材料力学I第三章

材料力学I第三章第1页/共80页2圆轴扭转变形动画第2页/共80页3

本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第3页/共80页4§3-2薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒

当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)第4页/共80页5薄壁圆筒的扭转动画第5页/共80页6Ⅰ.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律表面变形情况：(1)圆周线只是绕圆筒轴线转动,形状及尺寸不变；(2)纵向直线在小变形情况下保持为直线,但发生倾斜;(3)圆周线之间的距离保持不变。第6页/共80页7推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。第7页/共80页8横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力(shearingstress)，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。第8页/共80页9引进，上式亦可写作Ⅱ.薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由根据应力分布可知

，于是有(3-1)第9页/共80页10Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearingstrain)。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下,有由于很小,故可近似为即g=jr0/l(3-2)此处r0为薄壁圆筒的平均半径。第10页/共80页11

薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t

不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t

与g亦成线性关系：

这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。钢材的切变模量的约值为：G=80GPa(3-3)第11页/共80页12§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩

当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a

。第12页/共80页13

因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为

因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：(3-4)第13页/共80页14

主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。第14页/共80页15Ⅱ.扭矩及扭矩图

传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。可仿照轴力图的方法绘制扭矩图第15页/共80页16

扭矩图中扭矩的正负规定可按其转向的右手螺旋法则表示：扭矩矢量离开截面在扭矩图中的取值为正，画在横轴的上方;扭矩矢量指向截面为负,画在横轴的下方。第16页/共80页17

一传动轴如图，转速n=300r/min，转向如图所示。主动轮A输入的功率P1=500kW，三个从动B、C、D轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。例题3-1第17页/共80页181.

计算作用在各轮上的外力偶矩

主动轮上M1的转向和轴的转向相同，从动轮上的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。例题3-1由(3-4)式可列得第18页/共80页192.

计算各段的扭矩BC段内,扭矩如图所测：CA段内：AD段内：例题3-1得负值表明所设方向与实际相方,其转向的右手螺旋应指向截面第19页/共80页203.

作扭矩图:根据扭矩的正负规定和以上结果,画出扭矩图如下

由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。例题3-1扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负第20页/共80页21§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件Ⅰ.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律应力-应变关系横截面上应力变化规律(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)第21页/共80页221.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g

。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1)几何方面第22页/共80页232.横截面上一点处()的切应变随点的位置的变化规律即bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr第23页/共80页24

式中——相对扭转角j

沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。

可见，在横截面的同一半径

r的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr与r成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr第24页/共80页25(2)物理方面由剪切胡克定律t

=Gg

知

可见，在横截面的同一半径r

的圆周上各点处的切应力tr

均相同，其值

与r成正比，其方向垂直于半径。第25页/共80页26其中称为横截面的极惯性矩Ip(单位:m4)，它是横截面的几何性质。(3)静力学方面将前式代入上式(3-6)从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点()处切应力计算公式以代入上式得：(3-5)第26页/共80页27横截面圆周边上各点处(r

=r)的最大切应力为(3-6)式中定义

称为扭转截面系数，其单位为m3。(3-7)第27页/共80页28(1)实心圆截面Ⅱ.圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp(3-8)(3-9)第28页/共80页29(2)空心圆截面(3-10)(3-11)第29页/共80页30

以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。Ⅲ.单元体·切应力互等定理

由单元体的平衡条件∑Fx=0和∑Mz=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为(t'dxdz)dy力偶。可得(3.12)第30页/共80页31

即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t

和t

数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。第31页/共80页32

现分析单元体内垂直于正六面体前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。Ⅳ.斜截面上的应力第32页/共80页33分离体上作用力的平衡方程为利用t

=t

'，经整理得dA第33页/共80页34由此可知：(1)单元体的四个侧面(a

=0°和a

=90°)上切应力的绝对值最大,正应力为零；(2)a

=-45°和a

=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；即代入(1)式得(1)(2)第34页/共80页35

至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。第35页/共80页36低碳钢扭转试验演示第36页/共80页37低碳钢扭转破坏断口第37页/共80页38铸铁扭转破坏试验演示第38页/共80页39铸铁扭转破坏断口第39页/共80页40

直径为d1的实心圆轴Ⅰ(图a)和内、外直径分别为d2和D2，a＝d2/D2=0.8的空心圆轴Ⅱ(图b),两轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。例题3-2第40页/共80页411.分别求两轴的最大切应力例题3-2代入(3-7)得(1)(2)第41页/共80页422.求D2/d1和二轴重量之比。由t1,max=t2,max，比较(1)、(2)式并将a

＝0.8代入得因为两轴的长度l和材料密度r分别相同，所以两轴的重量比即为其横截面面积之比例题3-2第42页/共80页43

切应力的分布规律如图c、d所示，当tmax＝[t]时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意加上成本和构造上的要求等因素。zmaxd1(c)tmaxD2d2(d)例题3-2第43页/共80页44Ⅴ.强度条件此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴代入（3-7)式亦即

铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。(3.13)(3.14)第44页/共80页45

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的许用切应力[t]=80MPa。试校核该轴的强度。例题3-4第45页/共80页461.

绘扭矩图例题3-4解：第46页/共80页47AB段内2.分别求每段轴横截面上的最大切应力例题3-4第47页/共80页48BC段内2.求每段轴的横截面上的最大切应力例题3-4第48页/共80页493.

校核强度

t2,max>t1,max'且有t2,max<[t]=80MPa，故该轴满足强度条件。例题3-4

阶梯状圆轴，其，必须综合考虑扭矩和Wp两个因素，AB段的扭矩大，直径d1也大，BC段的扭矩小，直径也小，必须分别计算两段轴的tmax，经比较后才能确定tmax。第49页/共80页50例题3-4

注意：阶梯状圆轴在两段连接处有应力集中现象，在以上计算中对此并未考虑。第50页/共80页51§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件Ⅰ.扭转时的变形

等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)

j

来度量。MeADBCMejg第51页/共80页52

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(3-5)式(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为

当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有(3-15)的单位为rad,其正负号随扭矩T而定.由上式知扭转角与成反比,故称为等直圆杆的扭转刚度.第52页/共80页53

图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，钢的切变模量G=80GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jBC。(a)例题3-5第53页/共80页541.

用截面法求出I、II两段轴内的扭矩分别为(a)例题3-5解：第54页/共80页55(a)2.

分别计算B、C截面相对于A截面的扭转jAB、jAC，设A截面固定不动：jAB、jAC的转向如图a所示。例题3-5由(3-15)式可列出第55页/共80页56(a)3.

C截面相对于B截面的扭转角为设B固定不动，jBC的转向与M3相同。例题3-5第56页/共80页57Ⅱ.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[j‘]的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为(即将(3-5)式代入上式)：对于精密机器的轴[j‘]≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[j']≈2(°)/m。(°)(°)(3.17)(3.18)第57页/共80页58

由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a

=0.5。已知材料的许用切应力[t

]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的最大扭矩Tmax=9.56kN·m，许可单位长度扭转角[j']=0.3(°)/m。试选择轴的直径。例题3-6第58页/共80页591.按强度条件求所需外直径D例题3-6解：第59页/共80页602.按刚度条件求所需外直径D例题3-6第60页/共80页613.空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a

=d/D=0.5知例题3-6第61页/共80页62§3-6等直圆杆扭转时的应变能

纯剪切应力状态下的应变能密度

对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力tdydz在相应的位移gdx上作功。第62页/共80页63于是，当材料在线弹性范围内工作时(t

≤tp，见图b)，有第63页/共80页64由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为

单元体内蓄积的应变能dVe数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVe=dW

。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为(3-19)第64页/共80页65等直圆杆在扭转时积蓄的应变能(3-20)

在扭矩T为常量时，长度为l的等直圆杆所蓄积的应变能为由可知，亦有(3-21a)(3-21c)第65页/共80页66

当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为

在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为l范围内的应变能亦可如下求得：结果与前页用应变能密度积分得的结果相同.第66页/共80页67

试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a

<

5°)受轴向压力(拉力)F作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。设d<<(2R)。例题3-7第67页/共80页681.用截面法求簧杆横截面上的内力

对于密圈螺旋弹簧可近似认为螺旋线升角a≈0o，簧杆的横截面就在外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内，由图b所示的分离体的平衡方程得剪力

FS=F扭矩

T=FR(b)例题3-7解：第68页/共80页692.求簧杆横截面上的应力

簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。因为d<<(2R)，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。于是有例题3-7Rd第69页/共80页703.求弹簧的缩短(伸长)变形D

当弹簧所受外力F不超过一定限度时变形D与外力F成线性关系(如图c)。于是外力所作的功为(c)例题3-7第70页/共80页71

不计FS的影响，并忽略簧杆的曲率，簧杆内的应变能Ve为(用(3-21a)的直杆公式):式中l=2pRn，表示簧杆轴线的全长，Ip为簧杆横截面的极惯性矩。根据能量守恒原理W=，即如令，则有，式中k为弹簧的刚度系数(N/m)。例题3-7第71页/共80页72

以上分析中，不计螺旋线升角产生的切应力和应变能，并用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到的和均比实际值偏小。例题3-7第72页/共80页73§