机器人技术基础全

机器人技术基础全第1页/共204页刚体位姿描述和齐次变换预备知识旋转矩阵坐标变换齐次坐标,欧拉角与RPY角齐次变换和齐次变换矩阵的运算例子目录第二章位姿描述和齐次变换要求：熟练掌握描述刚体位姿描述的齐次变换方法第2页/共204页2.1刚体位姿描述(LocationRepresenting)机器人的操作，就其本义来说，意味着由某种机构在空间移动零件和工具。这自然有必要表示零件、工具以及机构本身的位置和方位。为了规定和运算表示位置和方位的数学量，我们必需规定坐标系，并掌握它们的表达式的常用形式。我们采取这样的思想，即某处存在一通用的坐标系统，我们讨论的每一个物体均可参考此参考坐标系。描述是用来规定操作器系统所涉及的各物体的特性，这些物体指零件，工具或操作器本身。在本节我们讨论位置、方位的描述。第3页/共204页一、位置的描述

(RepresentingPosition)其中Ap为3×1的列矢量，上标A代表参考坐标系｛A｝。采用位置矢量表示空间中一点p{}A第4页/共204页p{}A？第5页/共204页刚体的位置、姿势可由其上的任一点(称作基准点，通常可选作物体的质心)和过该点的坐标系相对于参考坐标系的相对关系来确定。我们在物体上附一坐标系，然后再给出这一坐标系相对于参考系的描述。二、方位的描述(RepresentingRotation)第6页/共204页或{B}{A}表示刚体{B}

相对于{A}的方位{B}与物体固结，{A}为参考系。用坐标系{B}的三个单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵x{A}yzxxyzx{B}第7页/共204页{B}{A}第8页/共204页如图，绕X轴旋转－900－900绕X轴旋转第9页/共204页RotationMatricesin3D绕Z轴旋转绕Y轴旋转绕X轴旋转第10页/共204页注意：为单位矢量3×3旋转矩阵有9个元素，6个约束条件，3个独立变量是正交矩阵，且满足

称为旋转矩阵，上标A代表参考坐标系{A}，下标B代表被描述的坐标系{B}。旋转矩阵的逆等于其转置矩阵旋转矩阵的性质第11页/共204页为了完全描述刚体B在空间的位姿(位置和姿态)、通常将物体B与某一坐标系{B}相固接。{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心、或对称中心等。相对参考系{A}，由位置矢量和旋转矩阵分别描述坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位。因此，刚体B的位姿可由坐标系{B}来描述，即三、位姿的描述（位置＋姿态）第12页/共204页四、手爪坐标系z-轴:接近矢量(approachingobjectdirection)y-轴:方位矢量(alongtheorientationofthelineconnectingtwofingers)

x-轴:法向矢量n=oa手爪的方位:手爪的位姿:第13页/共204页求AB第14页/共204页1.坐标平移2.2坐标变换在机器人学的许多问题中，涉及到以不同坐标系表示同一量。下面讨论从一个坐标系的描述到另个坐标系的描述之间的变换关系。第15页/共204页2.坐标旋转同一点p在两个坐标系{A}和{B}中的描述具有以下变换关系：第16页/共204页刚体位姿描述(LocationRepresenting)机器人的操作，就其本义来说，意味着由某种机构在空间移动零件和工具。这自然由必要表示零件、工具以及机构本身的位置和方位。为了规定和运算表示位置和方位的数学量，我们必需规定坐标系并提出它们的表达式的习惯形式。我们采取这样的思想，即某处存在一通用的坐标系统，我们讨论的每一个物体均可参考此参考坐标系。第17页/共204页刚体的位置、姿势可由其上的任一点(称作基准点，通常可选作物体的质心)和过该点的坐标系相对于参考坐标系的相对关系来确定。我们在物体上附一坐标系，然后再给出这一坐标系相对于参考系的描述。5.刚体位置、姿态的描述第18页/共204页或{B}{A}表示刚体{B}

相对于{A}的方位{B}与物体固结，{A}为参考系。用坐标系{B}的三个单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵{}A{}B第19页/共204页为了完全描述刚体B在空间的位姿(位置和姿态)、通常将物体B与某一坐标系{B}相固接。{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心、或对称中心等。相对参考系{A}，由位置矢量和旋转矩阵分别描述坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位。因此，刚体B的位姿可由坐标系{B}来描述，即第20页/共204页3.一般变换第21页/共204页

齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合将其分解成两个矩阵相乘的形式之后就可以看出这一点。其中，I3×3是3×3阶单位矩阵，等式右端第一个矩阵称为平移变换矩阵，常用Trans(ApBo)来表示；第二个矩阵标为旋转变换矩阵,常用Rot(k,)来表示.齐次变换矩阵第22页/共204页1移动变换第23页/共204页2.转动变换绕Z轴旋转绕Y轴旋转绕X轴旋转第24页/共204页3.对坐标系的解释第25页/共204页作为坐标系解释变换第26页/共204页齐次坐标和齐次变换HomogeneouscoordinateHomogeneouscoordinateHomogeneousTransformationOrientationmatrixVectorofcoordinateorigin第27页/共204页相对运动坐标系，变换式“从左向右”写：Rot(y,90)Rot(z,90)相对固定坐标系，变换式“从右向左”写：Rot(z,90)Rot(x,90)第28页/共204页4.相对变换变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是不同的：变换顺序“从右向左”，指明运动是相对固定坐标系而言的；变换顺序“从左向右”，指明运动是相对运动坐标系而言的。第29页/共204页从左向右从右向左第30页/共204页Example:DisplacementinanAbsoluteFrameDisplace(7,3,2)throughasequenceof:1.Rot(z,90)2.Rot(y,90)3.Trans(4,-3,7)Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)第31页/共204页第32页/共204页第33页/共204页齐次变换矩阵T具有以下不同的物理解释：1.坐标系的描述描述｛B｝相对于参考系｛A｝的位姿2.坐标映射表示同一点P在两个坐标系｛A｝和｛B｝中描述之间的映射关系

3.运动算子T表示在同一坐标系中，点P运动前后的算子关系。Ap2=T

Ap1例2.4例2.2第34页/共204页变换矩阵相乘不满足交换率第35页/共204页给定变换:求

求解方法:直接求逆简化求解6.逆变换第36页/共204页给定变换:求

求解方法:直接求逆简化求解给定:求6.逆变换第37页/共204页坐标系{B}原点在{B}中的描述：框{A}下的点映射到{B}中描述：第38页/共204页6.逆变换第39页/共204页已知表示{B}相对于{A}绕其z轴转30度，再沿x轴移动4,沿y轴移动3。求.(例2.5,P.21)第40页/共204页7.变换矩阵相乘给定齐次变换矩阵:第41页/共204页，分别表示{C}相对于{A}和{B}的描述表示坐标系{C}从映射为的变换第42页/共204页8.手爪坐标系z-轴:接近矢量(approachingobjectdirection)y-轴:方位矢量(alongtheorientationofthelineconnectingtwofingers)

x-轴:法向矢量手爪的方位:手爪的位姿:第43页/共204页

9.变换方程给定变换:确定

建立变换方程2)

计算第44页/共204页可以写出测头中心位置的测量运动方程:利用内外传感器数据，采用参数辨识方法，如最小二乘方法可求得:测量方程可测量待求量可控量第45页/共204页欧拉角与RPY角第46页/共204页回转俯仰偏转一、RPY角：依次绕绕固定轴x-y-z旋转第47页/共204页给定计算第48页/共204页二、欧拉角：依次绕绕动坐标系z-y-z轴旋转第49页/共204页WespecifytheorderofrotationofEuleranglesasfollows:WecanobtaintheorientationmatrixdescribedbyEulerangles,whichissamewiththe二、欧拉角：依次绕绕动坐标系z-y-z轴旋转第50页/共204页三、绕任意轴/角的转动前面讨论了旋转矩阵的三种特殊情况，即绕x,y和z轴的旋转矩阵，现在讨论绕过原点的任意轴k旋转θ角的变换矩阵。表示坐标系B相对参考系A方位第51页/共204页第52页/共204页运用旋转矩阵的正交性质：化简整理后得到：其中，k轴即a轴。第53页/共204页12.等效转轴和等效转角第54页/共204页Matlab编程作业2.8(p30)2.9(p31)，参考P35图3-6求第55页/共204页机器人技术基础

第三章操作臂运动学课程的基本要求:熟练掌握机器人运动学正解的D-H矩阵方法，掌握运动学反解的基本原理。理解机器人运动的二个描述空间。背景知识机器人运动学机器人逆运动学关节空间与操作空间第56页/共204页3.1连杆参数和连杆坐标系Denavit-HartenbergParameters第三章操作臂运动学第57页/共204页第58页/共204页连杆的描述n自由度机械臂-->n个单自由度关节与n-1个零长度连杆组成的模型。只考虑具有单自由度关节的操作器。连杆编号由固定基座开始：固定基座－连杆0第一个运动体－连杆1通常为了能在三维空间定位末端执行器，最少要求有6个关节。第59页/共204页连杆坐标系

关节1是垂直于肩,关节2经过肩水平线,关节3是在肘部。关节4,5&6是在手腕上，初始位置关节4和关节6共同沿着前臂,关节5垂直于关节4和关节6。第60页/共204页连杆坐标系Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaidi

i第61页/共204页第62页/共204页SpecificationofBase&Finallinkframes

Baseframeisfixedatthebase.Finalframeisfixedatthegripper.首、末连杆第63页/共204页参数/变量:,a,d,

基本思想：每个关节分配一个坐标系。用D-H参数，描述框{i}相对于前一个框{i-1}的位姿需要4个参数D-H参数Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaidi

i第64页/共204页1）

ai-1

定义:ai-1

两个关节轴线公垂线的长度.关节轴是围绕它发生旋转的有向空间直线，在图中是Zi-1和Zi

轴。Zi-1Xi-1Yi-1i-1ai-1ZiYiXiaid

i

i第65页/共204页可视化方法：想象一个圆柱面围绕轴Z(i-1)

扩展–当圆柱面刚刚触及轴

i

时，圆柱的半径等于a(i-1)。图示方法：

若已经定义了坐标系,公垂线通常是X(i-1)

轴.因此

a(i-1)

恰是沿着X(i-1)从框{i-1}到框{i}的位移如果连杆是移动关节,那么

a(i-1)

是变量，而不是参数Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaid

i

i连杆参数a(i-1)

的识别方法：第66页/共204页2)(i-1)定义:使关节轴平行时，绕公垂线旋转的角度.按右手规则确定正向旋转。绕X(i-1)轴旋转使Z(i-1)指向Zi

轴的方向Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaid

i

i第67页/共204页3)di定义:为了使公垂线a(i-1)和公垂线ai与Zi的交点对起，沿Zi

轴所需的位移。即，沿Zi

对准X(i-1)

和Xi

轴.Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaid

i

i第68页/共204页4)i为了对准X(i-1)

轴和Xi

轴，绕Zi轴所需转动的角度Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaid

i

i第69页/共204页连杆的描述参数为了运动学建模的目的，一个连杆由两个数字来确定，这两个数字规定了空间这两个轴线的相对位置。连杆长度连杆扭转角(twist)n第70页/共204页连杆连接参数的描述中间连杆两条连杆之间的偏置两条连杆之间的关节角第71页/共204页对于运动链两端，按习惯约定首、末连杆d1和d6以及θ1和θ6的确定方法如下。若关节1是转动关节，则θ1是可变的，称为关节变量，规定θ1＝0为连杆1的零位。习惯约定d1＝0若关节1是移动关节，则d1是可变的，称为关节变量，规定d1=0为连杆1的零位。习惯约定θ1＝0。上面的约定对于关节6同样适用。第72页/共204页连杆参数和关节变量每个连杆由四个参数来描述，描述连杆i-1本身的特征，

描述连杆i-1与连杆i之间的联系。对于旋转关节i仅是关节变量，其他三个参数固定不变；对于移动关节i，仅

是关节变量，其他三个参数因定不变。这种描述机构运动的方法首先是Denavit和Hartenberg提出来的，称为D-H方法。第73页/共204页一个6关节的机器人，用18个参数可以完全表示它的运动学中固定部分，而用6个关节变量描述运动学变动部分。第74页/共204页连杆参数移动关节转动关节关节变量连杆i-1几何特征连杆参数和关节变量αi-1＝从zi-1到zi沿xi-1旋转的角度ai-1＝从zi-1到zi沿xi-1测量的距离di＝从xi-1到xi沿zi测量的距离θi＝从xi-1到xi沿zi旋转的角度第75页/共204页3.1连杆变换和运动学方程第76页/共204页连杆变换连杆变换可以看成是坐标系{i}经以下四个子变换得到的：用4个参数对准两个关节的轴线第77页/共204页Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaidi

i因为这些子变换都是相对于动坐标系描述的，按照“从左向右”的原则．得到连杆变换矩阵第78页/共204页（TheDenavit-HartenbergMatrix）连杆变换矩阵第79页/共204页D-H参数矩阵与齐次变换矩阵一样，D-H参数矩阵是从一个坐标系到下一个坐标系的变换。用一系列D-H参数矩阵相乘，最终的结果是从某个坐标系到初始坐标系的变换。Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)(i-1)a(i-1)ZiYiXiaid

i

i第80页/共204页连杆变换依赖于四个参数，其中只有一个是变化的。以下用qi表示第i个关节变量手臂变换运动学方程手臂变换矩阵第81页/共204页Z0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1Denavit-HartenbergLinkParameterTable表的用途:1)描述机器人的变量和参数2)通过变量的数值描述机器人的状态αi-1＝从zi-1到zi沿xi-1旋转的角度ai-1＝从zi-1到zi沿xi-1测量的距离di＝从xi-1到xi沿zi测量的距离θi＝从xi-1到xi沿zi旋转的角度第82页/共204页Z0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1第83页/共204页Thisisatranslationbya0followedbyarotationaroundtheZ1axisThisisatranslationbya1andthend2followedbyarotationaroundtheX1and

Z2axisZ0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1第84页/共204页例(P.51,第3.1题)i10002900300y3x3第85页/共204页第86页/共204页TheSituation: Youhavearoboticarmthatstartsoutalignedwiththexo-axis.Youtellthefirstlinktomoveby1andthesecondlinktomoveby2.TheQuest: Whatisthepositionoftheendoftheroboticarm?12两关节机器人第87页/共204页X2X3Y2Y3123123ExampleProblem: Youarehaveathreelinkarmthatstartsoutalignedinthex-axis.Eachlinkhaslengthsl1,l2,l3,respectively.Youtellthefirstonetomoveby1,andsoonasthediagramsuggests.FindtheHomogeneousmatrixtogetthepositionoftheyellowdotintheX0Y0frame.X1Y1X0Y0第88页/共204页ThepositionoftheyellowdotrelativetotheX3Y3frameis(l1,0).MultiplyingHbythatpositionvectorwillgiveyouthecoordinatesoftheyellowpointrelativethetheX0Y0frame.X2X3Y2Y3123123X1Y1X0Y0

H=Rz(1

)*Tx1(l1)*Rz(2

)*Tx2(l2)*Rz(3

)

i.e.Rotatingby1willputyouintheX1Y1frame.TranslateinthealongtheX1axisbyl1.Rotatingby2willputyouintheX2Y2frame.andsoonuntilyouareintheX3Y3frame.

第89页/共204页Slightvariationonthelastsolution:MaketheyellowdottheoriginofanewcoordinateX4Y4frame

X2X3Y2Y3123123X1Y1X0Y0X4Y4H=Rz(1

)*Tx1(l1)*Rz(2

)*Tx2(l2)*Rz(3

)*Tx3(l3)ThistakesyoufromtheX0Y0frametotheX4Y4frame.ThepositionoftheyellowdotrelativetotheX4Y4frameis(0,0).第90页/共204页WeareinterestedintwokinematicstopicsForwardKinematics(anglestoposition) Whatyouaregiven: Thelengthofeachlink Theangleofeachjoint Whatyoucanfind: Thepositionofanypoint (i.e.it’s(x,y,z)coordinates)InverseKinematics(positiontoangles) Whatyouaregiven: Thelengthofeachlink Thepositionofsomepointontherobot Whatyoucanfind: Theanglesofeachjointneededtoobtain thatposition第91页/共204页3.4PUMA560机器人运动学PUMA560机器人关节空间运动第92页/共204页PUMA560连杆坐标系第93页/共204页第94页/共204页第95页/共204页第96页/共204页第97页/共204页第98页/共204页第99页/共204页则工具相对于工作站的位姿为第100页/共204页InverseKinematicsFromPositiontoAngles

第101页/共204页ASimpleExample1XYSRevoluteandPrismaticJointsCombined(x,y)Finding1:MoreSpecifically:arctan2()specifiesthatit’sinthefirstquadrantFindingS:第102页/共204页21(x,y)l2l1InverseKinematicsofaTwoLinkManipulatorGiven:

l1,l2,x,yFind:

1,2Redundancy:

Auniquesolutiontothisproblemdoesnotexist.Notice,thatusingthe“givens”twosolutionsarepossible.Sometimesnosolutionispossible.(x,y)l2l1l2l1第103页/共204页TheGeometricSolutionl1l221(x,y)UsingtheLawofCosines:UsingtheLawofCosines:Redundantsince2couldbeinthefirstorfourthquadrant.Redundancycausedsince2hastwopossiblevalues第104页/共204页TheAlgebraicSolutionl1l221(x,y)OnlyUnknown记：有第105页/共204页Weknowwhat2isfromthepreviousslide.Weneedtosolvefor1.Nowwehavetwoequationsandtwounknowns(sin1andcos1)Substitutingforc1andsimplifyingmanytimesNoticethisisthelawofcosinesandcanbereplacedbyx2+y2第106页/共204页第107页/共204页第108页/共204页第109页/共204页第110页/共204页第111页/共204页第112页/共204页第113页/共204页例如，PUMA560存在8种运动反解第114页/共204页3.6腕部三轴相交时的封闭解

对于6个自由度的机器人而言．运动学反解非常复杂，一般没有封闭解。6个自由度的机器人具有封闭反解的两个充分条件(Pieper准则)(1)三个相邻关节轴交于一点；(PUMA、Stanford),或(2)三个相邻关节轴相互平行；(ASEA，MINIMOVER)对于如PUMA560机器人，满足条件(1)，运动学方程可分解为：(1)腕部位置的反解(2)手腕方位的反解第115页/共204页3.7运动学反解的有关问题运动学方程的一般形式：n＝6,6个未知数，12个方程，其中6个为独立方程，存在以下问题：解是否存在？是否唯一？是否可以写成封闭解形式？如何求解？第116页/共204页一、解的存在性和工作空间理论上，可达工作空间为一个圆环，其内外半径分别为｜l1－l2｜和｜l1＋l2｜；灵活工作空间：若l1＝l2

，原点；若l1≠l2

，空集。实际上，还需要考虑关节角的限制，以及结构参数等。例如，平面2R机械手第117页/共204页工作空间(Workspace)：不同关节转角所达到的末端执行器的所有形位的集合。是反解存在的区域（操作空间中）。灵活(工作)空间(DextrousWorkspace)：机器人手爪能以任意方位到达的目标集合。可达(工作)空间(ReachableWorkspace)：机器人手爪至少能以一个方位到达的目标集合。工作空间第118页/共204页讨论（1）关节角取值范围对工作空间的影响；（2）操作臂的自由度对工作空间的影响；（3）末端执行器或工具坐标系对工作空间的影响；第119页/共204页反解的唯一性和最优解机器人操作臂运动学反解的数目决定于关节数目、连杆参数和关节变量的活动范围。一般而言，非零连杆参数愈多，运动学反解的数目愈多，例如PUMA560。最优解：如何从多重解中选择一个最优解？最优准则？寻求方法？在避免碰撞的前提下，通常按“最短行程”准则。使每个关节的移动量为最小。对于典型工业机器人应遵循“多移动小关节、少移动大关节”的原则。第120页/共204页例如，PUMA560存在8种运动反解第121页/共204页三、求解方法几何解解析解(analyticalsolution,closuresolution)封闭解法计算速度快，效率高数值求解(numericalsolution)在多重解情况下，难以算出所有的解第122页/共204页关节空间n个自由度的操作臂的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量，记为q，所有的关节矢量q构成的空间称为关节空间。操作空间：末端抓手的位置和方位在直角坐标空间中的描述；3.8关节空间和操作空间第123页/共204页关节空间和操作空间操作空间

末端手爪的位姿x是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间来表示。其中位置用直角坐标表示，而方位用齐次坐标或者欧拉角、RPY角方法表示。运动学方程可以看成是由关节空间向操作空间的映射；而运动学反解是由其映象求其关节空间中的原象。关节空间操作空间运动学正解运动学反解二种描述空间第124页/共204页单个地看，不同的关节非常简单。它们的运动容易理解和可视化。在左边的例子中，一个棱柱关节和旋转关节用来移动简单的机械手末端操纵装置。在同一时刻，只有一个关节运动，以便你能容易地看见是由用棱柱型关节(黄色元件沿着红色元件的线性运动)和旋转关节(红色元件相对基座回转运动)提供的独立的运动。当它们共同地工作的时候,这二个简单的关节能产生更复杂的运动,如例子所示在操作空间的运动。关节空间运动操作空间运动第125页/共204页作业：3.9第126页/共204页各驱动器的位置统称为驱动矢量S驱动空间：驱动矢量S所构成的空间第127页/共204页x0z0z1x1z2x2y2y0y1z3x3z4x4z5x5z6x6作业3.9第128页/共204页机器人技术基础第四章机器人雅可比矩阵(ManipulatorJacobian)课程的基本要求:掌握运动和力雅可比矩阵的物理含义及基本的求解方法第129页/共204页4.1雅可比矩阵的定义第130页/共204页回顾：基本概念刚体位姿描述和齐次变换齐次坐标,欧拉角与RPY角齐次变换和齐次变换矩阵的运算操作臂运动学连杆参数、连杆坐标系连杆变换和运动学方程机器人关节空间与操作空间第131页/共204页关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置关节空间操作空间运动学正解运动学反解第132页/共204页关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度关节空间操作空间运动学正解运动学反解第133页/共204页4.1雅可比矩阵的定义(Jacobianmatrix)操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换。操作臂的雅可比矩阵，建立了从关节速度向操作速度的映射关系。进行机器人操作臂的速度分析。式中，称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作速度，为关节速度；是6×n的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。它的第i行第j列元素为，i=1,2,…,6;j=1,2,…,n。操作臂的运动学方程，描述机器人操作臂的位移关系，建立了操作空间与关节空间的映射关系。刚体的齐次变换矩阵，描述刚体之间的空间位姿关系。第134页/共204页假设矢量yRm为uRn的函数y=y(u)y相对于u的偏导数定义为

对于m=1,（标量对矢量的导数）第135页/共204页根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。

求微分，

注意，如果函数f1(q)到f6(q)是非线性的，则是q的函数，写成，式子两边同除以时间的微分，上式中，66的偏导数矩阵J(q)叫做雅可比矩阵。其中第136页/共204页雅可比矩阵机器人关节数*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型第137页/共204页雅可比矩阵在机器人中的应用第138页/共204页可以把雅可比矩阵看作是关节的速度

变换到操作速度V的变换矩阵在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵。在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的。必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。第139页/共204页第140页/共204页(x,y)21xyl1l2例4.1将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导,则得其雅可比矩阵为平面2R机械手的运动学方程为第141页/共204页对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上）操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）(singularconfiguration)第142页/共204页(x,y)21xyl1l2例4.1可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位当2＝90或2

＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸直(2

＝0)或完全缩回(2

＝180)时，机械手末端丧失了径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。第143页/共204页例4.2如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以lm/s的速度运动，求相应的关节速度解：由

可以看出，只要机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,相应的关节速度即可解出对于平面2R机械手，运动学方程为平面2R机械手的速度反解第144页/共204页例4.2如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以lm/s的速度运动，求相应的关节速度解：雅可比J(q)为于是得到与末端速度相应的关节速度反解为逆雅可比可为第145页/共204页讨论：机械手接近奇异形位时，关节速度将趋于无穷大。当2＝0；2＝180时，机械手在水平位置，第146页/共204页例：物理仿真中的雅可比矩阵约束函数C(x),单位圆上的质点位置约束为一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q的未知函数，则速度约束

矩阵被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理仿真，求微分，根据力学关系，建立微分约束方程，基于物理仿真。第147页/共204页第148页/共204页第149页/共204页第150页/共204页第151页/共204页第152页/共204页第153页/共204页第154页/共204页第155页/共204页例子2：立体视觉雅可比矩阵两只CCD摄像机任意的安装在机器人手腕上，形成手眼机器人立体视觉系统。{Xc,Yc,Zc}为摄像机坐标系，{x,y}为图像坐标系，CO为摄像机焦距f{Xw,Yw,Zw}为世界坐标系，则根据上述透视投影关系,得到以世界坐标系表示的P点坐标与其投影点p的坐标(x,y)的关系：scenepointopticalcenterimageplaneyxXcYcCOpP(Xc,Yc,Zc)ZcXwYwZwW摄像机成像模型第156页/共204页对上式两边求导，得：为世界坐标系到图像坐标系的雅可比映射矩阵，它是摄像机内外参数的函数。进一步，经过立体视觉摄像机定标，得到：其中，=，k代表摄像机1，2。上式为手眼机器人跟踪系统的视觉伺服控制方程。如果物体在世界坐标系下的速度已知，根据采样时间步长t，前一帧图像位置x(k)，根据上式可以估计下一帧图像位置x(k+1)，则可通过控制摄像机位姿，可以实现对目标的跟踪。第157页/共204页4.2微分运动与广义速度第158页/共204页4.2微分运动与广义速度

刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量d和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者又绕三个坐标轴的微分转动组成，即将两者合并为6维列矢量D，称为刚体或坐标系的微分运动矢量：

相应地，刚体或坐标系的广义速度V是由线速度v,

组成的6维矢量：

第159页/共204页dδ

微分运动D和广义速度V是相对于参考坐标系而言的。例如，相对于坐标系{T}而言，用，表示。

第160页/共204页dδ若相对于基坐标系的微分运动为D，则相对于坐标系{T}的微分运动为{T}pnoa注意：D的微分位移和旋转应看作通过基坐标系的原点的矢量。第161页/共204页合并写为第162页/共204页对于任何三维矢量p=[px，py，pz]T，其反对称矩阵S(p)定义为S(p)是一个叉积算子，易证S(p)=p,

S(p)=–(p)T

第163页/共204页微分位移的变换简写为

式中,R=[n,o,a]是旋转矩阵。

相应地，广义速度V的坐标变换为任意两坐标系{A},{B}之间广义速度的坐标变换为第164页/共204页4.3雅可比矩阵的构造法第165页/共204页雅可比矩阵J(q)既可看成是从关节空间向操作空间速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即对n个关节的机器人，J的每一列代表相应的关节速度对于手爪线速度和角速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵分块为4.3雅可比矩阵的构造法关节速度线速度角速度第166页/共204页关节1速度引起手爪的线速度下面采用构造性的方法直接构造出各项Jti和Jai第167页/共204页Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅可比的矢量积方法。如图所示,末端手爪的线速度v和角速度与关节速度

有关（1）对于移动关节i,（2）对于转动关节i,标量矢量第168页/共204页矢量积方法其中，表示手爪坐标原点相对坐标系{i}的位置矢量在基坐标系{o}中的表示。zi是坐标系{i}的z轴单位向量(在基坐标系{o}表示的)。第169页/共204页用矢量积方法计算J(q)由于PUMA560的6个关节都是转动关节．因此其雅可比具有下列形式：4.4PUMA560的雅可比矩阵第170页/共204页4.5力雅可比第171页/共204页机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力f和力矩n，统称为末端广义(操作)力矢量。记为例如，操作臂提取重物时承受的外载作用力和力矩；抓手对被抓物体的作用力和力矩；多足步行机构与地面的作用力和力矩。在静止状态下，广义操作力矢量f应与各关节的驱动力(或力矩)相平衡。n个关节的驱动力(或力矩)组成的n维矢量称为关节力矢量预备知识—操作器的静力第172页/共204页利用虚功原理．可以导出关节力矢量与相应的广义操作力矢量F之间的关系。令各关节的虚位移为qi，末端执行器相应的虚位移为D。所谓虚位移，是满足机械系统几何约束的无限小位移。各关节所作的虚功之和W＝Tq与末端执行器所作的虚功W＝FTD＝fTd+nT应该相等(总的虚功为零)，即将代入上式可得出操作臂的力静态平衡第173页/共204页4.5力雅可比式中，JT(q)称为操作臂的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。上式也表示操作臂的力雅可比就是它的(运动)雅可比的转置。因此可以看出．操作臂的静力传递关系与速度传递关系紧密相关。具有对偶性。操作臂的力雅可比表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。第174页/共204页根据线性代数的有关知识，零空间N(J(q))是值空间R(JT(q))在n维关节空间的正交补，即对于任何非零的N(J(q))，则有R(JT(q))；反之亦然。其物理含义是，在不产生操作速度的这些关节速度方向上，关节力矩不能被操作力所平衡。为了使操作臂保持静止不动，在零空间N(J(q))的关节力矢量必须为零。当J(q)退化时(即秩亏)，操作臂处于奇异形位。J(q)的零空间N(J(q))表示不产生操作速度的关节速度的集合。静力映射的零空间N(JT(q))代表不需要任何关节驱动力(矩)而能承受的所有操作力的集合，末端操作力完全由机构本身承受。而值域空间R(JT(q))则表示操作力能平衡的所有关节力矢量的集合。第175页/共204页在m维操作空间中存在着相似的对偶关系。R(J(q))是N(JT(q))在操作空间的正交补。因此，不能由关节运动产生的这些操作运动的方向恰恰正是不需要关节力矩来平衡的操作力的方向。反之，若外力作用的方向是沿着末端执行器能够运动的方向，则外力完全可以由关节力(矩)来平衡。当雅可比J(q)退化时，操作臂处于奇异形位，零空间N(JT(q))不只包含0，因而外力可能承受在操作臂机构本身上。利用瞬时运动和静力的对偶关系，可以从瞬时运动关系推导出相应的静力关系。由式(4.18)可以导出两坐标系{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系第176页/共204页例：双连杆平面机器人(p48,55-56)：双连杆操作器第177页/共204页4.5雅可比的奇异性和灵巧度一、雅可比的奇异性操作臂的雅可比依赖于形位q，关节空间的奇异形位q定义为操作臂6×n的雅可比的秩不是满秩的这些关节矢量q，即满足相应的操作空间中的点x＝x(q)为工作空间的奇异点。在奇异形位处，操作臂丧失一个或多个操作自由度。粗略地讲，机器人的奇异形位分为两类：

(1)边界奇异形位；

(2)内部奇异形位。第178页/共204页二、速度反解机器人在执行某一特定任务时，所需抓手独立运动参数的数目m随任务的性质而异，最多为6，有些则小于6，例如弧焊、喷漆等有对称轴线，独立运动参数是5个；带球形测头的机器人需要3个独立运动参数；用于圆柱铣刀加工的需要4个独立运动参数。用于端铣刀的需要4个独立运动参数，用于平面作业的机器人需要3个独立运动参数。独立运动参数的数目即为操作空间的维数m(1)当M＜n，且J(q)是满秧时，机器人具有冗余自由度，冗余度定义为dim(N(J))(2)当M＝n，且J(q)是满秩的，称为满自由度；(3)当M＞n，机器人是欠自由度的。第179页/共204页对于满自由度的机器人，J(q)是方阵，一般情况下，根据操作速度

，可以反解出相应的关节速度。只是在奇异形位时，逆雅可比J-1(q)不存在，速度反解可能不存在。并且，在奇异