势的等值面称为等势面，在同一等势面上，电势处处相等。第51页，共191页，2023年，2月20日，星期一两个正电荷的等势面第52页，共191页，2023年，2月20日，星期一等势面的特性一根电场线不可能与同一等势面相交两次或多次。空间某点的电场强度应与该处的等势面垂直。电场强度的大小也可用等势面的疏密程度来量度。第53页，共191页，2023年，2月20日，星期一4.E与U

的关系

单位点电荷从B移至C，电场力做的功等于电势能的减少，即：第54页，共191页，2023年，2月20日，星期一

可见，改变同样的DU，沿不同的方向，由于Dl的长度不同，El的改变并不相同。

当Dl取法线方向时，电势在该方向的变化率最大，亦即电势的梯度最大，根据矢量的定义，矢量绝对值最大的分量就是矢量本身，所以我们得到电场强度的大小为：或：第55页，共191页，2023年，2月20日，星期一电势函数的值与电势的零参考点的选择有关，而电势零参考点的选择有很大的任意性，电场中任何一点都可以作为电势的零点。

把电势的零点取在无穷远处是因为分布在有限区域中的电荷产生的电场在远离电荷处的场强按1／r2减少，故无限远处任意两点的电势差为零，无限远处是电势的等势区域，因而我们可以把电势的零点取在这个区域中。但是，当电荷分布在无限大区域中时，无限远处并不是等势区域。在这种情况中，虽然可以取远处某一确定点作为电势的零点，但却不能把无限远处作为电势的零参考点（无限远处是一个区域）。

5.电势的零参考点第56页，共191页，2023年，2月20日，星期一在均匀电场E0中放入一个点电荷q,则空间的电势如何?对均匀电场,不能取无限远处为电势零点,取原点O为参考点,则:对点电荷,不能取原点为电势零点,可取无限远处为电势零点,则:合电势为:无限远处与原点均不能作为电势零点.除这两点外任一点的电势都可做参考点.U0取值由该点决定.第57页，共191页，2023年，2月20日，星期一均匀外场中放入一半径为R,带电量为Q的导体球,球外任一点的电势为:第58页，共191页，2023年，2月20日，星期一除无限远外,其它点均可作电势零点.一旦该点选定,U0就确定.第59页，共191页，2023年，2月20日，星期一五、相对论电磁场第60页，共191页，2023年，2月20日，星期一1.电荷线密度变换在O’系：在O系：第61页，共191页，2023年，2月20日，星期一2.电荷面密度变换在O’系：在O系：第62页，共191页，2023年，2月20日，星期一3.电场的变换第63页，共191页，2023年，2月20日，星期一第64页，共191页，2023年，2月20日，星期一4、匀速运动点电荷的电场第65页，共191页，2023年，2月20日，星期一第66页，共191页，2023年，2月20日，星期一第67页，共191页，2023年，2月20日，星期一第68页，共191页，2023年，2月20日，星期一Thereissameamountofelectricfluxlinesbutlinesareshifted.Inbothcases第69页，共191页，2023年，2月20日，星期一不同速度的电场不同速度的电势第70页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】在一个真空箱中，10A的电流流过一根具有很大大电导率的长直导线。初速度为v0的电子垂直于导线的径向距离为r0的一点开始运动。最后停止在r0/2处，求v0.第71页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】静止参考系为S系，建立新的S’系，该系以v0的速度运动，在S’系中电流不变，因为电子运动向上速度变化，而原来不动的正电荷向下运动，抵消了电流的变化。在S’系中，出现一个电场第72页，共191页，2023年，2月20日，星期一在S’系，电子的初速度为不需要用相对论速度叠加，因为这个速度比光速小得多，质量也不需用动质量，根据动能定理，有：第73页，共191页，2023年，2月20日，星期一六、物质的电性质第74页，共191页，2023年，2月20日，星期一静电平衡时，导体显示出彻底的“抗电性”，表现为导体内电场强度必须处处为零。而载流导体则不同，导体内存在着非零的电场，它与电流之间的依赖关系满足一定的实验规律，该规律反映了导体的导电性质。1.静电平衡第75页，共191页，2023年，2月20日，星期一2.导体上的电荷分布导体表面电荷的电荷层一般只有1至2个原子的厚度。若初始时刻，导体内电荷不为零，则导体内的电荷将按指数衰减，在很短的时间内（约10-14秒），导体达到静电平衡。静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体内部体电荷密度处处为零。第76页，共191页，2023年，2月20日，星期一

导体表面的电荷分布与导体的几何形状、导体所带的总电量以及周围其它场源和导体有关。孤立导体，表面电荷分布只与导体的形状有关：凸的地方，面电荷密度大，凹的地方，面电荷密度较小。与内外表面的曲率有关，但并不存在唯一的函数关系。导体表面的电荷分布非常复杂第77页，共191页，2023年，2月20日，星期一导体外靠近其表面的地方的电场与表面垂直，其场强大小为s/e0。第78页，共191页，2023年，2月20日，星期一3.静电屏蔽腔外不影响腔内

腔内却影响腔外第79页，共191页，2023年，2月20日，星期一对接地空腔，腔内腔外互不影响

第80页，共191页，2023年，2月20日，星期一【讨论】导体腔内有点电荷q,腔外相距q

电荷r处有点电荷Q.q

受Q的静电力为多少?q

受静电力为多少?导体腔受到的静电力为多少?第81页，共191页，2023年，2月20日，星期一取决于q位置,内表面形状或内表面电荷分布.外不影响内第82页，共191页，2023年，2月20日，星期一合力为零合力为零由电象法解决.第83页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】一导体球通过与一带电金属板反复接触而获得电荷。每当导体球与金属板接触并分开后，又重新使金属板带有电量Q，若q1是导体球与金属板第一次接触后所带的电量，求导体球可获得的最大电量。[解]设经过第一次接触，导体球的电量为q1，金属板的电量为Q1，它们的比值为：根据电荷守恒，有：所以：第84页，共191页，2023年，2月20日，星期一根据叠加原理和静电平衡条件，当导体球与金属板接触时，只要它们所带的电量之比保持不变，则静电平衡条件将得到满足，经过第二次接触后，导体球与金属板的电量分别为q2和Q2，则：根据电荷守恒定律，故有：第85页，共191页，2023年，2月20日，星期一同理，经过n次接触后，导体球的电量为：当n时，这就是导体球获得的最大的电量。第86页，共191页，2023年，2月20日，星期一孤立导体的电势与其电量成正比:比例系数C称为孤立导体的电容。

在单位制确定以后，它的值只取决于孤立导体的几何形状。孤立导体电容的大小反映了该导体在给定电势的条件下储存电量能力的大小。

七、电容与电容器

第87页，共191页，2023年，2月20日，星期一1.孤立导体球的电容

一半径为R的导体球，当带有电荷q时，其电势为:故其电容为:

由半径决定．若把地球作为一个孤立导体球，其电容也可由上式决定。

第88页，共191页，2023年，2月20日，星期一当这两导体附近存在其他带电体或导体时，电量与电势差之间的正比关系将被破坏。可以采用静电屏蔽的方法，可保证两导体间的电势差与电量间的正比关系，容器不受周围其他带电体或导体的影响。空腔导体的屏蔽作用可以使带电物体不影响周围其它带电体，即C和D的位置改变不影响AB之间的电势差。CD2、电容器

第89页，共191页，2023年，2月20日，星期一球内电场均匀分布，不随外界影响。ABC第90页，共191页，2023年，2月20日，星期一导体A和B之间的电势差将仅与导体A的电量成正比，与导体B周围的其他带电体或导体无关。这种特殊的导体组称为电容器，组成电容器的两个导体分别称为电容器的两个极板。电容器的电容值为：电容器的电容与电容器的带电状态无关，与周围的带电体也无关，完全由电容器的几何结构决定。电容的大小反映了当电容器两极间存在一定电势差时，极板上贮存电量的多少。第91页，共191页，2023年，2月20日，星期一广义电容器：多个导体任意放置，构成广义电容器，各个导体的表面是极板。EADFBC第92页，共191页，2023年，2月20日，星期一3.常见电容器平行板电容器

第93页，共191页，2023年，2月20日，星期一球形电容器若RB＞＞RA，即外球壳B远离球A，则回到孤立导体球的电容公式；若RA和RB都很大，而比RB一RA＝d很小，则RARB=R2,则回到平板电容器的公式。

第94页，共191页，2023年，2月20日，星期一圆柱形电容器

当d《R时，第95页，共191页，2023年，2月20日，星期一4.复杂电容器电容的计算C=Q/U是一个普遍适用的公式，对Q1Q2的两导体，公式中的Q应理解为用导线将两导体接通时所交换的电荷量。第96页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】两块长与宽均为a和b的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜,使两板间距一端为d,另一端为(d+h),且h<<d,求该电容器的电容.第97页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】方法一:把电容器分成n个等间距,但两极板的距离依次增加的n个小电容器,n个电容并联成总电容器.第98页，共191页，2023年，2月20日，星期一方法二:分成n个电容,让每个小电容器的电容值相同.第i个电容器的板间距为di,面积为:则:即:或:第99页，共191页，2023年，2月20日，星期一当n趋于无限大时,有数学上有:第100页，共191页，2023年，2月20日，星期一5.电容器的联结

电容器串联

电容器并联

第101页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】在如图所示的电路中，C1=C3=2mF,C2=C4=C5=1mF,e=600V,试求各电容器两端的电压。【解】由基尔霍夫回路定理，可以得到3个方程：第102页，共191页，2023年，2月20日，星期一另外2个方程由L1和L2回路的电荷守恒（原来不带电）解之得：第103页，共191页，2023年，2月20日，星期一C=？第104页，共191页，2023年，2月20日，星期一第105页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】一个球形电容器由三个很薄的同心导体壳组成，它们的半径分别为a,b,d。一根绝缘细导线通过中间壳层的一个小孔把内外球壳连接起来。忽略小孔的边缘效应。求：（1）此系统的电容；（2）若在中间球壳上放置任意电量Q，确定中间球壳内外表面上的电荷分布。第106页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】这相当于内外2个电容器并联.设内外两球壳代的电量分别为Q1和Q2,那么a,b球的的电势差为:d,b球的的电势差为:第107页，共191页，2023年，2月20日，星期一两电容器并联,所以:内外两球形电容器的电容值为:第108页，共191页，2023年，2月20日，星期一(2)内外两球形电容器的电容值为:第109页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】一个面积为A、介质为空气的平行板电容器连接到一个电动势为e、内阻很小的电池两端。电容器的其中一个极板振动，两极板间距离变化为d=d0+acoswt,a《d0。当电路中瞬时电流值达I时，电容“烧毁”.求允许的最大振幅。【解】由电容器的公式由电容的定义，

其中一个极板上的电荷量为第110页，共191页，2023年，2月20日，星期一电流振幅：第111页，共191页，2023年，2月20日，星期一d第112页，共191页，2023年，2月20日，星期一第113页，共191页，2023年，2月20日，星期一第114页，共191页，2023年，2月20日，星期一第115页，共191页，2023年，2月20日，星期一【拓展题】半径分别为a和b的两个导体球,相距为r(r>a+b),现分别充以电压U1和U2,然后用细金属线把它们连接起来.求此时的电容.第116页，共191页，2023年，2月20日，星期一【提示】设两球的电势为U1和U2,电量为q1和q2,然后用导线连通,各量为U’1,U’2,q’1,q’2联立解出q’1,q’2,U’孤立导体的电容第117页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】如图，三个面积均为S的金属板A,B,C水平放置，A,B相距为d1,B,C相距为d2，A,C接地，构成两个平行板电容器，上板A中央有一小孔D，B板开始不带电。质量为m，电荷量为q（q>0）的液滴从小孔D上方高度为h处的P点由静止开始一滴一滴落下。假设液滴接触B板后立即将电荷全部传给B板。油滴间的静电相互作用可以忽略，重力加速度为g.

(1)若某带电液滴在A,B板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D上方落下的第几滴？

（2）若发现第N滴带电液滴在B板上方某点转向向上运动，求此点与A板的距离H.

第118页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】（1）等效电容如图当B板上有n-1滴液滴时，设电量为Q=(n-1)q，则Q分布在B板上下的电量分别为q1,q2,本题不考虑第n滴在导体板上感应电荷的影响第119页，共191页，2023年，2月20日，星期一(2)第N滴液滴下落时，极板对该滴液体有一个向上的净力，这个净力来源于前N-1滴到达极板B后产生的静电力大于重力。前N-1滴液体的电荷分布在B上下面，比例见（1）

第N点液滴从A板到H高处（离B板）的静电力做功为第120页，共191页，2023年，2月20日，星期一从P点下落，到离B为H高时，重力所做的功为两者相等，解出：本题不考虑第N滴在导体板上感应电荷的影响。第121页，共191页，2023年，2月20日，星期一6、倒数法电阻电容倒数通过类比，把求电容的问题转化为求电阻问题。第122页，共191页，2023年，2月20日，星期一第123页，共191页，2023年，2月20日，星期一这种解正好是黄金分割值，电容在其值的下面分割点，而电阻在其值的上面分割点。上面电路中的电流或电势正好是斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，两个相邻数的比值以惊人的速度趋向黄金分割。在数学上，把一个偶数分解成比它小的两个奇数时，或把一个奇数分解成比它小的两个偶数时，都将趋向于黄金分割点。高架供电线路就可以看成是上面的电路，因为中线线在每一根电线杆都要接到杆和地。第124页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】先用电压为U的电源给电容量为C0的电容器充电,然后电源断开。再将充电后的该电容给一个电量为C的原不带电的电容器充电,然后把这个电量为C的电容器拿走,用同样的方法使电容量为C0的电容依次再给(n-1)只电容量为C的电容充电。最后把这n只电容量为C的电容再串联起来,试求这串联后的电压U。【解】电容为C0的电容器所带的电量为：给第一个电容器充电后，电压为U1，且电容器C0和C上所带的电量分别为q’和q1，则：第125页，共191页，2023年，2月20日，星期一解之得：同样方法求得给第2…，n个电容器充电后的电压为：第126页，共191页，2023年，2月20日，星期一因此，所求的总电压为：第127页，共191页，2023年，2月20日，星期一第128页，共191页，2023年，2月20日，星期一第129页，共191页，2023年，2月20日，星期一对于2个无限大的平行板带电导体，有：（1）相向的两面，电荷密度总是大小相等而符号相反；（2）相背的两面，电荷密度总是大小相等而符号相同；（3）若带有相同的同种电荷量，则电荷只分布在相背的两面上；（4）若带有相同的异种电荷量，则电荷只分布在相向的两面上。第130页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】三块厚度均匀，长、宽和厚相等的金属板，依次排列，如图所示，金属板的长、宽线度远大于板间间距。已知三个金属板所带的电量分别为Q1,Q2,Q3．在不考虑边缘效应的情况下，求各金属板两侧的带电量q1,q2,q3,q4,q5,q6；

第131页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】设各板的面积都为S，由电荷守恒，有：在极板的1，2，3点处电场强度均为零，有：第132页，共191页，2023年，2月20日，星期一第133页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】有100块平行放置的正方形大导体板，每块边长均为L，相邻两板距离为d，从左到右顺次编号为1、2、3、…100。开始每板上都带有净电荷，已知第一个板上的净电荷为q1，第n个板上的净电荷为qn=nq1，现将第1个板和第n个板接地，忽略边缘效应，试问：（1）从第1块板和第100块板上流入大地的电量为多少？（2）上述两板接地后哪块板上的电势最高？其电势值为多少？第134页，共191页，2023年，2月20日，星期一【解】左右两端导体板接地，各导体板上的电荷分配分布均将发生变化，达到静电平衡后，其余各板上的电量分布满足：（1）忽略边缘效应，导体板上的电荷全部分布在板两侧；（2）相邻两板相对侧面的电量大小相等，符号相反；二者形成一个电容器；（3）第n块板上的电量满足：Qn左+Qn右=qn第1块板接地后，第1块板右侧板上的电量为：Q1右=-Q0由此类推：第135页，共191页，2023年，2月20日，星期一第136页，共191页，2023年，2月20日，星期一取地为零电势点，各板上的电势从左到右顺次记为：则：相邻两板的电势差为：两相邻板之间的电容值为：第137页，共191页，2023年，2月20日，星期一将以上各式两边分别相加，得：qn=nq1第138页，共191页，2023年，2月20日，星期一由于U100=0，代入上式，得：第1块极板流入大地的电量为：第100块极板流入大地的电量为：第139页，共191页，2023年，2月20日，星期一设第n块板上的电势最高，则该板两侧面上的电量必须满足：亦即：或：解不等式，得：取：第140页，共191页，2023年，2月20日，星期一即第58块极板上的电势最高，其值为：第141页，共191页，2023年，2月20日，星期一【拓展题】一组彼此间距相等的薄金属板,总数为n个,由一电池按下列方式充电.电池负极接1板,正极依次接n板,n-1板,n-2板,,一直接到2板.求此时1板与3板上的电量之比.第142页，共191页，2023年，2月20日，星期一八、静电场的能量第143页，共191页，2023年，2月20日，星期一1、静电能（1）两个点电荷系统第144页，共191页，2023年，2月20日，星期一相互作用能与电荷的移动次序无关。Ui表示除自身外，另一个点电荷在该处所产生的电势。第145页，共191页，2023年，2月20日，星期一（2）N个点电荷系统把2个点电荷系统的相互作用能推广到N个点电荷系统，就有：Ui表示除自身外，所有其它点电荷在该处所产生的电势，表达式为：第146页，共191页，2023年，2月20日，星期一下标i和j对称，表示外界做功与电荷移入的次序无关。第147页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】正负离子相互排成一条无穷长直线，相邻两离子间的距离是a，正负离子的电量为±q，求每个离子与所有其它离子的相互作用能。【解】在一个正离子处，所有其它正离子产生的电势为：所有其它负离子产生的电势为：第148页，共191页，2023年，2月20日，星期一故一个正离子处，所有其它离子所产生的电势为：于是得一个正离子与所有其它离子的相互作用能为：对负离子，由于相互作用能正比于电荷平方，故：第149页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】两块无限大接地导体平面相距4x,其间有2个点电荷(+Q,-Q),距离其中一个板分别为x,3x.求把这两个电荷移到很远处(它们之间相距亦很远),需要做多大的功?第150页，共191页，2023年，2月20日，星期一所做的功等于系统的能量增加:末态:初态:U+是+Q处所有其它电荷(-Q和像电荷,不包括+Q)产生的电势.U-同理.第151页，共191页，2023年，2月20日，星期一第152页，共191页，2023年，2月20日，星期一(2)求2个极板上的感应电荷.

由于中线上的电势为零,因此由+Q发出的电力线只有一半到达左板,而-Q发出的电力线不可能到达左板,故左板上的感应电荷为-Q/2,同理,右板上的感应电荷为+Q/2.第153页，共191页，2023年，2月20日，星期一(3)当+Q单独存在时,两极板的感应电荷.当+Q单独存在时,两极板感应电荷总数为-Q,设左板为-Qx,则右板为-Q+Qx.

当-Q单独存在时,右板为+Qx,则左板为Q-Qx对左板,2个都存在时的感应电荷为它们单独存在时感应电荷之和:第154页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】在边长为a的正六边形各顶点有固定的点电荷,它们的电量相间地为Q和-Q.求:(1)系统的电势能;(2)若外力将其中相邻的两个点电荷缓慢地移到无限远处,其余电荷位置不变,外力需做多少功?第155页，共191页，2023年，2月20日，星期一[解]

(1)任一电荷Q所在处的电势为:由对称性,有:系统的电势能为:第156页，共191页，2023年，2月20日，星期一(2)余下四个点电荷系统的电势能为:无限远处一对电荷间的电势能为:做功等于系统电势的改变:得:第157页，共191页，2023年，2月20日，星期一2、带电体系统的静电能（1）单个带电体的静电能体分布电荷把点电荷体系的相互作用能推广到连续分布的带电体系，对体分布电荷系统，有：式中U1(r)表示除re(r)DV以外，其它所有电荷在r处所产生的电势。第158页，共191页，2023年，2月20日，星期一U(r)和U1(r)的关系：设DV为球体，半径为a，电荷密度为re，在球体内任一点产生的电势为：即re(r)DV在r处产生的电势随DV趋于零而趋于零。即U(r)和U1(r)的的差别可以忽略。第159页，共191页，2023年，2月20日，星期一所以，静电能公式可以改写为：这就是体电荷分布的静电能公式。第160页，共191页，2023年，2月20日，星期一面电荷分布面电荷密度为se(r),se(r)DS在自身处产生的电势不会大于

sea/2e0,该电势将随DS趋于零而趋于零。即U(r)和U1(r)的的差别也可以忽略。第161页，共191页，2023年，2月20日，星期一线电荷分布线电荷密度为le(l),le(l)Dl在自身处产生的电势不会随r趋于零而趋于零。反而会趋于无穷大！！，即U(r)和U1(r)的的差别不可忽略！是否线电荷分布的静电能只能写成下列形式？否！其原因是：要把电荷从无限分散状态压缩到一条几何线上，外界要做无穷大的功！第162页，共191页，2023年，2月20日，星期一均匀带电球壳的静电能为：均匀带电球体的静电能为：当R0时，W，如果电子被看成是点电荷，则其自能为无穷大！第163页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】半径为R的一个雨点,带有电量Q,今将它打破成两个完全相同的雨滴,并分开到很远,静电能改变多少?【解】雨滴是导体,电荷只能分布在表面,故它的静电能为:分成2个雨滴后,每个电量为Q/2,半径为:第164页，共191页，2023年，2月20日，星期一因相距很远,略去相互作用能,静电能的增量为:静电能减少,同号相斥,分开时,静电力对外做正功.第165页，共191页，2023年，2月20日，星期一第166页，共191页，2023年，2月20日，星期一V2V1V3VN2、多个带电体的静电能空间的总电势可以分为两部分：Ui(r)表示除第i个带电体外所有其它带电体在r处产生的电势U(i)(r)表示第i个带电体在r处产生的电势第167页，共191页，2023年，2月20日，星期一总静电能第168页，共191页，2023年，2月20日，星期一电偶极子在均匀外电场中的电势能如图，正负电荷的电势能为：电偶极子在外电场中的电势能为：写成矢量形式，有：为什么没有1/2?第169页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】一电偶极子p垂直放置在无限大接地导体前,距离为d,求它受到导体的作用力.第170页，共191页，2023年，2月20日，星期一电偶极子镜象p’在p处产生的电场:p的电势能为:由虚功原理:得到:第171页，共191页，2023年，2月20日，星期一3、电容器的储能对电容器，如果每个极板的电量为Q，则：第172页，共191页，2023年，2月20日，星期一【例】两电容器的电容为C1和C2，它们分别蓄有电荷量Q1和Q2，用导线联接，求所蓄电能的损失量。C1C2KQ1Q2【解】未接通开关，电能为：第173页，共191页，2023年，2月20日，星期一接通开关后，静电能为：能量损失为：第174页，共191页，2023年，2月20日，星期一如果是异号电荷的两极板相连接，则静电能损失为：C1C2KQ1Q2第175页，共191页，2023年，2月20日，星期一[例题]由n个网络元组成的电容网络如图所示,每一个网络元由三个电容组成,其中上、下两个电容器的电容均为3C,右侧电容器的电容均为2C。a和b点是