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文档简介

第六章

计数原理6.3.2二项式系数的性质

学习目标1.理解并掌握二项式系数的性质；2.能利用二项式系数的性质解决相关问题.一

引入1.二项式定理2.二项展开式的通项3.二项式系数：n(a＋b)n的展开式的二项式系数111212131331414615151010511615201561(a＋b)1(a＋b)2(a＋b)3(a＋b)4(a＋b)5(a＋b)6二

讲新课用数字填空：n(a＋b)n的展开式的二项式系数123456(a＋b)1(a＋b)2(a＋b)3(a＋b)4(a＋b)5(a＋b)6.用组合数填空：11

121

13311464115101051

1615201561

上表写成如下形式，并说说你发现了什么规律？172135352171…

…

…………(a+b)n每一行的系数具有对称性：

对于

展开式的二项式系数

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是

下面再从函数角度分析二项式系数：对于确定的n，我们还可以画出它的图象.例如，当n=6时，函数的图象是右图中的7个孤立点．rf(r)O1235101520456n=7n=8n=91.对称性由此我们可得二项式系数有以下性质：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．rf(r)O1235101520456事实上，这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴为2.增减性与最大值所以在中间项取得最大值.（1）当n为偶数时，正中间一项的二项式系数

最大；f(k)k63O515201101245例如：当n=6时,其图象是7个孤立点（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数

相等，且同时取得最大值.f(r)rnO515201103.各二项式系数的和思考即这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于同时由于上式还可以写成：这是组合总数公式.

（赋值法）

一般地，

的展开式的二项式系数有如下性质：(1)(2)

(3)当时,

当时,(4)小结二项式系数性质：分析：奇数项的二项式的系数和为偶数项的二项式的系数和为

例3

求证：在

的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证明在展开式

因此即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和三

巩固练习.

四

课堂小结，回顾重点(1)(2)

(3)

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